книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

относительно функции

u=ulz,y,l),

у =(ys,yz,i/^.

Будем

счи­

тать,

что коэффициенты

colCj, cjK

таковы, что уравнение

(22)

есть

уравнение гиперболического типа.

Рассмотрим для

уравнения

фициенты, входящие в правую часть уравнения

( 2 2 ) , если

известно,

что

решение для уравнения

(22)задачи Коши

u(z,ij,o)

= o,

о) = Six) 8(tj)

(23)

удовлетворяет при z=o условиям

Шо,уЛ) =

Uzfo.yl)

=

(24)

Эту

обратную задачу мы называем

одномерной -

по числу

переменных,

менной,

задаются две функции

(п*-*)

переменного. И хотя постав­

ленная

выше задача, как мы увидим

в дальнейшем, имеет неедидст-

веняое

решение (оказывается,

что

можно найти однозначно только

влетворять функции

fayAK А'у»^-

Последнее естественным

образом связано с теоремой существования обратной задачи.

Проведем теперь

исследование поставленной задачи (22) - (24) .

держание статьи А.С.Благовещенского

[ 2 2 ] . Прежде

всего покажем,

что решение прямой задачи ( 2 2 ) , (23)

зависит при

только

(22) .

Чтобы показать это, перейдем от функции

u(z.,y,l)

к ее об­

разу

Фурье ло переменным

yt,ylf...,yn

••

йIг,Л,I)

=

j

и[г,у,I)• в{(А'У}с1у

Здесь

Л = (Д,,Я2 ,. ..,

-

параметр преобразование Фурье,

через

(А,у1

обозначено

скалярное

произведение Л на у ,

с/у = dy{-dy^..

.• dyn.

Нетрудно

убедиться,

что функция

-ate,А,У

удовлетворяет

дифференциальному

уравнению

(25)

+

fd(2) - t Z Z l . & f z )

-

H

J , -

Лк

c , K r z ) J

u

и начальным условиям

<т,Я,о) = о,

Ut(z,I,

o)

=

.

(26)

Преобразуем теперь уравнение (25) , приведя

его к виду

(9) по из­

вестному уже нам алгоритму. Для этого

произведем

сначала

замену

переменной % на переменную

= о1

Тогда

уравнение

(25) перейдет

в уравнение

п

" «

=

Ц«* +[-c/(z) ^ • ( ^ - { g c J

. w A . j ] S s

+

n

a

+ Гd(zj - t Ц Я,- 4 (z) -

Ц

Я , L c.iz)]

й.

Введем новую функцию

"

f

V

-

( 2 7 )

Тогда

предыдущее уравнение преобразуется к виду

п.

п.

Т

+[dm-lIZ

Л,- Ш

-

С

Л. Л, с,„ ( « И - и .

Выберем теперь функции

S(x,A)

из

условий

Sfcc,A)

с'1

'

J

J 11

Дифференциальное уравнение для функции nJ(x,A\,i)

при таком вы­

боре

функции

S(x,A)

примет вид

vu = vxx

+yix,A)v.

(29)

Здесь

£/х,Л)

находится по формуле

и является,

нал огсвда видно, яо

Л

многочленом второй степени;

»

/г

п

qtx,A)

= £„рц + IZAj^(x)

+

П

АКА.

^(х),

Wx>"<

•—<?<£,—

c«/z;'

v(x,A,t)

H,j - i , 2 , . . . , n .

Данные Коши для функции

имеют вид

v(x,A,o) = o,

Ц(ос,Л,о)

= В(ху~^

.

(31)

ции vtx,A,i)

имеет

вид

vto,A,{)

~£tA,i),

vjo,A,l)

= cjo)-l(A,i)

- M ) l a , l ) ,

(32)

Здесь

-[(Я,!),

~ преобразование

Фурье функций

ft(y,l),

/jy,ti-

И з

Формул (2Э)-(31) ясно,

что

функция

v(x,2,i)

однозначно определяется

функциями

qjx),

fyix),

%„jtx)

и кон­

стантой

с,to).

В то ке

время формулы (32) показывают, что функ­

ции

/К(А,1),

я = i,z,

выражаются только через значения функций

V, %,

при х=0

и через

Д(А)

и,

следовательно,

зависят

только

от тех же функций

%(х),

Qjfx),

и

РВДа

констант: cJ0\

с'(о)+

с,(о).

В связи

с этим по информации (31)

можно

°

С„(0)1

i

Оказывается,их действительно можно найти-

В самом деле, при

фик­

сированном Я

можно найти

А(А)

и

cjo)

используя предельные

значения функций

vto,A,i),

VXIQ,A,1)

при i

- O :

п

(33)

а, следовательно,

решив обратную

задачу ( 2 9 ) - ( 3 2 ) ,

и функцию

^(х,А).

Чтобы найти

теперь функции

уа(х),

fylx),

у^Ш,

нужно

придавать

Л

разные

значения. Достаточно для этого, например,учи­

тывая формулу

( 3 0 ) , найти ух,®,

^

ч\

? эА

ЭЛ Я \

j

м=°

к

J

/я=о

Действительно

рх)

=

q(x,o),

Из формулы (33) видно, что функции

£(Л^),

fz(Z,-l)

при ^ = о

должны удовлетворять

некоторым условиям, а именно, функция

f{lA,i)

не должна

зависеть

от Л , а функция

^(К°)

должна

быть по

Л

многочленом первой отепени. При этом постоянные

с'(о)+-^^,

сю)

находятся с помощью значений

Л(Л)

и ее пер-

С(о)1

i

Я-о.

вых производных при

Итак, все,что мы можем извлечь из функ­

ций

^(Л,1),

/г (/М), — это найти функции

qjx),

fate),

<lKjte)

и ряд констант. Для этого

нам потребовалось найти всего

значения

функции

у(х,Л)

и ее производных по Я

до второго порядка при

Я=о.

Легко

понять,

что для этого достаточно знать от функций

?,<Л,1), fz(A,i)

при А=о аналогичные производные по Л .

Заметим

теперь,

что,определив

увШ,

fylx),

о^ОТ,

мы нахо­

дим

q(x,A)

и,

следовательно, функцию

v(x,A,i)

как

решение

задачи

( 2 9 ) - ( 3 1 ) . Функция

v(x,Rri)

и ее производная по зс

опре­

деляют согласно формулам (32) пару функций

_£(А,(),

^z(A,i)

при

всех Л . Следовательно, функции

&(A,i),

fz(A,i)

однозначно

определяются

заданием их производных до второго порядка при Я=о .

обратной

задачи накладывают на функции ^(A^i),

?Z(A,{)

довольно

жесткие

ограничения. Фактически почти произвольно

могут

быть за­

Л

при

Л = о . Задание же этих производных, очевидно,

эквивалентно

заданию моментов по

у функций U-(°,y, i> = hityl),

u*'°,^)

=

=

htyM

до второго

порядка. Действительно

- с ю

_ о о

схр

о-о

^[АШ-тМ

+ ^ М , ^ ]

- ujohj

uz(o,y,l)^dy,

По функциям

£/ay, <^.fcd, o^-fcc;

найти все коэффициенты,

входяцие

в уравнение

(22), конечно же нельзя. Действительно

можно,

например, задать

произвольно функции cjz),

l0(z\ c-(z),

J = y , 2 , . . . , n ,

подчинив их только некоторым условиям при

z=o, тогда

можно

по

функциям

у0щ

%(х),

ц .(х)

найти коэффициенты

dm,

С-ДО

Таким образом, при определении коэффициентов иыеэтся не-

но .произвольно

задать

п+2

коэффициента.

Замечание к постановке

задачи. Мы убедились, что для

отыскания

функций

ус(х),

о^сц

IxjW

достаточно

от функций

(1(у}4)1

{г{у1\,

являющихся данными задачи, знать

сравнительно

немного.а

именно, моменты по у

до второго порядка. Можно ожидать, что функ­

ции

°.j(x),

?<y(xJ

можно найти, если от каждой из функций

$к(уАи

известна следующая информация:

т > '

Ч1у-о'

i,j=i,2,...,n.

интересной,

так как в ней требуется знать от функции u(z,y,i)

толь­

ко конечное число производных в той точке пространства

z , у,

в ко­

торой приложен сосредоточенный источник возмущения (в данном

слу­

чае

в точке

z = o,

-у-о).

Задача эта в общем виде

еще не

исследова­

на,

один частный

случай,

когда уравнение (22) принимает вид

u w

= C2(Z)- д ц ,

где

д - оператор Лапласа по переменным к , ^ , ^ ,

рассмотрен в

ра­

ботах [ 1 3 0 , 1 3 3 ] .

На этом мы заканчиваем рассмотрение обратных

задач,

связанных

задач, исследование которых

проводится по методике, очень близкой

к изложенной выше, читатель

может познакомиться по работам [ 2 , 20,

канонического

вида.

Задача

отыскания функции

u t t , i i ,

удовлетворяющей системе (3),

по некоторым исходным данным, при известных матрицах %, А

и век­

торе F, представляет из себя прямую задачу для системы ( 3 ) . В

дальнейшем мы будем считать матрицу Ji

постоянной

и такой,

что.

все Kl4O

(i

= 1, г, ,..,п).

Рассмотрим при этом предположении как

ставится прямая задача для системы (3)

в области

£) = {

o^xnL,

о & i <=»=>}.

Чтобы найти решение системы (3) внутри этой области,

необходимо

задать начальные условия при

1 = о ••

uL(x,o) = <pL№,

oaoc^L,

i=i,z,...,n,

(4)

и граничные условия при х = о

и x=L . При этом, чтобы получившая­

согласовано

со

знаком

н г . Пусть для

определенности первые S

зна­

чений К; положительны, а остальные - отрицательны:

К, >0,

i = I, 2,...,

S,

О*. S « П,

(5)

К, <0,

t =

5 + J , П .

Тогда на левой

границе

х = о

можно задать

граничные условия

в виде

п.

(6)

a.toj)

+ZZ

cc,.di

UjioJ) = Id),

а на правой

cc = L

в виде

S+d & < * п.

s

17)

Щ1Ц)

+H

ocLA)u.[L,l)

=

Id),

В этих формулах

лц(1>,

f-M^

~

известные функции. Поставленная

считать, что

система

(3) однородна:

F = o

и d=Ji(x).

Обратная за­

дача по отношению к однородной

системе (3)

заключается в отыска­

нии матрицы

Лш

на отрезке

[о, JLJ

при заданной

матрице Ж. Что­

бы найти матрицу

d(x),

необходимо задать

информацию о решении

прямой задачи для

системы ( 3 ) . Причем ясно, что для

однозначного

прямой задачи (3) - (7) рассматривать значения

тех компонент

реше­

ния

и(х,1)

на граничных многообразиях х=о

и

X = J L , которые

дополняют

граничные условия ( 6 ) , ( 7 ) . А именно,

естественно

было

ба

задать

u.\io,l) + Z T

OL[A)-uf(o,l)

= t'(i),

i&i + s.

(10)

j° ~i-

"Q

"'

"

1

Естественно,

что эти

n прямых

задач чолжяы быть такими, чтобы их

решения были линейно

независимы между собой, иначе система функ­

ций

i,t =l,z,...,n

будет линейно

за ни зима и размерность

полезной информации будет меньше, чем п-п.

Линейная независимость

решений обеспечивается выбором начальных данных.

Для упрощения выкладок,

мы рассмотрим специальный вид условий

( 9 ) , ( 1 0 ) , а

именно, пусть

все

о с ^ } = о ,

а функции ф?(х), /се(1)

имеют вшт

^

-

t

f

w

(

i

2

)

L

o,

i

41.

Анализ обратной задачи при более общих условиях

( 9 ) , (10) не пред­

ставляет

особых затруднений

и проводится по той яе

схеме.

Будем в дальнейшем матрицу

Л(х)

(

а^Ш,

i,j=i,2,..,n)

счи­

тать кусочно-непрерывной на отрезке

lO,Ll

, допуская конечные раз­

рывы в конечном числе

заданных

точек

зск . Перейдем теперь к постро­

ению решения прямой задачи для однородной системы ( 3 ) . Рассмотрим

для этого

i уравнение системы

(3)

(F-o)

Его левая часть вдоль характеристики,определяемой уравнением

. &-«..

есть полная производная по переменной

4 . Этим обстоятельством мож­

но воспользоваться, чтобы перейти от системы дифференциальных урав­

нений к системе интегральных

уравнений. Рассмотрим

точку

( a ^ J e ©

3 c = x 0 f / i . r i - i j .

ЦБ)

Обозначим через

( х , , ^ ) ту точку

пересечения этой

характеристики с

границей области

£>, для которой

4t

<• 40 . При я £ > о эта точка

лежит либо на отрезке

10,L]

оси i = o , либо на прямой

х = о , а

при

к^о

либо на отрезке Lo,Ll,

либо на прямой

X = J L .

Интегри­

руя уравнение (13) по характеристике (15) от точки (ос^,4х)

до точ­

ки

(х,,40),

находим

ajxjj

-щ ujj

= J Z J

ач (х„+

-tj)• и.

^(4-4J,

I) di.