книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

%-U(x'p,x,y)\

= u i ( x ° x , y ) I

и, следовательно,

/(х° х)

= ц ( х ° х,о).

(24)

В то же время, подставляя ряд (23)

в уравнение (20) и собирая чле­

ны при нулевой и первой степенях р , получаем уравнения для

U0 и

Л с у

« . =

+ Ь(х-х?)-$(у),

(25)

А * , " * = а Ч

+ *ЙС,У, и .-

(26)

Из (21) получаем, что о .

и u t

должны удовлетворять

граничному

Ujx.°x,y)

= V„'.x-x"y).

vaQ,yi

(27)

Обозначим разность х-х*

через 5 . Тогда для функций

и

ЧЬ-;Л,у)=Щ(х°х°^,у)

(28)

уравнения (25) и (26) принимают вид

A t v

«5 = a * t j

+ 1ы+ъц)-щ\,1\)

(26 \

Граничные условия имеют соответственно вид

( ^ * * ч ) ^ - о .

(30)

Применим к уравнению ( 2 5 ' )

преобразование. Фурье по переменной

^ .

а

к уравнению (26) сначала

преобразование Фурье по переменной

х°

а

затем по переменной f

:

Тоща для образов Фурье

функций иа1 л/л получим уравнения

| ^

= (a*+ 1ц1г)Ц

+ Ъа,у)-%Ц1-Х,у\

(32)

Здесь

ь(Я,у)

- образ

Фурье по переменной

х функции

1(х,у).

'

Граничные условия для образов Фурье аналогичны условиям

(29),(30) .

Решение задач,

отвечающих уравнениям ( 3 1 ) ,

(32), легко строится

о

помощью функции Грина ( 1 4 ) , в которой

Л =Ha*-H/u.l*'.

В част­

ности,

В этом уравнении

vt(A,(j.,o)

- известная функция

«х>

ста

Ч W - ^ ^ p

{ e ^ ' d *

J е 4 * * ? F t r ,

Ых°.

(34)

J e*v%a,ifidn

= { Ш ^ { а

^ Щ ^

v^l^o),

(35)

о

где

вещественная переменная

s

связана

с JUL (при фиксированном

А )

формулой

s = ^ а * + | ^ | г -

- И а ^ у Ь / х р .

(36)

Левая часть равенства

(35)

зависит

только

от

А

и

s

,

следова­

тельно, правая часть

также должна зависеть

только

от

Я

и s

:

V а*+|/х|* - V а г + 1 Я - ^ Р • тг, (Я, ц,

о)

= < P ( A , s ) .

'Последнее условие показывает, что

v±a,(j.,o)

может быть на

са­

мом деле представлена в виде функции (П.+1)

аргумента,

поэтому

достаточно ее было бы задать, например, как функцию

Я

и

Li =(fLato,...t

о)

где

fit-

первая координата преобразования

Фурье по переменной

$ =

х-ос!

Преобразование

Лапласа

функции

ЫЪ-М)

известно при вещест­

венных значениях

Р1звестно из теории преобразования Лапласа,

что достаточно

его

знать на луче

s > s „

, чтобы найти оригинал. Это можно осуществить,

например, с помощью формулы [170] :

•'

п-'—о

i

n !

э з п

J <-=-£i.

т

Я '

Таким образом, есЛ,?) находится однозначно

по заданной информации.

Отсюда и следует

сформулированная выше теорема.

Г л а в а

4 .

АБСТРАКТНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА И ВОПРОСЫ ЕЕ КОРРЕКШОСТИ

Мы рассмотрели выше ряд постановок

обратных задач для диффе­

щую схему. Имеется семейство операторов [Л^},

действующих

из

про­

странства

X

в пространство

Y .

Это семейство

операторов

зависит

как. от параметра

от элемента

q ,

принадлежацего

некоторому

про­

странству Q . Наряду с этим имеется оператор

В, дейсгвупций

из

пространства

X

в пространство

% . В дальнейшем предполагается,

что

X,Y,H,

Q

— линейные нормированные пространства. Задача

решения уравнения

при заданных

yeY,

q,e Q

называется прямой задачей для семейства

операторов

{Aq,}.

Обратная к ней задача заключается в отыскании

конкретного

оператора

А^, принадлежащего семейству

операторов

{ j y

(или,

что то же самое,

параметра

если

относительно

его известно, что

решению уравнения (I) - при фиксированном у опе­

ратор

В

ставит

в соответствие

элемент z e %

,

то есть: если х - '

решение уравнения ( I ) ,

то

Ва: = г.

(2)

Во многих практически важных случаях оператор

В

не имеет

обратного, а семейство операторов

fA^J

обладает

хорошими

свойст­

вами, а именно, для каждого оператора

А^ , q.eQ,

существует об ­

ратный ограниченный оператор

А^.

В связи с этим решение

прямой

задачи (1) легко находится,и обратная задача ( I ) ,

(2)

редуцирует­

ся к решению операторного уравнения

Щ

= Щ'у

= z

(3)

дачи ( I ) , (2)

затрудняется тем обстоятельством, что уравнение

(3)

является, вообще говоря, нелинейным даже в том случае, когда

опе­

раторы

А^Ь

линейны. Мы предлагаем ниже два достаточно общих

метода

исследования обратной задачи ( I ) , ( 2 ) , с помощью которых

гораздо

проще.

I .

Случай, линейных операторов

Ад, В . Начнем с

простейшего

случая,

когда

операторы А^,В

линейны и семейство

операторов

{А^}

допускает

специальное

представление. Пусть т

некоторое

множество пространства

Q .

Т е о р е м а

I .

Пусть

В

-

линейный оператор, операторы

Ац,

для

<£ет,

имеют обратные

А^

и семейство операторов

{Ajs

представимо в виде

АЧ=А+А1,

(4)

где

А

-

линейный оператор,

а

А^-

билинейный оператор, то

есть

линейный

относительно

х е Х

и

qeQ

. Тогда для единственности

обратной

задачи ( I ) ,

(2) на множестве

mcQ

при фиксированных

yeY,%eZ

достаточно, чтобы двупараметрическое семейство ли­

нейных операторных уравнении

Т а д ^ - О

(5)

где

qt

(jt

- произвольные элементы шожества m , а

не имело нетривиальных

решений

вида

q=^i-qr%.

Пусть

семейство

уравнений (5) ни при каких

о ^ ^ а , о^е-т", Ц^т,

не имеет

решений вида

Ц.-%-<1г-

Покажем, что

обратная

задача

( I ) ,

(Э)

имеет в этом случае на

множестве т единственное

решение.

что задача ( I ) , (2)

имеет по

крайней мере два решения <^ет7г, Ц.ь£т

Обозначим соответствующие

элементам

qirqz

решения уравнения ( I )

(при

%=Цг.)

через oc^QCj.

Предположение, что

обратная

зада­

ча имеет в качестве

решения элементы

q i t

цг

означает

В а : 4 = 2 ,

(8)

Введем в рассмотрение элементы

сс=эс^-осг >

ц=с^-^.

Из равенств

( 7 ) ,

(8) находим

А^х^-А^Х^О,

Вх=0.

(9)

Первое из соотношений, в силу

равенства

( 4 ) , может быть

преобра­

зовано к виду

Л^х

+ А%х^=о.

(10)

Так как из равенства

(7)

при

i=Z

следует

з ^ Л ^ у ,

то,

обра­

щая оператор

А^

, находим

Подставляя выражение для

х

во

второе

из

соотношений

( 9 ) ,

полу­

чаем

Но в силу условия теоремы последнее уравнение не имеет решений

вида

ij = qi-qz

,

если qt+qz,

поэтому

равенство ( I I )

не может

иметь

места,

если

д±Фцг.

В связи с

этим обратная

задача

(1 ) , ( 2 )

не может иметь двух различных решений.

Следствие, (достаточный признак

единственности

решения

обрат-

альных решений у семейства однородных уравнений (5) вида

<J=<?1-^

где у{,длет,

является

также в некотором смысле и необходимым

для

единственности

обратной

задачи ( I ) ,

(2) на множестве

т .

Т е о р е м а

2 . Пусть

оператор

В

и семейство операторов

удовлетворяют условиям теоремы I , тогда для единственности

решения обратной задачи ( I ) ,

(2) на множестве

т

при фиксирован

ном yeY

и любом фиксированном

%еИщ

необходимо,, чтобы

семей

ство

уравнений

(5) не имело нетривиальных

решений

вида

^, = ^А -с^,

где

qi,qzem.

Пусть

решение обратной задачи ( I ) , (2)

единственно на множе­

стве

т

при любом

z e f / m .

Требуется показать,

что ни одно

из

уравнений

(5) не может иметь

отличных

от нуля решений вида

Я=Ч*~Ч*>

г л е

4<>(lzefn

Действительно, если предположить, что

хотя

бы одно из уравнений

(5)

имеет отличное от нуля решение

<2 = <^-<22,

то, находя соответствующие

элементам

9 ^ > 9 г е т

элементы

сс^зс^,

из равенства

( I I ) при

<£=9гЧа. получаем

Вое., = Ва:2 .

Обозначая

элемент

пространства %, являющийся

образом элементов

xilocz

через

2 ,

убеждаемся,

что обратная

задача

( I ) , (2)

имеет

в

этом

случае

на множестве гл., по крайней

мере, два решения

q.=<j

и

q=qz.

Так как это противоречит

условию,

то справедливость

тео­

ремы

установлена.

Исследование устойчивости семейства неоднородных операторных

уравнений,

отвечающих операторам

T q ^ , позволяет сделать опре­

деленные выводы

также и об устойчивости

обратной задачи ( I ) , ( 2 ) .

Т е о р е м а

3 . Пусть

оператор

Ъ

и семейство операторов

удовлетворяют условиям теоремы ( I ) . Пусть, кроме того, обрат­

ная задача

( I ) , (2) при фиксированном

уеЧ

и любом zelhn

имеет

единственное решение на Множестве т с < 3

и семейство линейных

операторов

T ^ l 4 l (4„<1г£т)

обладает

тем свойством,

что реше­

ние операторных

уравнений

равномерно

устойчиво (по отношению к различным

^.q^e-m)

к ма­

лым возмущениям

правой части. Тогда решение обратной задачи ( I ) ,

(2) устойчиво

к малым вариациям элемента

% , при условии,

что

они решение задачи не выводят за пределы множества

т .

Обозначим через

IR. -

множество, принадлежащее пространству 2,

которое является

образом

множества

т

при отображении о

по­

мощью оператора

U

(см. формулу ( 3 ) ) . Возьмем любые два элемента

? t j г г е R

Тогда

им однозначно

соответствуют

элементы

° . 1 £ т ,

qzetn.

Обозначая через

x = z J - 2 z

,

Ц=цл-цг;

с

помощью выкладок,

аналогичных проделанным

выше, находим

Т , , о Л = - 2 .

(13)

Выберем теперь произвольное е>о

. Тогда

из равномерной устойчи­

вости решения уравнения (13) следует, что можно найти такое

сУ>о,

независящее

от

qi7qx,

что при

l|2l!<§

llojUe.

Но это и означает

устойчивость обратной задачи ( I ) ,

(2) по

отношению к таким малым

изменениям

z ,

которые

решение

обратной

задачи не

выводят за

пре­

делы множества

т . Множество

т

является,

таким образом,

мно­

жеством

условной

корректности

обратной задачи ( I ) ,

( 2 ) .

2 .

Примеры постановок

обратных

задач. Приведем некоторые

при­

Ю = {(s,l):

l s | < ~ ,

O^i<°oj,

удовлетворяющих

при i = o

усло­

виям

oc(s,o) = 0,

\ a y s , О) = О;

(14)

7 -

пространство функций

непрерывных

в области

Q -

пространство функций q_(s), непрерывных в

области

50,,= { s ;

/s/<°°},-

Z-

пространство

функций

z(s,,..., sn_t<i),

дважды непрерывно диф­

ференцируемых по

своим аргументам

в области'

£ ) / = { ( s , ^

s n

= ° } -

Определим оператор

равенством

Лях=

хи-А;Х

+q,(s)x,

(15)

в котором символ

Л 5

- оператор Лапласа

по переменным

s 4 i ... ,s

а оператор

В равенством

Вх = о с ( 5 , А , . . . 7 5 п . , , 0 , < ! )

(16)

и рассмотрим для

них задачу ( I ) ,

( 2 ) .

При n = i

и при дополнительном

условии

g(-s) = q(s)

эта зада-

подробно

изученной

в работах

Б.А.Марченко,И.М.Гельфанда,

Б.М.Ле­

витана,

М.Г.Крейна

и других

авторов. При п. = 2;3 эта задача

в

спектральной

постановке

впервые была рассмотрена Ю.М.Березанс-

ким [ I 7 J , позднее

она изучалась

также в работах [ 8 3 ,

127 ,

128).

Обозначим через

G^ls^'i-i")

функцию 1рина.отвечающую

уравнению ( I ) . Тогда

уравнение

(5) может быть

записано

в виде

3 = < 5 , А , . . . , & л - 1 , 0 ) ,

о * * < • < > .

Учтем здесь, что функция Грина

Q-^tS, S°

отлична

от нуля

только

в области

5=/S-S°l.

Тогда

уравнение

(170 принимает вид

ls-s1*4

s=fs,, ... ,s n . i f o),

o 4 < « ,

где весовая функция

jo(s,s°4)

вычисляется при фиксированных

qt,q2,4

по формуле

4-/5-5"/

i-li-sl

jO(s,s°,i)=

j

d

i

' \

сЦ

J t ? , 1 ^ s ^ - « - C ^ f s ^ , r - ^ -

(19)

Мы приходим,

следовательно,

к необходимости исследовать такую за­

дачу интегральной

геометрии: известно, что для всех сфер произ­

вольного

радиуса

o^-i«»<: >,

центры которых принадлежат

плоскости

S^=o,

интеграла

от функции

<j, в произведении с известной весо­

вой функцией _р

равны нулю;

следует ли отсюда, что ц.—о ? Если

ответ на этот

вопрос положительный при любых

9а е*я, то из

теоремы I следует

единственность решения на множестве т

обратной

задачи ( I ) , ( 2 ) ,

лнтересно отметить, что в частном случае, когда функция

yis,i)=S'(s-si,i),

где

S~(s-s\±) — дельта-функция Дирака

(обобщенная функция), сосредоточенная в точке

(s*o),

s J =(s* ,

s i - - > s n

в е с

о п а

я

Функция

J}

принимает особенно простой вид

i4s-s°/

|s°-s'l

и так как j)=o

при

I s-s1 /,

то уравнение

(18) приводит к в

J

(Ц-г)-уИ,ъ'А)

<ь°=о,

( i s * )

Возникающая здесь задача определения функции через интегралы по

эллипсоидам вращения, у которых один фокус неподвижен (в

точке

s 1 ) ,

а второй пробегает множество точек плоскости

sa «=o,

рассмот­

рена

в работе

[ 1 2 3 ] .

геометрии. Эта связь была подчеркнута ранее в работе

[131] . В

случае, когда у(5)

есть функция одного переменного,

уравнение

(18) представляет

собой обычное одномерное уравнение

Вольтерра

чем проблем интегральной

геометрии. С помощью приема, описанного

выше, в работах

[130,

133) установлена теорема

единственности

одномерной обратной задачи для волнового уравнения,

заключающейся

в определении коэффициента, стоящего перед оператором Лапласа.

Возникающие при исследовании обратной задачи уравнения

( 1 8 ) ,

(18')

при n>i являются

также операторными уравнениями Вольтер­

ра,

в смысле

терминологии,введенной в работе М.М.Лаврентьева [Si]

(см.

также [80J ) . Некоторые

результаты по исследованию оператор­

ных уравнений

Вольтерра

содержатся в работах

[34 , 35] .

Пример 2 . Пусть X -

пространство фуннций

ores),

s=(s„ .... sj,

дважды непрерывно дифференцируемых в конечной

области Ф с

гладкой

границей Г ,

обращающихся на

Г*

в нуль

3rfS)]r =0;

(20)

Y -

пространство

функций

у (5),

непрерывных в

<£); *3> - простран­

ство функций

q(s)

с носителем в

я непрерывных в

<£>„-,

X - пространство функций z(s),

определенных и непрерывных в об­

ласти

<t\c<07

причем

©

t л

=

Пусть далее

А^:

Л^а:

=

Ь с - ^ ф х ,

(21)