книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

чения производных: их, щ

соответственно

равны:

х

ОС.

Х ^ Х „

Как видно из этих формул,

и,^,-^

зависят в точке

(ое1,ор,-эс0) от

значений

q(x)

на целом отрезке

[х0 , x,J.

При ^ X j - x , ,

функция

u(xlli\

зависит от

<^(х)

на большем отрезке, а именно, на отрез­

ке pb^ci,

SijLjpB±i~J t

содержащем внутри себя отрезок

[х^хД

Поэтому,

если

задать

q(x)

на отрезке Гх„,хД

то для х .ле­

жащих вне этого отрезка,

мы можем найти

<цх), используя

информа­

цию ( 7 ) . Действительно, поступая как и выше, мы можем легко

по­

строить уравнения второго

рода для

qlx),

замыкающие систему

урав­

нений для

и,и{, у.

Эти уравнения будут иметь вид

yte) = FLm - 4 J С£ШЩ($, 2х -х„-|) сЦ,

где

x < x„

£7x)

= 4-[/< ( 2 x - x r x J

+• / 2 ( г х - х , - х д ] T

f7(x)

= ^ [ / / ' ( - z x + x ^ x . ) - £ ( - г х + х , + - х „ у ) .

Уравнения (9) в совокупности с уравнениями для и, и± позво­

ляют найти а,и11(^7

если на отрезке

Гх„,х,) функция урс) зада­

/ / t e - x j =

) Q U ) C U ,

(10}

< ^ x> 4//;'(xr xo ) - f e - x j ] - j <|Ш• j о ( y ctf,

rf*.

(10)

/ ^ з с . - э у -

Чг.

( I I )

Можно показать, что при выполнении этого условия, если задать

q(x) на отрезке lxa,xt]

так, чтобы

были выполнены условия

согла­

сования

(10),

система уравнений (9)

совместно

с уравнениями

для

функций

и,щ

определяет в достаточно

малой

области £>(ос1 ,х0 ,Т),

Т>1хх

-эг/

единственное непрерывное решение, которое естествен­

но зависит от

того, как

задана функция

у(х)

на отрезке [х 0 ,х,1 .

ние обратной задачи для уравнения

с данными при х=х„ имеет

единственное решение в классе непрерыв­

ных решений, если область

ЧЬ(Т) достаточно мала. Покажем теперь,

применен и при исследовании других обратных

задач. В общем виде

этот

метод будет изложен в главе ГУ.

Предположим, что существует пара непрерывных функций

(falx) и

Lj^x),

являющихся решением обратной задачи. Покажем, что

они не­

обходимо должны совпадать. Обозначим через

ix^i),

иг(х,1)

реше­

ния задачи Коши:

(

Щх,о) = о,

ujx,o)=b(х-х.)

при

<^=LI1(X) и ci= qjx)

соответственно. Значения функций

«;(хД

1=

1,2, и их производных по х

должны при этом в точке х„

сов­

падать:

Введем в рассмотрение функции

u(x,i) = ujx,i)-ujx,i),

^

летворять эти функцииВычитая из равенств

(12)

при «

=

4=

аналогичные равенства, получающиеся при

U=IL,,

2=<2*'

находим

««

= й ж +

Ъ й +Ч

U z ,

(15)

и(х,о)<=о,

Щ(Х,0)=О.

При этом мы использовали

тождество

Кроме того, из

равенств

( 1 3 ) , находим

ulx„,l)=o,

uxlxJ)

= o.

(16)

Выпишем теперь формулу,

выражающую при заданных

о^и^, ця

Функ­

цию а

через

. Используем для

этого

фундаментальное

решение

задачи

Ulx,o)=o,

Й < (х,о)=0,

которое

обозначим через

G-Jx^^i-r).

С помощью его можно вы­

писать решение задачи Копш с нулевыми данными для

уравнения

в виде

Е М ) « J J Q ^ - t j / ^ T ^ r .

ав)

Очевидно, что

функция

1т,(аг,£;4-г;

отлична от

нуля

только

в

области

Мх,{) ={(i,Tj •

о « т « 4 - | а : - $

| } ,

представляющую собой прямоугольный

треугольник

с вершиной в точ-

ВД)=

j j ^ f x ^ i - r ) ^ ) - u ^ , t )

d | dx.

(19)

Заметим теперь,

что

иг1$гт)=о

вне области

С> = {(£,гЪ

о<т<

1£-х.1}

Тогда формулу (19) можно записать в виде

й(х,Ц

= jj tyi)-

С, (х,

-t-т) a j i / c ) cL^ <k.

(20)

Положив здесь

и в выражении для производной

йх[х,1)

х=.х^найдем,

используя уоловия (16), уравнения для

£ ( х ) :

{[Gjcc^i-T)^)-uz(i,tl

d$ dz = o,

! (21)

C t e M ^ r ) +

у у - С А Д т * )

d%tdxt,

(23)

i - c > | x - t l .

»

Отсюда ясно, что яри непрерывной функции

^foc),

функция

(^(а^-т) обладает внутри области

i - r ^ / x - f c l

непрерывными частными

производными G i x i

Gti,

Ciocb

Giu

и

»

кроме

того,

|£-х|) = ^ .

(24)

Дифференцируя равенство

(21) два раза по I

, а равенство

(22) один

раз по i

и используя равенство ( 2 4 ) , получаем

систему однородных

уравнений

Вольтерра второго рода:

«ц,(М-к-н)]df

+ j j

CiU

fax

i-z)

ua (s,r) d% d r =

о,

Введем в рассмотрение пару функций

P , W ~ i J 9 t e + £ ) +

$ ( ^ - f > L

(25)

- -|(^зсо + f ) -

Ц ( х о - f ) ] -

= pt (2(X-3y) t - p 2 ( 2 ( X - X j ) .

(26)

В этих уравнениях ядра

3£[£,4),

Ji^l)

находятся по формулам

+2J G , „

[x., x 0 + ^ ' ,

* - r ) • u z ( x 0

+ fet,, T) dx,

функций

u , u (

, ^ . Для этого

нам достаточно,

в силу

четности

уШ,

только

одной функции

/(•£) = що,1).

Фактически функция fd)

игра­

ет здесь роль

функции

fail),

а функция fcl)

в силу

условия

(3)

тождественно равна нулю. Точка х„

в данном

случае совпадает

с

концом

струны.

Если относительно решения задачи (1) - (3)

задать

информацию в

точке

х ( > о ,

то по функции

Шх,,1) =

fad)

(6)

коэффициент qix) восстанавливается

неоднозначно,

степень неодно­

струне

точки

о;, xt

не совпадают; то есть

на отрезке

[о, зс,] ко­

эффициент

ц(х) может быть задан

"почти"

произвольно. Эта неодно­

значность снимается,

если задать

в точке

х,

еще производную по

X от решения прямой

задачи ( 1 ) - ( 3 ) . По функциям

u(xj)

=ltl),

ujxj)={d)

(7)

коэффициент

q(x)

находится однозначно. Функцию

fzd)

достаточ­

но при этом

задать

на отрезке

х, 4 i * Зх^

Поясним последнее ут­

верждение. Для обратной

задачи

( 5 ) , (7) мы можем получить формулы,

аналогичные

формулам

(9) § 2 (при х„=о),

отличающиеся от

них

только наличием постоянного множителя 2, который является

следст­

вием того,

что в начальных условиях задачи (5)

фигурирует

2§(х )

вмеото

Six).

Второе из уравнений

(9) определяет

о^х)

при

х«х„=а

Но так как функция

qix)

является четной,

то тем самым она

отрезке

f - x f

, эс,], то два уравнения

(9) в совокупности с уравнени­

ями для

и, at

образуют

в области

<D(x.,x,J),

T=3xt

замкнутую

систему

уравнений. Если

xt достаточно мало,

то к этой системе

применим принцип сжатых отображений. Найдя функцию

у{х)

на от­

резке

[о, 2 x J , мы можем далее

ее находить на более широком отрез­

ке, используя

только функцию

ftd).

При этом условия согласова­

ния (10)

§ 2 накладывают

на функция

{tdi, f^d)

на отрезке

xt^i

« 3 x L

некоторые условия,

которые в данном

случае

трудно

выразить конструктивно. Если же не заботиться

об их выполнении,

Отметим, что случай

струны, ограниченной

с обоих концов

( о « х й £ ) ; не привносит

существенных

трудностей. При решении, на­

пример, обратной задачи в постановке

( 1 ) - ( 4 ) ,

чтобы найти функцию

y(oz) на отрезке

Fo7 £;г достаточно иметь

информацию ( 4 ) , задан­

ную при

0 4-i<2l.

Понятно,

что

u(ori)

при o^l<zE

вообще не

зависят

от граничных условий

на правом конце. Поэтому решение об­

ратной

задачи здесь

совладает с

решением на отрезке

[с, п

обратной

задачи для полуограниченной

струны. В случае данных

(6)

влияние

что

задание информации

(6)

определяет непрерывную функцию ylx)

на

10, I]

однозначно. Естественно, нужно при этом предполагать,

что

длина этого отрезка достаточно

мала.

Покажем теперь, что волновое уравнение для струны с переменней

плотностью

Уы

=

с2 (у)- V^,

(8)

в которой

коэффициент

с(у)>о

характеризует

скорость передачи

сигналов по струне,

можно привести к виду

4t=Vxx+4mV.

(9)

Введем для

этого вначале вместо переменной у

переменную

uei.

f С(5)

(10)

4°

где

ца

-

некоторое фиксированное число. При этом производные

от

и

по переменной у

выражаются через производные по переменной х

с помощью формул

- %.С'<У>'

№2)

в котором нужно считать, что

в коэффициенте с'(у) переменная ц

выражена через переменную

х

из формулы ( 1 0 ) . Последнее

всегда

возможно, так как

и следовательно, х=х(^)

есть монотонно возраставшая функция.