книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

метод последовательных приближений, то можно установить, что он

Покажем, что уравнение (13) имеет единственное непрерывное на от­

30

реме о конечных приращениях). Полученное неравенство показывает, что оператор Л на шаре 3(о,М) есть оператор сжатия. Из ус­ тановленных фактов и следует высказанное ранее утверждение о су­

ривать соответствующие им системы интегральных уравнений. Измене­ ния, которые следует при этом внести в рассуждения, чтобы устано­ вить аналогичные теоремы единственности и существования, доволь­ но очевидны.

§ 4. О корректности прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений

В этой лекции мы рассмотрим очень важный вопрос, связанный с корректностью задач для дифференциальных уравнений. Обычно он рассматривается в курсах математической физики (.см., например, [73,98,112,138]) . Мы приведем здесь краткое изложение этого воп­ роса. Связано это с тем, что при рассмотрении обратных задач для дифференциальных уравнении оказывается целесообразным несколько

31

изменить понятие корректности задачи.

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных известно, что дифференциальное уравнение оп­ ределяет целое семейство решений, зависящее либо от некоторого числа произвольных постоянных, либо от некоторого числа произволь­ ных функций. Чтобы задача имела определенный физический смысл, не­ обходимо выделить из всего класса решений дифференциального урав­ нения то единственное решение, которое описывает данный физичес­ кий процесс. Такое выделение осуществляется обычно заданием до­ полнительной информации о решении, чаще всего это задание началь­ ных и граничных условий для дифференциального уравнения. Поясним это на примере. Уравнение

Однако задание условии (2) не достаточно для выделения единствен­ ного решения уравнения ( I ) , Чтобы оно было полностью определено, необходимо задать еще начальные условия, которые сводятся в дан­ ном случае к заданию смещений струны и начальных скоростей ее то­ чек:

и (х, б) = Cf>(X), ыг (х, ol = (j)lx). ' (3)

В курсах математической физики показывается, что задание началь­

32

Итак, задание начальных и граничных условий преследует цель выде­ ления из всего класса решений дифференциального уравнения единст­ венного решения. Вместе с тем таких условий должно быть минималь­ ное количество, иначе они могут вступить в противоречие друг с другом. Другими словами, задаваемые условия должны обеспечивать существование решения дифференциального уравнения при произволь­ ном выборе функций, входящих в эти условия, из некоторого функцио­ нального множества.

Подчеркнем еще одно существенное обстоятельство. Рассматривая данное дифференциальное уравнение с заданными граничными и началь­ ными условиями, мы можем ставить задачу отыскания его решений.при­ надлежащих, вообще говоря, различным функциональным пространствам. Выбор их диктуется, как правило, физическим смыслом задачи. Напри-

сматривать задачу об отыскании решении того же уравнения, при тех же самых условиях, принадлежащего множеству дважды дифференцируе­ мых функций, суммируемых со степенью р . Другими словами, мы можем выбирать достаточно произвольным образом функциональное простран­ ство решений дифференциального уравнения. При этом функции, входя­ щие в граничные и начальные условия, не могут быть произвольными, они должны обеспечивать принадлежность решения дифференциального уравнения выбранному функциональному пространству. Для этого они сами должны принадлежать некоторому функциональному пространству (вообще говоря, не совпадающему с пространством отыскиваемых ре­ шений). Это становится особенно понятным, если мы посмотрим на за­ дачи для дифференциальных уравнений с точки зрения функционально­ го анализа. Действительно, выберем функциональное пространство U решений дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение в совокупности с начальными и граничными условиями определяет опе­

ратор Л, который ставит в соответствие любому решению ие U на­

33

оператора d . Таким образом, множество данных задачи вполне опре­

который и решает задачу, ставя в соответствие данным задачи,т.е. элементу / , решение ueU, Необходимо, однако .вспомнить, что ос­ новная цель, для которой решаются математические задачи, заключа­ ется в математическом описании физических процессов. При этом данные задачи берутся из опыта и они не могут быть измерены аб­ солютно точно, то есть в данных задачи всегда присутствуют ошибки измерения. Поэтому, чтобы математическая постановка физической за­ дачи описывала реальный физический процесс, к задаче необходимо предъявить еще некоторые требования, которые отражают физический факт малого измерения решения при небольшом изменении данных, или, как принято говорить, устойчивости решения к малым возмущениям входных данных. Сформулируем сказанное выше на принятом в матема­

вость зависит, вообще говоря, от элемента / . На одних элементах оператор может быть устойчив, на других нет. В случае линейного оператора А устойчивость или неустойчивость имеет место сразу для

34

всех элементов {е. F.

Математическая задача решения уравнения ( 7 ) , удовлетворяющая требованиям существования, единственности и устойчивости к малым изменениям входных данных носит название корректной задачи. Сфор­

ранств и некорректна на другой. Ясно, например, что при расшире­

чем область определения обратного оператора совпадала с простран­ ством F (см. [98J. стр.507).

Приведем пример корректной задачи. Рассмотрим для простоты не­

в классе функций, имеющих непрерывные частные производные до вто­

что задача поставлена в этом случае корректно. Действительно, не­ трудно убедиться непосредственной проверкой, что решение уравне­

x-el

35

доказывается в курсах математической физики. Покажем теперь, что

Проводя оценки для уравнения ( 9 ) , находим

Ы(-х, III « max Шх)\ + Т max / ф(х) \ « ШЦ+ Т 1ф1.

Дифференцируя равенство (9) и делая аналогичные оценки, получаем

1и{(х.1)\ < с-ЩЧ + «ф№ •

\u^x.i)\ « 1Кр!1 + -£-1фП;

Складывая все полученные неравенства, получаем, что

Возьмем теперь произвольное е>о . Тогда, если

36

го отсюда следует, что малым по норме изменениям функций у я ф соответствуют малые изменения решения.

Заметим, что та же самая задача, если считать <f и ср просто непрерывными функциями, а для решения сохранить прежнее простран­

Приведем теперь пример задачи, некорректной по существу, ког­ да никакое требование на гладкость исходной информации не приво­ дит к корректности задачи. Пример такой задачи был построен Адамаром, чтобы подчеркнуть важность третьего из условий коррект­ ности.

Можно показать, что решение поставленной задачи единственно. При

ответствуют отнюдь не малые вариации решения. Итак, рассмотрен­ ная задача Коши для уравнения Лапласа поставлена некорректно.

Из приведенных примеров видно, что существуют, вообще говоря, два сорта некорректных задач. Задачи, которые являются некоррект­ ными в одних пространствах, но могут быть сделаны корректными при другом выборе пространств. Такие некорректные задачи естественно назвать слабо некорректными. Наряду с этим существуют некоррект­ ные задачи (как,например, рассмотренная задача Копш для уравне­ ния Лапласа), когда ни в каких функциональных дространсгБах.норма которых использует конечное число производных, задача не явля­ ется корректной. Задачи подобного-сорта будем называть сильно не-

37

корректными задачами. До сравнительно недавнего времени считалось, что некорректные задачи не имеют физического смысла. Это мнение, однако, опровергается развитием прикладных наук. В настоящее вре­ мя известно большое число практически важных задач, которые не являются корректно поставленными в смысле данного определения. К числу таких задач относится и большинство многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений, на важность которых было указано во введении. В связи с этим А.Н.Тихоновым было предложено [153] новое понятие корректности, которое является физически оп­ равданным для многих прикладных задач,некорректных в классичеоком смысле.

для подхода А.Н.Тихонова к вопросу корректности характерно,

1)априори известно, что решение задачи существует и принад­ лежит некоторому заданному множеству Ж функционального прост­ ранства U;

2)решение задачи единственно на множестве Ж;

3) бесконечно малым вариациям / « Я , не выводящим решение за пределы множества М , соответствуют бесконечно малые вариации решения.

Множество Ж называется множеством корректности задачи.

Отметим некоторые особенности данного определения корректнос­ ти, отличающие его от классического. При классическом определении корректности предполагается, что данные задачи / принадлежат некоторому метрическому пространству F. Первое из требований классичеокого понятия корректности требует доказательства, что

существования. Соответствующее требование корректности задачи по

38