книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

(32)

только при одном значении z=o, то можно найти такие функции

n(z\

для которых все лучи собираются в одну точку. Примером та­

кой функции является функция n^=^f{ji

(А>о1

Нетрудно прове­

рить,

используя формулу (28) , что все лучи, выходящие из начала

координат, в этом случае фокусируются

в точку %

оси г.

Перейдем теперь к решению обратной

задачи. При этом мы будем

предполагать, что выполнено условие (32) и кроме

того функция

Т„(р)

(см. формулу (24)) непрерывно дифференцируема. Последнее

Покажем, что в этом случае,

используя

имеющуюся информацию ( то

есть функцию

г0 (р)),

нетрудно

найти параметр р , отвечающий

кривой

Г(р).

Действительно,

в силу

соотношения (21)

и мы, зная

то(р),

находим соответствующий кривой Г(р)

параметр

луча. Тем самым каждому значению р

ставится в соответствие

опре­

деленное

значение р . В результате

мы находим р

как функцию

р--

J>-J>(p).

Так как выше мы установили, что p-n(z*),

то мы тем самым знаем и

функцию 'n(z)

в вершине луча

Г(р).

Однако нам неизвестно

соот­

ветствие

между

р

и

г ' , Если бы его удалось найти, то задача бы­

ла бы решена.• Действительно,

тогда

найдя с помощью дифференцирова­

ния функции

т„ [р)

параметр р

, мы нашли бы затем по р

значе­

ние z*, а затем и

n(z*) = р.

А так как При выполнении условия

(32) г* может принимать всевозможные

значения из отрезка

[о, Н], то

тем самым нашлась бы функция

ntz)

при o<,z<H. Итак, задача сво­

дится к отысканию соответствия между

р и z* . Обозначая,

обрат­

ную функцию по отношению к

n(z) = о,

через jV[o),

из соотношения

n(z')=p

находим

z*=Jflp).

(39)

Для отыскания функции Jf(p)

можно использовать

соотношение между

р и р . С одной стороны, как мы уже говорили, функция

_р(р)

нам

известна, с другой

стороны

р=2г*.

Поэтому, используя

формулу

( 2 8 ) , получаем

по отношению к функции

J f ' ( p ) .

да)

= 2 J

(41)

Уравнение (41) легко решить в явном

виде,

используя прием Абеля.

Умножим обе части равенства на

и проинтегрируем ло p в

пределах от

У до

^„ f ^ s ^ J . Тогда получим

J "

J>ip)dp

_

f° d p

f

2 p j T f o j

rfg

(42)

Заметим, что

мы можем при этом считать

известным, так как

В повторном интеграле,

стоящем в правой части равенства

( 4 2 ) , из­

меним порядок интегрирования. Это легко

сделать,

если

заметить,

что область

интегрирования в переменных

р,

имеет вид

прямоуголь­

•

dp

с 'ipjf'lq)

J

4и*~

J

93

9

Откуда, учитывая, что

</V?0j=o,

находим

W

4

J f

| ,

* > « , . .

:

<43,

Эта формула и устанавливает

соответствие

(39) между г * и

р.

Об­

условий решения обратной задачи является условие

монотонного

убы­

вания производной

то (р)

с ростом р . Действительно,

ранее

мы выяснили, что с ростом f

параметр

р убывает

(при условии

ре­

гулярного поведения семейства

лучей

Гул),

но параметр р

как

раз и равен значению этой производной. Функция

т„(у°) таким

об­

разом должна быть обращена выпуклостью вверх.

тим также следующее. Полученное

решение обратной задачи имеет

смысл в том случае,

когда функция п(%)

имеет отрицательную про­

изводную и такова,

что функция

T(j3,o)

непрерывна и монотонно

если допустить

существование у функции zjj»

точек возврата. В

результате мы получим, что

годограф может иметь некоторое количе­

ство "петель"

(см. рис.7).

В этом случае в интервале расстояний

jod < f><J>Z каждому значению'

jo соответствуют три кривые Г(_р) , удовлетворяющие уравнениям

Эйлера. На каждой из этих кривых реализуется локальный минимум

функционала ( I ) . Естественно, что кратчайшая линия здесь тоже,

только одна, она отвечает глобальному

минимуму функционала ( I ) .

графе действительно

реализуется в реальных условиях распростране­

ния продольных волн

в мантии Земли. Сейсмологи даже могут в

от­

хода сигнала по лучу как функция угла прихода луча в эту

точку.

Решение одномерной обратной задачи в этом случае также не

пред­

ставляет затруднений.

Изложенный выше метод

решения обратной кинематической

задачи

в предположении

n'lz)<o

принадлежит Г.Герглотцу и Е.Вихерту.Ояи

же отметили, что

если не

требовать выполнения условия ( 3 2 ) , то за­

ции niz)

имеет вид, изображенный на рис.8, то она может быть

найдена

по

функции TO(J>)

однозначно только на отрезке [о, z 1 ] . В

П

годографу

% (jj), был выяснен в работе М.Л.Гервера и В.М.Маркуше-

вича

[ 4 5 ] . Авторы показали, что на участке

[z±,

z j функция

n(z)

может быть задана "почти" произвольно, кроме того сама точ­

ка

гг

также не может быть определена. Область

x ^ z ^ z ^ называ­

ется в сейсмологии волноводом, прямая z= z

оеью волновода. Свя­

зано

это название о тем, что если выпустить из некоторой точки х°

(z x

< z°<z2)

луч под достаточно малым углом наклона к оси вол­

новода, то луч будет виться (подобно синусоиде)

вокруг оси волно­

ное решение на отрезке 1о,г°1, то,пересчитав

годограф

на

плос­

кость

z = z°, мы придем к прежней задаче. Оказывается,

что на от­

резке

[o,z°]

обратная кинематическая задача

тоже, вообще

гово­

ря, не имеет.единственного

решения. В работе

[47]

показано, что

однозначность

имеет местб,

если на участие, [о, z°]

функция nrz )

функции ncz),

то по таному,набору годографов функция

п(г) может

быть найдена

однозначно. -

Из других работу связанных с одномерной обратной

задачей .от­

метим работу

[46], в которой выяснены необходимые и достаточные

условия того,, чтобн функция

была годографом по отноше­

нии к одномерной ореде со скоростью

V№=TUX)

> и

Работы [ 8 ] ,

L

.

I h—f+iw*

а )

I ц'т-куш=о,

y'd) + И yd) = о,

где А, И - конечные действительные

числа,

qioc) - непрерывная на

[а,Ы

функция

( а и

I - считаются конечными). Требуется

найти

у(зс), если известны собственные числа

Л а

этого дифференциаль­

ного оператора, то есть такие

Л , при которых существуют нетриви­

альные решения операторного

уравнения

и известны

соответствующие

им нормы

Цуп1

собственных функций

% Ш = ytx, ЛJ ,

(у (а, Л„) = / ,

уча, ДЛ)

= к) :

(3)

а

Мы покажем сейчас, что между этой обратной

задачей и рассматри­

вавшейся нами ранее задачей о колебаниях струны существует

тесная

связь. А именно, рассмотрим дифференциальное уравнение

" «

=

« т а - ^

а

(4)

в области

<£) = [ f x , ^ ) :

аах4&,

о«U<=•<=} при следующих начальных

и граничных условиях:

Шэс,о) = о,

Щ(х,о) = &(х-а),

(5)

u.xia,i)-hma,h=o,

и

(t>,l)+ Ни(Ц)=о.

(6)

Пусть обратная задача для уравнения (4; заключается в том,

что

известно

во все моменты времени

1>о

решение

задачи (4) - (6)

при

х = а

U(a,l)

= fd),

(V)

требуется

найти по функции

fd)

коэффициент

уравнения

(4)

у(х).

Нетрудно

показать аналогично

тому, как

это было сделано

раньше,

q(x). При этом для однозначного построения функции

qix) доста­

точно функцию $d)

задать на отрезке

С 4 ^ $ 2 ( £ - а) .

Необходи­

мые и достаточные

условия на функцию

fdl на этом отрезке, гаран­

достаточно потребовать непрерывности второй производной от

fd)

и выполнения

некоторых

условий

при

1=о.

Вид второго

из граничных

условий

(6) при этом

не

играет

никакой роли. Параметр к , входящий

в первое из граничных условий,

мы при желании

тоже могли бы

счи­

тать неизвестным, он определяется функцией

fd).

Но определив

у(х)

по значениям

fd)

на

отрезке

о « Ц

г(6-а),

мы можем най­

ти

u(a,i)

и,

следовательно,

•fd)

при любых

I

, в том числе и

при i>2(&-a)t

как решение прямой

задачи

( 4 ) - ( 6 ) . Это означает,

что

функция

/(/)

однозначно

определяется

своими

значениями

при

o^i

« 2{&-а).

В связи с

этим

сформулировать

конструктивно необхо­

димые и достаточные условия на функцию

fdl

при

ОЙ-^<°°, гаран­

тирующие

существование обратной

задачи,довольно

сложно. В дальней­

шем мы просто

будем считать, что

функция -fd)

является реализа­

цией

при" х~а

решения задачи

(4)-(.6), при некоторой непрерывной

функции

qlx)r

что равносильно

предположению о существовании реше­

ния обратной

задачи.

Исследование

обратной

задачи, подобной

( 4 ) - ( 7 ) ,

мы проводили

нения ( 4 ) , удовлетворяющие однородным граничным условиям ( 6 ) ,

в

виде произведения двух функций, одна из которых зависит только

от

переменной х , а вторая только от

переменной I :

U(x,l)=

y(x)-Td).

(8)

Т"(1) + Я Т(1) = о.

(9)

Из спектральной теории оператора L известно,

что отличные от ну­

рывности функции

у(х)

и конечности отрезка

[а,6]:

могут

суще­

ствовать только при дискретных значениях

A = j\n, которые

вещест­

венны и имеют точкой сгущения бесконечно

удаленную точку

Л = +- <^=.

Числа Я„ называются собственными числами оператора

L

,

а

отве­

чающие им решения

ynixj

уравнения (2)

при

Я = Я П

-

собствен­

тать, что yn(aj=i

(и, следовательно, t^{a) = A) .

Это всегда

можно сделать, так как собственная функция в точке

х = а.

не мо­

жет обращаться в нуль. Действительно, если предположить, что

цп^(а) = о1

то из граничного условия на левом конце следует,

что

ij^(a)~o,

и тогда

в силу единственности для уравнения

1ц

=Лпу

задачи Коши:

yjx)*=o.

задача отыскания собственных чисел

и соб­

этой

задачи

известно

(см., например, [18 , 88 ,

90, I 0 5 J ) , что каж­

дому

собственному

числу

Ап

соответствует ровно

одна

собствен­

ная функция

yjx),

все

собственные функции

у^Ос)

ортогональны на

[а,&]

между собой и образуют

полную систему в

L z [ a ,

Из того,

что собственные

числа

Яп

имеют точку сгущения

только на •<-•=-=>, сле­

дует также, что существует только конечное число отрицательных

собственных

чисел. При определенных условиях (например,

qix)>o)

их может вообще не быть.

Общее решение уравнения (9) представляет из себя произвольную

линейную комбинацию частных решений

sin. (T^l,

cos /Л^!

:

7 ^ )

^A^sinffiJ.

+ 6 л с о 5 { л \ 4 . .

(Ю)

Для простоты мы будем

считать, что

Л=о

не является собственным

числом оператора

L . Воспользуемся

теперь полнотой

системы собст­

венных функций

ул(х)

для

построения решения задачи ( 4 ) - ( 6 ) . Рас­

(4) вида

u^ixAl^T^il-j^m:

Шх,{)

=

(Ansin{7'n{+dn.cosiKnl)-Urilx)t

( П )

n-i

i

и подберем коэффициенты

dn,

&к

так .чтобы были выполнены началь­

ные условия

( 5 ) . Используя ортогональность собственных функций

на

отрезке [а,

&~]

и условие y a ( a ) = i , находим

n - i {Tjp*

4

ма-Лиувилля, то есть

Ап,

lltjjl,

n. = i,2,...

.

Тогда

по формуле

(13),

положив в

этой

формуле

s c = a , мы можем найти данные

обратной

задачи ( 4 ) - ( 7 ) :

Покаже:; теперь,

что

верно

и обратное;

если

известна

функция

•fd),

являющаяся проекцией

решения задачи (4) - (6)

на

многообразие

ос=а,

1^0,

то можно найти данные

обратной

задачи Штурма-Лиувилля. Тем

самым будет

доказана

эквивалентность

задачи

(4) - (7)

и обратной

за­

дачи Штурма-Лиувилля. Действительно,

пусть

U(x,i)

-

решение

за­

дачи

(4) - (6)

и

-f(l)=

uta,t).

Тогда в силу

изложенного

выше,

/(1)

предсгавима

в виде

(14), но при этом

и

IFyJl

неизвестны. Из

форкулы (14)

видно,

что отрицательным

значениям

Ла (которых

конеч­

ное число) отвечают

члены ряда,

неограниченно

растущие

при

^ - » - ~ :

( А < о ) .

Поэтому, исследовав

асимптотику

функции

при

=»=, мы можем

сразу

найти

Я а

и

luj,

для

Л л < о ,

если таковые имеются. Будем

считать, что ыы это

сделали. Тогда, переходя в случае необходимос­

ти к НОЕОЙ функции

•fdi,

являщейся

разностью между

fcl)

и час­

тичной суммой ряда,

стоящего

в правой части равенства

(14), и

отве­

чающей отрицательным

Л а

, и производя перенумерацию

A M

мы можем

считать, что в формуле (14) все

Лп>о.

Рассмотрим

синус-преобра­

зование Фурье функции

ftl)

: