книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

T J a ^ x )

=

rt±ix).

Интегрируя

его вдоль луча

Ц(х°х)

от точки х°

до точки

х\

находим

zL(x° х 1 ) = j

nt№)

ds.

(7)

Cfx;x')

В этой формуле через ds

обозначен элемент

евклидовой длины ду­

ги кривой

£(х°х% Лучи

£(х°х')

зависят

только

от

п„(х)

и мо­

гут считаться поэтому известными. Линеаризированная

постановка

щей задаче интегрально;! геометрии: от функции f i j x ;

известны

интегралы по лучам

[^(х'х1),

зависящим от функции

njx)

и свя­

зывающим пары точек

сс° х ' е 5 ;

требуется найти через эти интег­

ралы функцию n.t(x).

Исследование этой задачи мы можем провести,

опираясь на изложенные в предыдущем параграфе результаты.

Рассмотрим вначале частный случай,

когда исследование

прово­

дится наиболее просто. А именно, пусть

функция njx)

зависит

остальными (n-i)

координатой сохраним прежнее

обозначение

х .

Таким образом,

теперь л = п(х,у),

a

na~njyi.

Лучи Га в этом

случае являются плоскими^кривыми. Каждый луч £

лежит в плоскости

размерности 2, параллельной оси ц.

Поэтому в каждом сечении

обла­

сти £ ) такой плоскостью мы получаем

задачу интегральной геомет­

ти х,у.

Пусть

"гО -

полуплоскость у&о , 5 - ее граница,

то есть

прямая у=о . Лучи Ц

соединяют пары точек границы 5.

Чтобы

найти функцию

njx,у)

в области 50 , нужно, конечно, чтобы лу­

чи Ц

лежали в области 50 . Ранее нами было выяснено условие,при

котором лучи

J7 представляют собой вид дуг, лежащих в полуплос­

кости цго.

Условие

это сводится к тому, что функция

па<ц) долж­

на быть монотонно убывающей функцией у . Если функция

njy)

име-

ет по у

отрицательную производную на некотором отрезке [о,ИЗ,то

в полосе

o<,ys:H

пространства

х,у

из каждой

точки

[$,-ф мож­

но провести луч

I2($,vK

имеющий в этой точке

свою вершину и

опирающийся концами на ось у=о.

Именно такое свойство

мы требо­

жем, что условие

n'jyxo

при у^[о,НЗ в совокупности с усло­

вием ограниченности

на этом же отрезке

п"(у)

являются

достаточ­

ными, чтобы

задача

(7)

имела

в полосе

<Он=[(х,у)-.

оауаН}

единственное

решение.

Заметим прежде всего, что лучи

О*,??) ин­

вариантны относительно

параллельного переноса вдоль оси у=о. Это

является следствием

того

факта, что функция п .

зависит

только

от ц и не зависит

от х . Проверим, что дифференциальные

свойст­

ва семейства

кривых

Е($,т?)

удовлетворяют требованиям

теоремы1

ческого луча в одномерной среде. Из формул

(28) , (29) § 5 главы П

в принятых нами здесь обозначениях следует,

что уравнение луча

имеет вид:

j

-fillip

Из

сравнения этой формулы с формулой (15) предыдущего параграфа

следует, что в обозначениях § 3 ,

7•с

Используя для

frpy

прежнее обозначение

р , находим

О )

П-Р'

(p.(p,i2)

Нам нужно изучить дифференциальные

свойства

функции

в

области G={(p7Ti)--

О б р = а ^ «//Т } .

Условие, что п'о(г)<0

при

ze[o,H]

приводит к тому, что подинтегральное выражение

в

формуле (9) имеет интегрируемую особенность

f^-z)"^

и интеграл

(9)

всегда конечен. Из формулы (9)

сразу

следует, что в области

G:

%(Р,Ч)>°,

<pj(0,4)=o.

Дифференцируя равенство (9) по переменной

р , находим

Из формулы (10)следует,

что

t ^ > o

внутри области Or и непрерыв-

но дифференцируема по

р

и 7? . Особо надо

исследовать

позедение

этих производных при

р —- о.

Легко,однако,

показать,

используя

условие

п'/укр,

уе[о,Н],

и условие

ограниченности

п'су),

что производные -|^,

эрЗт?

существуют

при р^-о

и огра­

ничены. Действительно, используя формулу Тейлора,

находим

Здесь 0(р")

означает величину

порядка р"

при

р — о .

Подстав­

ляя

это

разложение

в формулу

( 1 0 ) ,

получаем

э р

Отсюда легко следует, что предельные значения при

р—о

указанных

производных конечны, и в частности

>о.

Таким

образом,

функции

(р^1р,т1)

удовлетворяют

всем

требованиям

теоремы I

§

3 ,

Нам остается проверить,

что

весовая функция, порождаемая

за­

дачей ( 7 ) , также удовлетворяет

условия//! теоремы,

h данном

случае

р=

Используя формулу

( 8 ) ,

можно налти янное

вгрокение

д л я ^ :

^ = J 7 7 ] X F =

* ш .

i n )

Так

как

у=у/хr -$,

тр,

тоv

весовая функция

j> =j)(x-$,•>?).

Из фор-

V

\x l

п.iv)

мулы

( i l ) следует,

что

filO,

V)

= i.

Дифференцируя

соотношение

( I I )

по

зс

и по

, находим

э х

п.гч»

э х

п„ г (^

" ° , 7 Z ' >

Э£_

njyjnjfy)

n'jy)

Э£

(12)

x = i + r-i>* (ft Щ-у,

v)-

172

т.

2Е.

JLSL +

Ж

= 0

Отсюда

Эр

Эу

Эт?

Эт?

эу

_

р

эт?

э р

Из непрерывности

^

Р

и условия

- 1 ^ > о следует

непрерыв-

эр

ность

а я

Тогда из формул (12) заключаем о непрерывности

част­

ных производных весовой

функции.

Итак,

семейство

кривых £(£,?z)

и весовых функций

удовлет­

воряет

условиям теоремы I

§ 3 . Отсюда следует

теорема.

Т е о р е м а I . Пусть-функция

ri(x, у)

представима

в виде

П(х,у)

= псЩ)

+

п1(х,у),

причем функция njy)

задана

и удовлетворяет

условиям

п*(у»о,

<(yl<o,

K ' t y j / < < = ~ ,

0*</бН,

а функция

nt/x,y)

мала по сравнению с

i\iy)

и финитна. Тогда в

области

^) = {(х,у)

.•-•=>= <ос<°°, ойу&Н}

функция п(х,у),в

ли­

неаризированной постановке, однозначно определяется временами

t(x°xi)

для любых пар точек

эс°,

x'eS.

В формулировке этой теоремы есть некоторый дефект. Дело

в

том, что при исследовании

задачи интегральной

геометрии мы пред­

полагали,

что есть от функции njx,y)

интегралы для любых

(£,??j€50. В то же время между

точками

x°xi

и параметрами

£,7?, от­

вечающим концам кривой

ГЦ,У]),

может не быть взаимно

однознач­

ного соответствия. Это связано с возможной неоднозначностью

со­

ответствия паре точек

х°х*е

{у = о}

экстремали

Га[х°х*),

их со­

единяющей. Ранее мы об этом уже говорили при исследовании

одно­

мерной обратной задачи. Взаимно однозначное соответствие будет

обеспечено, если считать, что функция

п0ш}

удовлетворяет усло-

вию

j i

на

"

2 _ In n„ty)^o

[о, И]. В противном случае для справед-

Ч

%[х° х1 ),

ливости теоремы мы должны считать,

что известны времена

отвечающие всевозможным экстремалям, соединяющим пару точек

Отметим еще интересный

случай,

когда

скорость

ЧЩр^хгт воз-

ведения лучей на плоскости х,у.

Мы покажем, что при определен­

ных условиях на функцию

семейство лучей, порождаемое

как в дальнейшем речь будет идти от

исследования поведения лучей

в более или менее произвольном скоростном поле, то индекс

о у

функции Л мы будем до

определенного времени опускать. Рассмот­

рим полуплоскость у^о

и найдем условия, при которых семейство

лучей, порождаемых функцией п(х,у),

обладает "хорошими"

свойст­

щую к оси х . В одномерном случае

мы видели, что это будет

вы­

полнено только в «ом случае, если скороагь монотонно растет

с

ростом

у . Оказывается, что условие

монотонного роста

скорости

по у

при каждом фиксированном

х

являетоя и здесь

при опреде­

ленных

условиях достаточным для

"хорошего" поведения лучей. Для

уравнения лучей. Запишем функционал, связанный с задачей

отыска­

ния луча, на котором реализуется минимум времени,

в виде

х

TIL) = j n i x , y ) U + yx d x .

(13)

д=

(15)

Ofx

'

rfx

> T n S ^ '

( I

6 )

Из соотношении

(15) , (16) легко

понять, что условие

лу <оявляет­

ся необходимым для того, чтобы оемейство лучей имело структуру

кривых ц.Ю § 3 . Действительно,

пусть в некоторой точке

(£, т?)

луч имеет вершину, причем в этой точке

ухх<о,

у^о.

Тогда

из

уравнения (15)

Второе из уравнений

(16) показывает, что это эквивалентно

условию

Лу(*,7)<о.

Так как семейство

лучей должно

(чтобы иметь структуру

а.10

§ 3)

иметь вершину в каждой

точке

принадлежащей не­

которой полосе

0 4

^

4 И, то в каждой точке

этой полосы должно вы­

полняться условие

tiylx,fl<o.

Это условие как раз и эквивалентно

условию монотонного роста по у

при каждом фиксированном

х

ско­

рости распространения сигналов в среде.

Лемма I . Пусть функция

п(х,у)

имеет

в области

&>=\(х,у)-.

-<=~э<сс<«о,

о<,у<г,Н}

непрерывные

и ограниченные производ­

ные до второго

порядка и удовлетворяет

условиям

о<а^п(х,у)<!$<с>о7

о < а 4 - п ^ ^ < ° о .

(17)

Тогда

существует такое число

к

(o^h^H),

что в области

ЮА = {(х,у):-°о<ас<оо

Oi,y<h}

для каждой

точки

( К 7 ? ) 6 ^

существует кривая

/*(£,?),

соединяющая пару

точек оси -х

и пред-

ставимая в виде

причем функция

/ f x , £ , 7 ? )

удовлетворяет

уравнению (14) и имеет

~ЭР

дЗ/

_3«

непрерывные и ограниченные производные

- 2 ^ , -

^ А ^

, " э § ^ -

йе того, для функции

/(х,$,?/)

справедливы

равенства

M s , ? )

=

*Z -

d?(x,

(19)

о < 3t

^ 5(x,k,ч) ^Ьг<

зависящими только от а и £ ,

и имеющие непрерквше и ограничен­

прежде всего, что функция q

обращается в нуль в тех точках, где

ух=о, положительна при у х > о

и отрицательна при у э г <о . Это следу­

ет из формулы (15) . Рассмотрим для системы (16) задачу Копти с дан­

ными

yj^-n,

4k-r°-

( 2 0 )

Если решение этой

задачи

существует,

то оно определяет две функции

причем из условия

п^<о

следует, что ух<о

и,следовательно, у>о

при

х < | и q<o при х > £ . Первое из уравнений

(16) тогда дает

/ = с >о

при х<£ и /3 .<о при х > £ . При х=£

функция fc=°- По­

кажем, что можно выбрать

такое h , что если

($,4)

то реше­

ние

задачи Коши (16) , (20) существует, единственно и продолжило в

обе

стороны от точки

х=£ до пересечения с осью

х . Зададим про­

извольным образом

положительное число

<{„<а

(например, qa = -^a).

Выберем теперь такое

ht

, чтобы для

(£,??)е£^

функция

yte&y)

удовлетворяла

неравенству

a-fWPy)

^ Iql 6 iiUnq-yi

(22)

Поэтому, положив

К-гпш

( Н ,

мы можем быть уверены, что в области 50^^ решение задачи Коши

( 1 6 ) , (20) , при условии, что

(£, 7 2 )еФ А

удовлетворяет не­

равенству (21) . Это обеспечивает

выполнение на решениях, принад­

лежащих области £^ , неравенства

Благодаря этому правые части равенств (16) имеют для

( х ^ е С ^

непрерывные и ограниченные производные по

переменным

у, q,. Таким

образом, для задачи Коши (16), ( 2 0 ) , если

ft,7?)e$0Ai,

выполнены

ремы существует

такая

8 -

окрестность

точки

х=£ , что в области

/х-£|«5

существует

и притом

единственное

решение

задачи

( 1 6 ) ,

( 2 0 ) .

Заметим, что

8

не

зависит от

(£,7£),

так как

правые

части

(16) не

зависят

от

§

, ti

, а

зависит только от констант, ограни­

чивающих сверху вторые производные функций

п, и ранее введенных

констант

а. и (>. Найдем теперь по

о3

положительное число

А^А,

такое,

чтобы для

($,7)6 50Л

решение

задачи

Коши продолжалось

до пересечения с осью х .

Для

этого

воспользуемся априорной

оцен­

кой для

y(x,\,Ti),

следующей из

оценок

( 2 1 ) ,

(22) . Первое из

усло­

вий (16) приводит к двусторонней оценке:

Отсюда

- r ~ J x - f c |

^

4,

,

*

)зс-$|.

Элементарные преобразования приводят к неравенству

7 ? - A z IX-$f

< у

< 71 -

4

IX-tf,

(23)

где

Решение

задачи Коши

y-{(x,$,7i)

заключено, таким образом, меж­

ду двумя параболами, имеющими вершину в точке

(§,TI)

Выберем h

таким образом, чтобы расстояние между точками пересечения с

осью

ми точками равно

. Поэтому выбрав

мы удовлетворим этому требованию, и кривая

^

=

д

л

я

^,7)е£>д

будет

продолжима до пересечения

с осью

х .

Из свойств правых частей

равенств ( 1 6 ) ,

а именно,

из

сущест­

вования у них непрерывных и ограниченных частных производных

первого порядка по

х , у , ^

следует, что

решение

задачи Коши

( 1 6 ) ,

(20)

имеет

вторые непрерывнее и тоже ограниченные

производ­

ные по сс. Более

того, так как правая часть первого из уравнений

(16)

имеет

гладкость на единицу

выше, то отсюда тотчас

следует

существование непрерывной по сс

третьей производной

. Вос­

пользуемся

теперь

известными результатами о непрерывной

зависи­

§§ 1 9 - 2 1 ) . Из них тотчас же следует,

что все производные по ос,о

которых шла речь, непрерывно зависят

от

£ , г\. Из глацкости пра­

вых частей

равенств (16) следует также существование

у функций

72),

Ю

непрерывных и ограниченных при . (ЪЮ^&А

частных производных по £, г}.

Тогда

из уравнений (16), тотчас сле­

дует

существование

непрерывных и ограниченных частных

производных

по

У

ФУНКЦИЙ

/ Х , • q x ,

fxx .

Для завершения доказательства леммы нам осталось

убедиться в

справедливости равенств (18) . Для этого

покажем вначале, что функ­

цию

можно представить в виде

qfr,$,V) = -fee--*) Qfr,t,V\

(24)

где

Q(x,$,ii)

— положительная функция

o<Qt<

Qte,$,T})

^

^ о о ,

(25)

и сделаем под интегралом

замену

переменной

i

на новую перемен­

ную U :

i =

+ ( x - f ) t t .

Тогда выражение для

можно представить в виде (24),где

i

1,11 11Г ii t.it

-,i

i

da.

_,

,

.