книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

э 9

fn 2 ty) - o/ Щ

\

(пЧх)-^?*1

О

Окончательное выражение для якобиана принимает

вид

_ llrtta-fKitw-tf]

ГУ

gate

fV

f t W z

ars, 6»01 <pj

n(</)

' J 4 т Ш ^ ' J

W-m-cfTb-

•

Из формулы (33) получаем выражение для 6~ix°x):

Формула для

бЩх)

симметрична

относительно

х° и х , поэто­

му

&(х°х)

= &(х,х°).

Кроме того,

из

этой

формулы следует,

что

в этой

области,

где

для

фронтов

имеет

место

представление ( 2 1 ) ,

( 2 2 ) , функция

67х°х)

является

гладкой

функцией. В вершине

фронтов

T=amsi

функция 6(х°-х)

принимает

значение,

равное

о

При

т? € [h,

И]

это

выражение ограничено

сверху

и снизу

положи­

тельными константами.

4 . Исследование обратной задачи. Покажем теперь, что при оп­

ределенных условиях

на коэффициенты

уравнения I I )

сформулирован­

ная

выше постановка

обратной задачи

имеет

смысл. А именно, уста-

сящей только

от переменной х 3 , причем

п(х3)>о,

l n 7 x 3 ) | > o ,

[In Шх,) ) >о,

а коэффициент

с(х)

в области x3<h (h>o)

известен и принадле­

жит С1, а при х » А

финитен и представим в виде

Я

е ( х ) =

g

a^x^xj-lj&J,

(36)

где

а

£к

- непрерывно дифференцируемые функции своих

аргумен­

тов.

Тогда

в области

аг3>/г

с(х)

однозначно определяется ин­

формацией (20) .

Доказательство

теоремы проведем рассуждением от противного.

Допустим,

что существуют два решения обратной задачи

c j x ) , c j x ) ,

удовлетворяющие условиям теоремы. Обозначим через

ц , и г отвеча­

ющие им решения задачи ( I ) , (2) при с=с,

и c=c t

соответствен­

но.

Обозначим

также через

L'

операторы

С — А

+ Ct ( х ) ,

t = 1,2.,

и через Я' отвечающие им резольвенты. Пуоть далее

щ - иг = й,

ct - с г = с.

Напишем два уравнения

( 3 ) , заменив в нем и. на щ и

L

на Г

(i = i,2),

и вычтем из одного

второе.

Тогда

получим

U(x,l)

=±

Щ

^ ) o - ( ^ x ) « J ^ , 4 - r ( * , x j ) d * +

(37)

+ 4

ffi

4 & ( * > а ) - 1 и ^ - г ^ х ) ^ -

Структура

этого уравнения относительно й.

такая же, что и урав­

нения

( 3 ) . Поэтому для него

имеет место формула (15) с

заменой

R на ft' и

f[x,l)

на

а о ^ ) = 4 * [ff с1Ю[б(1ос)^,1-Щ7т:))

+Jfti,oc,i)]d$,

(38)

U

fx, i - t ) = {

••

СТ

) * * - r } .

Так как функция:

uz[x,i)=c

для

4 < т ( х * х ) ,

то отсюда следует,

во внутренность временного

эллипсоида t>(x'x,i).

Тан как реше­

ние задачи ( I ) ,

(2) зависит

от

х^ то мы отметим эту

завжсимость

явно, используя для решения, прежнее обозначение

Шх°.х,-£).

При

этом

2 | 1 ? 1 ; * , ! е й

( ] } ^ Л ^ ^ М ^ э д ) *

50ftr?x,«

_

( 3

8 }

Положим

здесь

х = х ° е { х з = с } .

Тогда

Псх°х°,1)

= о ,

х ° б { х з = о } ,

в силу исходного предположения о существовании двух

решенА

с± (х),

c j x j

при одних и тех же данных

( 2 0 ) . Это приводитнас

к равенству

Здесь

£)fx?x°^)

- область пространства

f , ограниченная фрон­

том

U^X°X,l) ~-^6(Х°Х)-8{1~Т(Х°Х))

+ w a ( x ° x , i ) ,

^ |||g - ^) - 6^,x < ')6№:f) - 5a - 2 T (^x''))^

+

T^,x")iVz

В этой последней формуле первый из интегралов

преобразуется к по­

c($)j>fx°,M)cM^ +

окончательная формула принимает вид

верхностному иT(^x°)Я -i

(40)

2

Производную

э

нетрудно

S

5 ^ г ( х ° и

вычислить и непосредственно,

исходя из формул (23) , а можно для этого

использовать

равенство

( %, у

- цилиндрические координаты, введенные ранее):

и то, что Гт.=о, . Отсюда

Ту №° х ) =

ЫЩ)-^'.

В равенстве (40) с7$) = о

в области

ссъ< h. ,

так как по ус­

ловию теоремы коэффициент

с(х)

в области

х 3 < &

известен.Вы­

берем произвольное Н>&

и область

£>={х•• А 4 Х 3 < Н }

разобьем

на полосы

так,что для фронтов

r(x° $ ) =»^/2

имеет

внутри каж­

дой из полос представление

(21) , (22) . При этом в каждой паюсе

j3, j}f

являются гладкими

функциями, и функция j> в вершинах

фронтов ограничена положительными константами

сверху и снизу. Из

соответствующих результатов

по интегральной

геометрии (§3)

тогда

следует, что в классе функция (36) равенство

(40) может быть вы­

полнено только в том случае,

если cYx)=o.

Тем самым сАх)

=

= c j x ) и теорема доказана.

К сожалению, теорема не дает конструктивного алгоритма

для

построения решения. Отметим,

однако, что в том случае, когда об­

но,

предположим, что функция

с(х)

представима в виде

С(Х) =

С Г ( Х ) +

С~(Х),

где

функция

сг(х)

известна,

а функция £(х)

мала и ее

носитель

содержится в полупространстве

x3>h.

Тогда

представляя решение

и(х°х,1)

в виде

u(x°x,i)

= и г

( х ° х , * )

+-

Ulx°x,l),

где

иг(х°х,1)

—

решение

задачи ( I ) ,

(2) при

с = с г ( х ) ,

мы полу­

чим с точностью до малых порядка

б"г

уравнение (38) . Так как uz

находится по

cz

,

то

U(x°x,i)

известно при

х = х ° е

{у=о~}

и

i^o.

Решение уравнения (38) для

Zlx)

представляет

собой

задачу

интегральной геометрии, для

решения которой у нас

есть

конструктивные

алгоритмы.

§ 7. Обратная задача для уравнений

эллиптического и параболического

типов

Теория многомерных обратных задач для уравнений эллиптическо­

го

и параболического

типов развита

значительно

более слабо, чем

иных позиций,

существенно упростив технологию выкладок.

I . Задача

об определении плотности тепловых источников. Рас­

смотрим для уравнения

Щ =

Д ^ " + cpUhfay)

( I )

задачу определения функции

{(х,у)

в области

цъо

пространства

х,ц, x=(xi,...,xri),

если

известно, что решение

уравнения

I I )

при условиях

Шх,у,о)

= о,

t y x , o , l ) + h

u.(-x,o,l) = o

(2)

принимает в точках

плоскости у=о

заданные

значения

Щх.,0,1)

= flx,{).

(3)

При этом q>(l) считается

заданной

функцией,

h - заданным конеч­

ным числом.

Поставленную задачу

можно трактовать как задачу об определе­

у>о

. Функция

/fx,у)

как раз и определяет

их плотность. Несмо­

тря на кажущуюся надуманность, поставленная задача имеет опреде­

ленный физический смысл. Если функция

cpd) = e - J U *

то эта

задача связана с задачей определения плотности радиоактивных ис­

точников тепла по тепловому

излучению на поверхности Земли. При

этом

Ав - период полураспада

радиоактивного

элемента.

По отношению к сформулированной обратной задаче имеет место

теорема.

Т е о р е м а

I

. Пусть функция

/bc,yj

суммируема с квад­

ратом в области

у^о

, а функция

\(р(1)[фо

и растет при

i—?-<=•=> не быстрее,

чем

С е а < ,

где а - фиксированная констан­

та. Тогда функция

/fx, у)

однозначно

определяется функцией

F(x,i).

Применим к уравнению ( I )

преобразование Лапласа по перемен­

ной

I и преобразование Фурье по переменной

х :

- е о

О

Для возможности

его применения будем считать Д г р х х . Обратное

преобразование

записывается в виде

Уравнение ( I ) при этом преобразовании переходит

в уравнение

й^-(р+1/чл№

+ 4>(p)J(ju-,y) = o,

(6)

о

a f!fi,y)

—

преобразование Фурье по

х

функции

^(эс,^).

Граничное

условие^ 2)

преобразуется к виду

а данные

(3) к виду

й(/а,0,р) =F(fJ.,p),

(9)

где

F{p,p)

-

преобразование Фурье по

ос и Лапласа по

I

функ­

ции

F(oz,l).

Решение уравнения (6) при условиях

(8), легко достроить, ис­

пользуя функцию Грина

G(y,v,

fp+T/IF)

для этой задачи.Функ­

ция

G(y,y,/l)

удовлетворяет

по переменной у

в областях

О^у^ц,

У/ « у р а в н е н и ю

GV!/-llG=o,

-Х = 1р+1(л.1\

(Ю)

граничному условию при

у=о

:

№v+b.Cr)^=o

( I I )

и условию ограниченности при у-~°°,

непрерывна дри ц=-ц, а

ее

производная по

у в точке у=у

имеет конечный скачок,

равный

единице

Последнее условие эквивалентно тому, что функция

С?(у,т?,Я)

явля­

ется обобщенным решением уравнения

-FQ-SLy-T}).

(13)

шения уравнения (.10) имеют вид

и е _ Я ^ . Комбинируя

из

них два решения уравнения (10): одно - в области

o s y ^ ? ? ,

удов­

летворяющее граничному условию ( I I ) и второе решение - в области

<у»т? , удовлетворяющее условию ограниченности при ^->-°°,

полу­

чим, что функция Грина имеет вид

= ( Л С Я < А ^

- Л ж я у ] ,

от*.-*,

I Ве_ 3 Ч

у>7).

В этом уравнении ,ц

играет роль параметра. Функция

(р(р) явля­

ется

аналитической функцией в области Rzp>a.t

поэтому

она мо­

нет

обращаться в нуль

только на отдельных линиях, и в отдельных

точках. В силу этого

равенство (16) можно записать в виде

Т

= Ф ( ( а , Я ) ,

« 7 )

) е-^Ь^П)^П

о

где функция

ЯРШЫк-Л)-

Fi(l'f~,fJ-]Z)

(18)

известна в области

Вл (Al-lfil*)>oc,

ЯгЯ>о,

представляющей собой в комплексной

плоскости

Я=б+£ г

внут­

ренность гиперболы:

б" > V а + 1/1Г+Т*

(19)

Функция

Фс^Д )

является, как видно из формулы (17) , при каж­

дом фиксированном

fx преобразованием Лапласа по переменной

функции

flft, "ф-

Но функция

flp-,4)

вполне

определяется значе­

ниями преобразования Лапласа

внутри

области

(19) . Она может быть,

например, подсчитана по формуле

в которой

интеграл, при каждом фиксированном 6 , берется по пря­

мой , параллельной

мнимой оси т .

Итак,

функция

ftp-,?})

однозначно находится по функции

F(x,i).

Следовательно, и функция

f(x,y)

однозначно определяет­

ся этой функцией. Тем самым, теорема доказана.

2 . Обратная задача для одного уравнения эллиптического типа.

Рассмотрим теперь

в области

цъ-о

пространства х,-^, х = (х 4 ,

^ . . . . x j уравнение

лху

и = (аг+р£(х,у>) и. + 8(х-х1-8ц).

(20)

Здесь аг- постоянная, р - параметр (р»о); ос-произвольная

точка плоскости ц-о

. К такому уравнению мы приходим,

выполняя

вание Лапласа. При этом

р (или V/7 )-параметр преобразования.

Пусть с уравнением

(20) связано граничное условие

[u9

+ hu)

0=о,

/ А / < - о .

(21)

Рассмотрим задачу

определения коэффициента

&(х,у)

по следующей

информации:

f -

U(x°,p,x,y)l

=/fcr:x) .

(22)

р

-'

, 'V=°. Я=о

При этом предполагается, что х

и

х°— произвольные точки пло­

скости

у = о.

Т е о р е м а

2 . Если функция

й(х,у)

суммируема с квадра­

том в области у>о,

то она однозначно определяется

в этой об­

ласти

заданием функции

/(х° х).

Для доказательства теоремы вычислим левую часть

равенства

(22) . Представим для этого решение

задачи

(20) в виде ряда по па­

раметру р :

< ?

с >

Ш х ° р , х , у ) =

TLopnU.n(X°x,y).

(23)