книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

ajx,i)=^

j

(Ц&иЦ, 4 - l x - i l ) Mjnlt-od

d | ,

(20)

x - f ^

(x,-Ue<£>,

ajx1l)

= {

7

^

j

^ ) « ( M - № - t l )

d f ,

(21)

Формулы ( 2 0 ; , i.2I)

позволяют

по

решению

a foe, 4),

найденному

из

уравнения ( 1 9 " ) ,

найти частные

производные

,

щ

. Можно,

одна­

ко, рассматривать

уравнения

( 1 9 " ) ,

(20),

(21)

и как

систему

урав­

нений относительно

функций

и,

и^,

щ.

Дифференцируя равенства

( 2 0 ) , (21) по переменной

I , получаем

**ё^

(гг)

(23)

|

%(i)ui\,i-\x-K\)i\l

ЗЦМ

fsc,i)e<£>.

Уравнения

( 2 2 ) , (23)

можно преобразовать,

используя явное

значение

и(х,1)

в

точках

границы области © . Переходя в формуле

(19») к

пределу при

Н х - х . |

и замечая, что при этом площадь

области

<Ь(х,х„1)

стремится к нулю, находим

« ( х , /СС-XJ) = -£.

Используя

это

равенство,

запишем уравнения

( 2 2 ) , (23) в виде

(23)

3C + 3C„W

2

при непрерывной функции

у(-х)

Из уравнений ( I 9 ) - ( 2 3 ) ясно, что

функция

ufcc,^

и ее частные производные до второго порядка

включительно непрерывны в области *£>. Отсюда, в частности,

следу­

ет ,

что функции

^ U) = и ('XCII)

обязана

иметь непрерывные

производные по I

до второго порядка включительно, а

функция

•fz(i) = ux{xni)

-

до первого порядка. Кроме того,

из

уравнений

( 1 9 ) - ( 2 2 ' ) ясно,

что функции

fijl)

и

fzib

должны

при

i=o

(прячем значения их при i=o

понимаются как пределы

функций

u(x.,l),

их(х.,У

при

1-^+о )

удовлетворять

до ­

полнительным условиям

/, М = %,

/ > = Ь<°> ~ />> = о.

(24)

Т е о р е м а

I . Для существования решения поставленной

об­

ратной задачи в классе непрерывных функций

q(x)

необходимо.что­

бы функции

fjl),

foi)

11>о)

были гладкими, а именно,

существовали бы непрерывные производные

ft"tl)

и fzd),

а

при

£=о

значения этих функций и их дврвых производных, понимаемые

как

соответствующие

пределы при 4 —-»-+о,

удовлетворяли

услови­

ям (24),

В дальнейшем мы покажем, что условия на

fid),

fid),

необхо­

соотношения, с помощью которых функция

в любой точке выража­

ется через частную производную ut

и саму

<2.(х), стоящие под зна­

. Действительно,

полагая в формулах (22 0 , (23') х=х,1 а затем

складывая получившиеся равенства и вычитая, находим:

х,

(25)

х.4

i><>.

Первое из уравнений

(25) определяет (Цх) при х > х„ ,

второе - при

функция

u4(£, i-ix-si)

выражается через

значения

на

отрезке

[**±£J*£li

f

^

l ^ d ^ l l

l

] f

который

содержит точку х.

внутри себя. Два уравнения (25) можно записать

в виде одного уравнения,

введя в первом из них замену хо + ^=зс, а

во втором замену

х„-|-=х.

Уравнения (25) при этом приводятся к

одному уравнению

J (J,m-ut{f,2|x-xJ-|x.-il)^^(ф426)

СЦх)=

# х > - 4

се.

в котором

fix)

= 4 [ f"(2lx-xj)

+ £(2lx-xj)-sqn(x-xjj

(27)

Очевидно, что при выполнении необходимых условий для функций

£(Д £(4),

о которых мы говорили выше, функция

fix)

являет­

ся непрерывной.

Система уравнений

( 1 9 ' ) ,

(21),

(26) является

замкнутой

систе­

достаточно малых Т>о

для этой системы уравнений в области

<£>(Т) = <£>(х„,х0,Т).

имеет место принцип сжатых отображений.

Ч>=Ац>,

(28)

в

котором ср = (ср,,cpltcps)-вектор-функция

переменных х,4, компо­

ненты которой есть искомые функции

cpt - 1l(X,i),

<%= u^i),

q>3 =

9(0),

а

компоненты оператора

Л" 1Лц^,Л3)

определяются

равенствами

A<P=ij

% - f f l - % 8 , Ы * - * » > < * * , Л -

(29)

Рассмотрим область

©(TV = ©•fc.a^Tj, где Г

— произвольное поло­

жительное число. Очевидно, что оператор Л

переводит функции

ср е С(ЪСТ))

в функции также принадлежащие пространству

С(£хТ)\.

Покажем теперь .что при достаточно малом Т оператор

А осуществля­

ет сжатое отображение шара радиуса

М

с центром в точке

в себя. Тем" самым мы покажем, что уравнение

(28) имеет в области

ФГТ) ' йри достаточно

малом " Т , единственное непрерывное решение,

удовлетворяющее

неравенству

l<f>-Cf>.l<M.

(30)

Норму ср.„естественно

здесь определить

равенством

УПАхтах

l(f;(x,til.

(31)

Очевидно, что для элементов ср , принадлежащих шару

S(tpc,M), имеет

место оценка

1Ц>1*

icpj

+ M

<= JC.

(32)

Покажем, при Т< Т* где

Т*

определяется равенством

т

= т п 1 э Г ' Ш - Ш ' т } '

( 3 3 )

оператор Д является на шаре

8(<р0,М)

оператором сжатия.

Действительно, пусть сре £(сра,М).

Тогда ЛсреС(Й(Т))

и, кроме

того, для всех

(x,L) e<t>(T)

справедливы неравенства

* 4Xxlx-xJ&

2Ж*Т,

из которых следует, что для

T=s

Т

то есть

Лср е S(%Jtt).

Нам остается

показать,

что

оператор Л сжи­

мает расстояние между элементами шара

Sty,, М).

Для доказательст­

ва этого, возьмем произвольные два

элемента

<р',срге

S(<fi,,JU} и оце­

ним норму разности между их образами

d(f>\ Ay*.

Обозначим компо­

ненты элементов ip\ ср*

через

ipf, tpf,

1=1,2,3.

При оценке

iA(fl-A(f2l

воспользуемся

вспомогательными

неравенствами типа

которые имеют место для произвольных

tpl,cpze.

S(f.,M).

Используя

формулы

(29) находим

\Azyl-Ay\

J l%UV-^$,i4x-W-til<ptfl$,i-lx-SI)lds

Й

Отсвда следует,

что

и оператор

^

при Т< Т * осуществляет

сжатое

отображение шара

S(%,JU)

на себя. Тогда,

согласно теореме

С.Банаха,

уравнение

(28)

определяет

единственное

решение, принадлежащее этому шару.

Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Т е о р е м а

2 . Пусть

Т,

М

- произвольные положительные

числа и функции

£(1),

удовлетворяют

необходимым услови­

ям,

устанавливаемым теоремой

I , пусть кроме того,

\\cpj =тах(±,

тлх^1Лх)1)}

(34)

где

функция

f(X)

определяется

формулой (27) . Тогда,

если Т<ГТ*

где

-"^{Зйш'

гш+тГЪ

(35)

1

система уравнений ( 9 0 , ( 2 1 ) , (26)

определяет

в области

<£>(Г) = { Сх,1) •• I x - x J

^1 ^

7-lx-x.l}

julx,i)-{l

4

М,

lut(x,ill

Й Д

О б )

\yx)-fm\

^

Л.

ций fad), fzd)

при oii^,T<T*

определяет решение

обрат­

ной задачи, то есть функцию с^Ш

на отрезке

/ x - x j 4 ^ .

Таким

образом, теорема

2 имеет локальный характер:

чтобы найти

с^{х) на

тором определяется о_(о}. .

Замечание I . При фиксированной 1%/J

зависимость Т от па­

раметра Л , как показывает формула ( 3

5 ) , носит

следующий харак­

тер. При малых Ж параметр Т *

такке

мал, далее о ростом М он

возрастает, достигая

некоторого

максимального

значения

Т**

, а

при дальнейшем росте

М убывает

от

7*** до

о

. Число

Т * *

харак­

теризует максимальный размер области

£)(Т),

внутри которой еще

симальную длину отрезка,- на котором может быть найдена

у(х)

при­

менением к

системе

уравнении

( 1 9 ' ) ,

(<Я), (26) метода

последова­

тельных приближений. Исследование показывает, что выражения

2ЙГ

JUL

(

3 7 )

имеют максимум при

Ж =

в то время как выражения

\M+l<pJ

'

ЬЛ+1%п

монотонно убывают с ростом М,

принимая при

M=*stpJ

значения,

совпадающие

б максимальными

значениями выражений ( 3 7 ) . Отсюда

сле­

дует, что максимальное значение Т**получается

при M^fifjl

и

оно равно

т " = Ч

т

>

вд)-

(

3 8 )

Решение уравнения

(28) принадлежит при этом шару

»<Р-<ЯЫ

l(fj.

(39)

Замечание 2 . Теорема 2 гарантирует сходимость метода последо­

вательных приближений к единственному решению, если размеры

об­

ласти ФСТ)

достаточно малы,

то

есть мал параметр Т . Оама

возможность применения метода

последовательных

приближений

для

рой области

"ЗЭ(Т), мы можем найти решение в несколько более широ­

кой области

£)(Г+дТ). Действительно, гак как y>Cx,i) в облас­

ти ©(Т/

при этом известна, то можно преобразовать

интегралы,

входящие

в правые части формул (29) , разбив область

интегрирова­

рой -

область

д©Ф

=©(Т+лТ) \<D(T). При этом интегралы по об­

ласти

*)Ь(Т) представляют из себя известные функции, а интегралы

по области

A'&CTl

содержат в качестве малого параметра

размер

области AtxT),

пропорциональный дТ. Поэтому изменяя элемент

мы опять можем убедиться в том, что при достаточном малом

л Т

далее. При этом однако

остается открытым вопрос, можно ли расши­

рить область 'DiTl

до любой конечной области O t T j (.Tt>T).

Дело

в том, что величина

лГ

прироста Т

может неограниченно

умень­

шаться с увеличением числа шагов по расширению области.

§ 2 . Некоторые вопросы, связанные с обратной задачей

для уравнения колебаний струны

Остановимся теперь на некоторых

моментах, связанных с

обрат­

шх,1) - 4 -+ 5- ff

uli.vdi

dz,

( i )

UUl

<х,1)е<Ь,

прямой задачи, то есть функция

и(х,1)

от функции

(Цх). Выше мы

уже говорили, что уравнение ( I ) является уравнением Вольтерра вто­

рого рода и его решение можно получить при непрерывной функции

у(х)

в любой конечной

области,применяя

метод

последователь­

ных

приближений.

Решение

u(x,t)

зависит при это/,: от

ttfx,il = Jz<u„№,-1),

(2)

Jj f f f l - ( i H ( M )

fa

<*T,

(

3 )

В ряду

(2) только

функция

tL.lx^l)

зависит

от

о^эс)

линейно,

все же остальные

UJx,l)

(п>2)

зависят

от

ojx)

нелинейно. Вы­

делим явно линейную часть решения в уравнении

( I ) . Для этого до-

' статочно

сделать

замену'неизвестной

функции

и(ос,1)

на функцию

i r w - u W i - i ,

( х Л ) в ^

( 4 )

Уравнение для

vfci)

получится,

если

u!x,i)

выразить из

(4)

через

ubc,t)

и подставить в уравнение

( I ) . Оно имеет вид:

trcx,i)

= {

jj

9(f) d f dr

+ {

jj

щ,т)

d\ dr.

(50

Первый интеграл,

стоящий в этом уравнении справа

и дает

линейную

по

часть.решения, второй же представляет

из себя нелинейную

часть.

Решив уравнение

(5)

при заданной

функции

ojoc),

мы найдем

и(ос,1).

Тем самым определяется

нелинейный, оператор

который каждой функции

$

ставит в соответствие

функцию

о .

Из

уравнения

(5)

получаем

if{x,i)

= ^j]^)di

dz

+

{jj

qiybc^ydisdx.

(6)

Й(х,а^)

©fx,a;,U

Чтобы получить уравнение для функции ^(ос),

необходимо

теперь

ис­

пользовать информацию о решении прямой задачи. В данном

случае

она сводится к тому, что известны функции

1/(^,1),

,vx\'X0,i).

Следо­

вательно,

имеет место

равенства

l ^

- i

-

i j

j

qHldi-dx

+

±

jj

(ЦЯ-ВуЦ)

d$dt,

Id)

=

$ [ | E JJ

d\ d

t }

+

tftx

\\ qi\). bH

ds

dt]

Обращение перюго из них проводится

с помощью двукратного диффе­

ренцирования, а второго -

с помощью

однократного

дифференцирова­

ния. Этим и было вызвано

вычисление

производных

и и , a x i .

тора прямой задачи на том многообразии данных прямой задачи, ко­

торое представляет

из себя дополнительную информацию для

отыска­

ния решения обратной задачи.

Рассмотрим теперь случай, когда информация о решении прямой

задачи задана

не в

точке ж , в которой приложено сосредоточенное

воздействие,

а в некоторой другой точке х^х„.

Пусть для

опреде­

ленности х 1 >ос 0 , и пусть

известны относительно

решения прямой за­

дачи следующие функции:

ulxj)

=

ftd),

(7)

Оказывается,

что в

этом случае задача определения функции

^(х)

щая:

можно

задать

"почти" произвольно непрерывную функцию оЛх) на

отрезке txv,xjl

тогда вне этого

отрезка

в достаточно малой об­

ласти

функцию

q[xj

можно найти по данным

(7)

однозначно. Пока­

жем,

что это действительно

так. Заметим, прежде всего", что функ­

ции

и

fzU)

отличны от

нуля

только

при

^>эсг зс0 , так

как

при

4 < х г х о

точка

[х{,1)

лежит

ниже прямой

т = £-х„,

а в

этой

области, как мы установили

выше,

u(x,i)

=

o.

Рассмотрим

теперь

при

4 > X i - x 0 .

Область

зависимос­

ти при этом, как следует из

уравнения ( I ) ,

есть

прямоугольник

• D f r ^ x ^ U

При стремлении

I

к

х,-х0

этот

прямоугольник

вырож­

дается в отрезок прямой, стягивающий точки

(х^о), (ас,,х± -х„). Реше­

ние

и(х,4)

в точках

этого

отрезка

тождественно

равно

1/2,

а зна-