книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

рактеризуемая функцией

с(х)

, отвечающая этим данным. Здесь .од­

нако, мы должны несколько

оговориться. Дело в том, что данные мы

снимаем с определенной

погрешностью & и поэтому вместо

элемен­

та /

мы получим

элемент

J

, причем

tf-fll<8.

Элемент

\ .вооб­

ще говоря, не будет принадлежать множеству

Н.=ЛШ1 Поэтому .воз­

вращаясь к физическому

эксперименту,

следовало бы сказать так: у

нас не может быть сомнений, что существует

такая

струна

(такая

функция сед ),

что рассчитанные для нее теоретически данные ^

физического эксперимента

/

не будут

отличаться

от измеренных /

более,

чем на Ь . Если мы теперь уверены,

что данные физического

са ( с(х)еМ),

и кроме того есть

непрерывная

зависимость задачи от

изменения данных на множестве

то мы, решая задачу с экспери­

ментальными данными, получим ответ, близкий

к действительному. В

самом деле,

рассмотрим__в пространстве F

шар

Slf, 8)

радиуса

8

с центром в точке

/

. Нам известно, что в этом шаре есть, по

крайней мере,

один

элемент

/е R , и, следовательно,

существует

его прообраз

с(х)е

М.

Если же в этом шаре

S(f,S)

есть

еще и

другие

элементы,

принадлежащие

й., то все они удалены друг от

друга

не далее,

чем на Z&. Поэтому,

если

S

мало (.точность

экс­

перимента высока), то в силу непрерывной зависимости

с от

/ на

множестве

ft,

их прообразы

разнятся

также мало. Это означает,что

какое бы решение

с(х)&Л1

мы не взяли,

если

Ыс-Ц<8, то с(х)

близка к истинной.

Ситуация, аналогичная рассмотренной, характерна для многих

обратных

задач геофизики.

Многие

задачи,

являющиеся некорректными в классическом

смыс­

л е ,

являются

условно

корректными. В частности,

рассмотренная вы­

ше задача

Коши для уравнения Лапласа

является

условной коррект­

ной

(см.[75])

на множестве функций

и(х,у)

o ^ y ^ i ) ,

принадлежащих, при каждом фиксированном ц ,

пространству

L2[-7r,3T]

и удовлетворяющих дополнительному

условию

lulcc,i)fL

= | u*lx,i)dx

< <Рг,

2

-я

где *Р - заданная постоянная.

Отметим, еще, что для случая,

когда

оператор

А является

непрерывным

, а

Л

-

компактное множество,

из общих теорем

функционального

анализа

следует,

что выполнение

условий I ) и 2)

ную корректность и методам

решения условно корректных

задач (см.

[ 1 6 , 57-59, 63, 7 1 , 72, 7 6

, 7 9 , 82, 86, 87, 99-102,

146-149,156,

1 5 7 ] ) .

Г л а в а

2

ОДНОМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

§ I . Обратная задача для уравнения колебаний струны

Рассмотрим обратную задачу для уравнения

уш-и,

( I )

заключающуюся в отыскании функции

у (х). К уравнению ( I ) ,

как мы

"«

= и~х

+

{<ХЛ)

(2)

и задачу Копш для

него:

и(х,о)

= о,

ujx.o)

=

ijitx).

(3)

Решение

этой

задачи,

как известно

[114,138,160]

, дается формулой

x+i

Шх,1) = |

\

dt

+±j]{{f,T)di

dr

( 4 )

x-l

Mx,i)

где

Alx,l)

- треугольник

с

вершиной

в

точке

(осД| •.

А(х,1)= {

(1т):

о<

т < 4 - / э с - | |

} .

Для существования вторых частных производных

и и ,

и х х

доста­

точно потребовать

от

функции

ф(х)

существования ее первой

производной,

а от

функции

/far,I)

существования

ее частной про-

изводной

по переменной

I .

Однако

формула

(4) дает решение

урав­

нения

(2)

при условиях

(3)

также

и в том

случае, когда функции

ср(х)

и

/(х,1)

являются

просто непрерывными или даже кусочно

непрерывными. Но при этом мы получаем не

обычное решение

задачи

Коти,

под

которым подразумевается

решение

задачи, имещее

вторые

частные производные, а так называемое

обобщенное решение.3^ Если,

например, функция ф1х)

кусочно-непрерывна, то решение

и(х,1]

задачи ( 2 ) , (3) остается

непрерывным,

а частные производные

явля­

ристиках,

выходящих из точек разрыва функции ф(ос).

Используя формулу

( 4 ) , можно построить такие обобщенные реше­

ния задачи ( 2 ) , ( 3 ) ,

которые не являются даже непрерывными. Пусть

вначале

^(я,|) = о.

Цра этом формула (4) принимает вид:

цательных функций

</>пИ,

n = j,2,...t

которая обладает

следующи­

ми свойствами:

1)

ij)n(-x,i = o

вне

некоторого

отрезка [а^-а.^,

х 0 + а п ] 1 при­

чем последовательность ип

сходится к нулю при п—««^

2)

последовательность

\<l>(l)di

~

i.

J

/1 —+- о

о

Последовательность

функций

обладающая свойствами I )

и 2)

называется

& -образной последовательностью. Предел

такой после­

довательности {ф„}

носит название

S- функции,

сосредоточен­

ной в точке

ж„ , и обозначается

через

£ ( зг-х0 ).

Заметим,

что

-

(xJ-Sfx-xJclx

=

J.

(6)

хё£а,Й.

Действительно,

если

х„е(а,й),

то

начиная с некоторого

номера

Л отрезок

Гх„-а^,

х0 + ап]

содержитоя в отрезке

[а,ftj

и, сле­

довательно, для

п>Л

j/fx)^(xj£/x =

f/(btf^ftcjcfec

=

/ ( x ^ o ^ e j j ^ c / x — W ^ c J ,

Если же

x 0 efa,&7,

то начиная с некоторого

номера

JT

отрезок

[а^-а^,

х„ + а.п]

не имеет с

отрезком

fa, &]

общих точек

и

поэтому,

в

силу

свойства I )

последовательности

с/)^ ( х ) :

J /(х)- </>„W с/х = о,

п>

If.

Свойство

S

- функции, определяемое

равенством

( 6 ) , можно было бы

принять за

определение

^-функции. Так

это

обычно и делается (см.

[ 4 3 ] ) .

Рассмотренная наш

§ -функция входит в класс

так называе­

мых обобщенных функций.

Если рассмотреть

теперь последовательность

функций

tijx,{),

отвечающих

8-

образной

последовательности

функций

<р„,(ос)

:

^

^

[

^

Й

,

(7)

то получим последовательность решений задачи Коши для уравнения

(2)

( / ( x , i ) = o ) .

Переходя

к

пределу при п - * « , получим

функ­

цию

Г i

/a:-x0 |<i,

а ( х х „ , Л = i

( 8 )

L

о,

/x-sc„| > ± ,

которую естественно назвать обобщенным решением уравнения

при условиях

tlfr.o) = о,

иг[а:,о) =

8"(х-х„).

( 3 ' )

u ( x , x . , ^ ) - 4

# ( £ - a q M

=

(9)

Легко понять,

что выражения, определяемые формулами

(8) и (9) от­

личаются лишь формой записи. Оба эти выражения не определяют

зна­

чения функции

и(х, ха, I)

на характеристиках

х = х 0 ± £ ?

выходя­

щих из точки

(х., о).

Будем понимать

под значениями

u(x,x„,t)

в

точках этих характеристик их предельные значения,

вычисленные

со

стороны области

l>

Ix-xJ.

В данном случае:

и(ж, ха, ioc-xj)

= 4^.

Функция

и(х, х„,4)

называется фундаментальным решением за­

дачи Коши для уравнения ( 2 ' ) . С помощью ее решение

задачи Коши

для уравнения

(2 0 с данными

и(х, о) = ср/х),

ut Кг, о) = <|>{х)

(10)

записывается в виде

а(хД) = J^j

q>(xD\u{x,xl,,l)dx.

+-j ф(ха)и{х1х0,1)

dx^. ( I I )

Легко

проверить,

используя формулу (8) , что функция

alx,l),

опре­

деляемая этой формулой, совпадает с решением задачи

(2 0 , (10),

определяемым формулой Даламбера. Это и показывает, что

ufol)

есть

решение задачи

(2 0 ,

(10) . Конечно, для уравнения

(2 0

представ­

ление

( I I ) для решения задачи Коши просто совпадает

с формулой

Даламбера,

однако

оказывается, что формула ( I I ) является универ­

сальной в том смысле, что она справедлива для дифференциальных

операторов

более

общих, чем оператор,

определяемый формулой ( 2 0 .

Рассмотрим,

например, уравнение

ин = a W l - i ^ + ^ O - ^ +с(х,4}-<н.,

(12)

где

a(x,i)eC2 ,

кх,1)еС,

c(x,l)

е С,

и пусть

ufx . x . ji)

есть

фундаментальное решение задачи Коши для уравне­

ния (12) , то есть

решение уравнения (12) с начальными данными (3*).

Тогда

решение

задачи Коши для уравнения (12) с данными общего ви­

да (10) дается

также формулой ( I I ) .

Рассмотрим теперь уравнение (2) при нулевых данных Коши. Тог­

да решение

задачи Коши имеет вид

ufc,i)-±\\fc,T)A\dx.

(13)

Нетрудно также построить некоторую последовательность функций

{ £ ( х ^ ) }

которая является двумерным аналогом

8-

образной

последовательности

{фпШ}.

А именно, пусть

^Jx,i)

— кусочно-

непрерывные неотрицательные функции, обладающими свойствами:

1)

^fac,^=o

вне некоторой области

/х-эс,,|1 +

+ И-^1*<

причем последовательность

оСа сходится к нулю при

2)

Последовательность

интегралов

\\l(x,i)dxdl

-

1 .

Предел

последовательности

функций

носит

название

$ -

функции,

сосредоточенной

в точке

(x„,lj

и

записывается

8(з:-х.,

1-IJ.

Основное

свойство

S(сс-х,,

i-lj

заклю­

чается в том, что для всех непрерывных функций

ftx,i)

имеет

место равенство:

Я f(x,U-§(x-xJ-i.)d*dl=<

1 О,

_

(14)

*

( о ; , 0 б © .

Здесь через 5

обозначена замкнутая область с

кусочно-гладкой

границей,*Й - открытая область, отвечающая 33

. Решение уравне­

ния (2)

с

сосредоточенным в

точке

(a^,lj

воздействием

вида

Six-х0,

i-ij

и нулевыми данными Коши имеет вид:

ft,

i-i.>lx-XJ,

tt(ccloc.,lj

=

1

(15)

[

О,

i-i.<lx-xj,

ж называется фундаментальным решением для уравнения

( 2 ' ) . Решение

уравнения

( 2 ) ,

отвечающее нулевым данным Коши,выражается

через

фундаментальное решение по формуле

ulx,l)

= j

dia

j

/(х0А). u{x,i,*.Aj

с/х0.

(16)

Используя

равенство

( 1 5 ) , легко

формулу

(16} преобразовать

к виду

(13) . Формула

(16)

остается .однако .справедливой

и для

более

общих

+

J d>exjutx.xotl)dx„+

\d{^^x0,i}u(x,i,(x1>X)dxo,

.

0 0

О

- « о

то есть выражается через пару

фундаментальных решений и.Ьл,х„1) и

u f a ; ^, at,i„),

связанных с

уравнением

( 2 » ) . В данном случае,

Шх,I, х„I.) =

и (ос, ж0,i-ij,

которая является

следствием того,

что коэффициенты уравнения (2»)

не зависят

от параметра I .

Формула

(17)

остается справедливой также для уравнения вида

" и

=

%и

*7<fc4.

где

i f - линейный дифференциальный оператор эллиптичеокого

типа

с переменными коэффициентами в

п

—мерном пространстве ае =(ос4 ,

х г7

эсл ),

если интегралы,

входящие

в формулу

( 1 7 ) , понимать

как интегралы по

п-мерному

пространству.

2 . Исследование обратной задачи. Перейдем теперь к постановке

обратной задачи для уравнения ( I ) . Рассмотрим для уравнения

( I )

задачу с данными Коши вида

(3»), и пусть относительно

решения этой

задачи известны в точке

х0

функции

u(xJ}=lU),

< W ^ , & = £ ^ .

(18)

Требуется по функциям

£{4),

fjl)

найти функции

q(x).

Будем считать, что функция

ojx)

непрерывна,

и в этом предпо­

ложении проведем исследование поставленной

задачи. ж ^

Естественно,

что при непрерывной функции

q(x)

функции

fiU)

и

fal)

не мо­

гут

быть произвольными, они должны удовлетворять некоторым требо­

сейчас и перейдем. Положим в уравнении

( I )

q(x.)-tt(x,l)

=

f(x,i)

и применим к уравнению (1) при условиях

( 3 ' ) формулу

( 4 ) . Исполь­

зуя свойство (6)

й - функция,

получим

ofx.fl

= | c t t - l x - x j )

4- i

|j

(До ^(|,т) ct| etc

(19)

Д(Х,±1

В этом уравнении

ef-t-|х x„ij

— функция Хевиоайда, определя­

емая формулой

т>о,

£ПГ) =

Г 1,

f

т<о.

( О ,

ласти плоскости xti.

Итак, задавая непрерывную

функцию ^(х), мы

находим единственное

непрерывное решение ul-x,{).

Тем самым урав­

функции qte)

Б функции

UlX,i):

Ац, = и.

Рассматривая теперь значения функции и ее

частной производной по

х в

точке х„

, мы получаем для отыскания

<^ операторное урав­

нение

вида

но неизвестной функции

и(х,1)

и некоторых ее

частных производ­

ных, а также

и функции

tyoc)

и затем покажем,

что к этой системе

в достаточно

малой области плоскости x,l,

1>о,

окружающей точку

(ж0 | о),

применим принцип сжатых отображений. Тем самым мы .решая

ции Щх,1)

и ty(x).

Покажем прежде всего,

что ttlx,(l=o

вне области

<£)={(3^h i>lx-xjj.

Действительно, для точек (х,4)ё<£) ин­

тегральное

уравнение (19)

принимает вид

однородного уравнения

u(x,i) = f j"j

qj^-ua.-odl

dx,

*

M

(x,4) ё <£>,

рода, имеет только

нулевое решение

ufa^ij^o.

Учитывая

это,

мы будем рассматривать решение

«.(осД)

только

в области <£>.

в

этом случае решение

U 9 ) принимает вид

Здесь

'Ю/Ьг.э:, ^)

- область,

представлянцая из

себя прямоуголь­

ник (см.

рис.2):