книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

Подставляя выражение для

<£fx, £, 7)

из формулы (24) в

первое

равенство (16) , получим для

/з-№,£, ??)

вторую из формул

(18) ,

в которой

8 = - § S

В=

,Q *

, .

(27)

Из полученного представления для

fx

нетрудно получить пред­

ставление (18) для функции /fx,*,?).

Действительно,

dl

Отсюда,

учитывая, что

j($t$t r>) = г?,

находим

(28)

Формула

(28) эквивалентна

первой

из гоормул (18) , если положить

i

А(х,$,71) = j u - B($ +

te-fc)U,

4) cfctt.

(29)

о

Существование у функции

dlx,$,%)

непрерывных и ограниченных

Неравенство (19) для

j#fx,£,?)

можно получить

непосредст­

венно из формулы

(29) , либо

воспользоваться

готовыми

оценками (23).

Лемма 2 . Пусть функция

п(х,у)

удовлетворяет

условиям лем­

мы I , тогда существует

такое число

(о<А0^А)у

что в области

=

/ fx, у) •• - ~ < х < оо,

о «, у ^

}

семейство кривых

Th,Vh

IS,Ю€

'ОА.

и

Ф У 1 1 1 ^

J 3

' ^ V )

= ^ + £ ( х , * , - q Y

удовлетворяют требованиям

п.10 § 3 .

Прежде всего при любом

Aaak

из установленных в лемме I

свойств функцш:

/fx,*, q)

следует

существование непрерывных и

ограниченных частных производных у функции

_/>(х,£,??)

по

х,$,7}.

В то не время

J>lxrb,-q)

> 4.

Таким образом,

функция jD(x,f,>?)

удовлетворяет

указанные

требо­

ваниям.

Свойства

фушщии

/(х,£,7г)

гарантируют также

представимость

семейства кривых

в виде

х = х . ( ^ , ч ) = $ + n ) i (р;(Гп-~у,Ч,ч)7

(30)

где функции

yip,*;,7})

непрерывны в области

G"=. {

( р,

*?) :

- ~о < ^ < « |

о 6 р *

}

вместе

с частными

П Р О И З В О Д ­

НЫМИ

Э(р-

difK

£ ^

Э ^ .

д^Р.

Э29?-

^gjj

эр'

э* '

Э 7 '

эр*1

эрЭГ

эрэ^'

Дейстлительно,

в предположении, что йункция

/(эс,£,7;)

трижды не­

прерывно дифференцируема по х

и обладает

сноаитпами

типа (18) ,

( I - J )

(даже несколько

более слабыш),

нами было установлено в п.2

V 3 , что уравнение каждой кривой

ГИ,У})

:.;ожет быть

представлено

в виде

(30) , причем функции </*(р,Ь V.)

дважды непрерывно дифферен-

цируемы по р .

Из существования непрерывных и ограниченных произ-

зодных по

£, Tf

у функций

L i , fxx

следует существование непре-

рнвннх производных по £ , р

у функций (р. (р.$.р)ър(р-$,>р)

(при этом

существенно,

что ^ ( f . b ^ M c ) . Однако из-за неограниченности по

£

области

Q- из непрерывности производных

(31) еще пе следует

их ограниченности, поэтому на ограниченности

этих

производных мы

остановимся

особо. Ограниченность

самих функций

<^>(р,

в об­

ласти Q

легко

следует

равенства

(18), если его записать в виде

Ш х , Ь ? )

Сравнивая это равенство

с (30) , находим

'

typ.w=-j=

р

Н'г>

( 3 2

)

и,

следовательно,

(р.(0,$,Ч) = О,

ОьЩЦЬф^-щ.

( 3

3 )

Исходя из тождества

получаем

т

= i-Di. *-*44(x,t,V'

I

(34)

Подставляя для

/,

их выражения из формул

(18) и обозначая

через

запишем равенство

(34) в виде

Всм . тг)

Функция

C(x,^,i?)

как это следует

из свойств

функций

A(x,*-,7i),

Btx,$,->i), ограничена

сверху

и снизу

положительными

константами

и имеет

ограниченные

частные производные. Поэтому

0

- 4 * эр * L » •

L *

в* •

Ч - B l

•

Ограниченность

второй

производной

легко

получить про­

дифференцировав равенство

(35) по переменной

р . и воспользовав­

шись ограниченностью производной функции

С(х,$,ч)

по перемен­

ной х. Дифференцируя равенство

(35) по

и по

, получаем

два

соотношения

(36)

э р

l эт?/ ~ ' " L

x

Э 7 ?

+

S

'

которые можно рассматривать как линейные

уравнения первого

поряд­

ка относительно

неизвестных функций

,

.

Так как коэффи­

циенты их уравнений ограничены и интервал

изменения

р

ограни­

чен (о^р&Ш),

то отсюда

вытекает

ограниченность

производных

22'

а следовательно,

из равенств

(36), и огоаниченность

Так как

выражения

Z^l^d,

ограничены,

этого

всегда

можно добиться. Учитывая,

что для lk,4)e

A t

максимально

воз­

можное значение переменной

р

равно

Vft„, из равенства (38)

на­

ходим оценку

( 3 7 ) .

Этим завершается доказательство леммы.

Замечание. Числа

А, Д,,

фигурирующие

в леммах I

и 2 ,

зависят

только от констант, ограничивающих вторые производные функции

п(х,ц),

и констант

а и

t> ,

входящих в неравенства

(17) . В си­

лу этого из доказанной леммы следует,

что в любой полосе шириной

не более

ка,

принадлежащей

области £>, структура тех отрезков

лучей

Г($,12\ вырезаемых выбранной полосой,

которые имеют в

этой

полосе вершину, аналогична

структуре

кривых

Гщ,^)

п.10

§ 3 .

3 . Выводы по линеаризированной постановке обратной задачи. Из

проведенного

анализа лучей

в двумерной среде

уже нетрудно

полу­

ем двумерного

пространства

х, ц.

Пусть функция « j x , ц)

удовлет- -

воряет требованиям леммы I . Тогда

задача (7) в области <Ь={(х,у):

- ° о < о с < ~ ,

о « < / 4 Н }

может быть рассмотрена методом,

изло­

женным в л.10

§ 3 . Из результатов

этого параграфа вытекает, в

о<а ^ пв(х,у)

<

к о о ,

0<а^~Ъ^

n . ( 3 C >V ) 4

1

^ < ^

а функция

п.(х,у)

мала

по

норме

и пред ставима в виде

где (ркеС2[0,Ю,

<РкеС*1-

—,<=-).

Тогда

в области

£>

функция п(х,у),

в линеаризированной по­

становке,

однозначно

определяется

временами

г fx" ос*)

для любых

пар точек

х°х1е{у

=

о}.

Для доказательства

достаточно

область •£)

разбить

на полоски

толщиной не более h„

и воспользоваться

следствием I

§

3. Заме­

(7) нам достаточно знать функцию г , ( х ° х ' )

только

для тех

пар

точек x°xie{y

= o},

которым соответствуют

лучи

/7(£>??),

их

соединяющие и принадлежащие целиком области £>.

Можно получить аналогичные теоремы единственности для линеа­

ризированной

обратной

задачи, связанные с классами функций

В процессе

линеаризации задачи мы предполагали,

что функция

njx,y),

мала и при этом условии получили приближенное равенство

( 7 ) .

Возникает,

однако, вопрос, в каком смысле п±

должна быть

ция п0 зависит только от расстояния до

фиксированной точки,

это

проделано в работе [1031 Получено достаточное условие, чтобы

ре­

шение уравнения (7)

было близко к истинной функции

гц. Мы приве­

дем эти достаточные

условия,

перефразируя на случай

п0=п0(у).

Ус­

ловия эти следующие:

функции

п, и. п

должны быть дважды непре­

функции

п. и [n-nj

- удовлетворять

условиям (17) .

По-видимому,

они являются достаточными и в случае,

когда функция

зависит

от ас и

у.

жение к функции

п, . Объявим его

первым приближением и обозначим

через

По формуле ( I ) найдем первое

приближение функции

п,

которое

обозначим через

п"':

п"'(х)

= п„{х)

+

n f ( x ) .

По функции

n!''lx)

построим лучи

^ ( х ° х Ч

и времена

г*(х°х?).

Тогда для

разности

W X ) - п„м ) (х)

=

П ^ ( Х )

получим приближенное равенство .

в котором

1

'

т*(х;х')

=

т(х;х*>

-

г*и° х*>.

Решая уравнение ( 7 ' ) ,

мы получим

, по которому можно постро­

ить далее

п?=п0+п™,

затем лучи

[^(х'х*),

времена пробега

по ним

т0'х>1х.°х')

и,используя

линеаризацию, получить

уравнение

для третьего

приближения

п1*

и т . д . Вообще,

на

«.-том шаге мы

получаем

уравнение

< " * Л

Й : Х * ) =

5

с ^ )

^х,

в котором лучи

Гк(х°х')

строятся по функции

п'0я1Сх)=Па1х)ч-гг^(х),

а времена

т^**"

находятся по

формуле

•rf'Vrx1 ) = Ttx'x1)

г-

T^lxXx1),

причем

r . ' ^ f x ' x 1 ) — времена пробега

сигнала

в среде,

характери­

зуемой функцией

nl*(x).

Вопрос

сходимости

n^lxi

к

n&d

требует

своего

выяснения:.

Для сходимости, конечно,

существенно, чтобы функции

п!*Ш

удон-

летноряли условиям типа условий на-

nix)

леммы I .

Можно наделать­

ся, что

при

«„(х),

достаточно

близком к

л ( х ) ,

достаточно

не­

скольких итераций, чтобы получить удовлетворительную

точность.

4 . О единственности обратной кинематической задачи. Пусть

об ­

ратная кинематическая, задача рассматривается в области

Ц^о про-

странства ос, у.

Естественно было бы ожидать,

что функция п(х,у),

удовлетворяющая

условиям леммы I

однозначно определяется в облас­

ти £> по временам tlx'x'),

х ° х * е {у=о}.

К сожалению,это

этом направлении

были

проведены

Ю.Е.Аниконовым [9] ,[10] ,[12] , [ 1 3 ] ,

[15] . Мы остановимся здесь только на одном результате.

Т е о р е м а

3 .

Пусть п(х,у) —

аналитическая

функция в об­

ласти цъо, и

щх,о)>о,

Пу(х,о)<о. Тогда она однозначно

определя­

ется в области

у > о

функцией

т(х°х')

для различных

х°,х'е{ц

= о}.

Для доказательства

теоремы достаточно показать, что различным

функциям

п(х,у)

из указанного

класса

отвечают различные функции

Т7х°х*).

Рассмотрим две различных функции

п±(х,у)

и

f\lx,y). Из

их аналитичности следует, что найдется

такая

точка

(х,о)

и такая

ее открытая окрестность

5(х,а)

={(х,у): f x - x ) I + ^ 2 < £ i ,

у>о},

что для точек

(х,у)е

Six,г)

одна из функций

« ^ « ^

строго

разность.

Пусть,

например,

п^х,^)

> nzlx,y).

За счет

умень­

шения

е

всегда

можно добиться, чтобы в замкнутой

области

5(х,£)

были выполнены неравенства

nilx,y)>o,

^-nL(x,y)<o

U=1,2). Тогда

лучи

/^(1°х'),

отвечающие

средам

п€1х,у),

в области

5 ( х , е )

имеют вид дуг, опирающихся на ось- х .

_

Покажем, что для лучей

1?(х'хл),

содержащихся в

(

), отве­

чающие им времена

удовлетворяют

неравенству

S

X,E

Tt(x°x') >

тг1х°х').

Действительно, из неравенства

njx,y)

> nz(x,y)

следует, что

r , ( x ° x ' J =

^ n1[x,y)ds

>§nz(x,y)ds,

£(х°х*)

ГУх'х')

но так как из всех лучей,

соединяющих точки

ос° х*

в среде .от­

вечающей функции

пг(х,у),

минимум времени реализуется на кривой

Г1(х°х*),

то

^ nzlx,y)ds

>

j

i\(x,y)ds

=тл(х°х').

Отсюда и получаем требуемое неравенство. Но это неравенство

озна­

чает, что функции

Tiix'x'),

отвечающие различным

п^у),

не

п(х,у)=щх,у)-1>(х,у),

П(Х,0)>0,

tlytX,0)<0,

где

aix,y) — фиксированная положительная

непрерывно-дифференци­

руемая функция, а

&(х,у)

- аналитическая

в области у&о функ­

ция [

1 5 ] .

5. О постановке

задачи при наличии внутренних источников воз­

шара 5 , содержащего

область

50, измеряются времена пробега

т(х'х%

x°e5D,

х'е S.

Требуется найти скорость передачи сигналов

v(x)=-^~-

для точек are©

( с м . [ П , 1 4 ) ) . Своеобразие этой

за­

дачи заключается в том, что не зная скорости передачи сигналов

вну­

три сферы 5 , мы не вправе считать

известными координаты источни­

ков х \

Более того,

времена пробега

т(х° х*) для каждого фикси­

чала

возмущения), т . е . с точностью до аддитивной

постоянной.

В

предположении, что семейство функций Пх'х1),

отвечающее различ­

ным х* допускает

параметризацию (так что между

х° и параметром

u = (u1,...,uj

существует взаимно однозначное и дифференцируемое

соответствие),Ю.Е.Аяиконовым показано (см . [II] ) ,

что скорость

v(x)

находится по функции

r(x°x J ) в области £> с точностью доконформ­

ных преобразований этой области. Отсюда следует,

что в случае .ко­

гда

область

50 примыкает к поверхности сферы S,

скорость внутри

£>

определяется

однозначно.

6. О частных

решениях обратной кинематической

задачи. В целом

решение обратной кинематической задачи представляет довольно

зна­

чительные трудности,

как в формулировке удачного

вычислительного

алгоритма,

так и в его реализации. Поэтому немаловажную роль

здесь

те [12] им предложен довольно

общий метод разыскания частных реше­

ний. Идея метода

заключается в том, что из некоторых дифференци­

альных связей на заданную функцию

т(х°х')

следуют

(при условии

единственности решения задачи) соответствующие дифференциальные

связи для искомой функции

п(х).

Например, для области ц>о

про­

странства х,ц,

если функция

п(х,у)

удовлетворяет условиям

п

= с +

а

п ч

+Рп =

0 '

П ( Х , 0 ) = СЦХ),

( 3 9 )

то функция

Tlx'x'),

x°xie{y=o}

удовлетворяет

уравнению

+

a-[№(x°)-i£.

+Va*(x<;-E^] +jbx=o.

(40)

При условии

единственности

решения задачи определения

п(х,у)

в

области

у го

по r(x°xJ )

верно и обратное: из уравнения (40)

следует

уравнение

(

3 9 ) .

Этот факт можно использовать для отыска­

ния функции

Шх,ц).

Найдя из (40) функцию

асх) и константы

а

и J J , можно, решив задачу

( 3

9 )

(если <хФо

), найти и функцию

п[хф.

« " М И ц •= ли

+• bwywdu

+ с и и .

(1)~-

Действительно,

если функцию

Шх,1)

подчинить начальным условиям

Шх,-о)=о,

ujx,o)

= oVx-x°),

(2)

то решение

задачи

( I ) , (2)

описывает процесс

распространения

возму­

щений от точечного

источника, сосредоточенного в точке х !

В каж­

дый фиксированный момент времени 4

возмущение от источника

х° за­

хватывает

те точки пространства

х,

для которых время пробега

сигнала

т(х°,х)

от х° до х,.. не превосходит

I . Поверхность

T(x°,x)=i

представляет

из .себя фронт волны от

сосредоточенного

источника. Функции г/х?х)

и

nhc)

связаны друг

с другом

урав­

нением эйконала. Так как от параметра

х°

решение

задачи

(1),(2)

существенно зависит,

то в дальнейшем мы будем обозначать

его че ­

рез

Щх°х,1).

Выделим в пространстве

х

некоторую поверхность

5 , ограничивающую область £ ) .

Пусть

x°eS

и х

- фиксирован­

ная точка

асе. St

в которой мы наблюдаем

за решением задачи

( I ) ,

(2).

Для моментов времени

i<zlx°,x)

решение

тождественно

равно нулю. В момент

времени

^=rte°x)

(прихода

фронта волны в

точку х ) решение становится отличным от нуля и зависит, вообще

говоря, от всех коэффициентов уравнения ( I ) . Таким образом, время

пробега

сигнала

т(х°х)

является функционалом решения задачи (I),

(2).

Поэтому ясно, что если решение известно для всех точек

хе5

при различных

x°eS,

го эта информация о решении содержит в се ­

бе информации о временах

тбх^х), являющихся данными для обрат-,

пой кинематическое

задачи.

Итак, обратная кинематическая задача, связанная с определени­

ем функции

пт,

использует информацию о носителе

функции

«,(х°хД

Интересно, однако,

использовать

само решение как функции

времени,

заданное в точках

поверхности

S, для определения коэф-