книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

Возмущение от точки

х ° приходит в точку х по лучу Г(х°х),

соединяющему эти точки

(предполагается, что на луче Г1х°,х) осу­

тественно, что на решение

и(х°х,1)

сказывается строение

сре­

ды вдоль

этого

луча,

т . е . значение

функций nix),

£(х), с(х). Поэто­

му разумно использовать информацию о решении

a(x'x,i)

в окрест­

ности момента прихода в точку х

фронта

волны для отыскания коэф­

фициентов

the), с(х).

Фактически здесь вдет речь только об ампли­

туде волны в окрестности его фронта. Естественно,

такую постанов­

ку обратной задачи назвать лучевой,

так как амплитуда в окрестнос­

ти фронта волны зависит от геометрии лучей. При дальнейшем

изло­

жении это проявится совершенно

отчетливо.

В связи с тем, что рассматриваемая

нами информация о решении

ute'x,i)

распадается на две части: информацию о временах

т(х°х)

и амплитудах в окрестности фронта волны,

то и задача опреде­

ления коэффициентов уравнения ( I ) распадается

на две. Одна

зада­

ча: определения п(х)

по г(х°,х) — была нами рассмотрена

ранее.

Здесь мы рассмотрим

задачу определения коэффициентов tlx), с(х)

по амплитудной

части решения. При этом мы будем считать функцию

п(х) известной. Сформулируем

точную постановку

задачи.

Постановка

задачи. Пусть

5

- поверхность в пространстве, ог­

раничивающая область

£>, и пусть решение задачи

( I ) , (2) извест­

но для любых

x'x'eS

в моменты времени, лежащие в некоторой

€-окрестности

момента

•£ = т ( х ° х * ) .

Требуется,

при известной

функции

n/х),

найти функции

1(х),

с(х).

Конечно, для того,, чтобы поставленная задача

имела

смысл .не­

обходимо,

чтобы лучи,

соединяющие точки

x ' x ' e S ,

лежали внутри

области

Й.

Сведем задачу ( I ) , (2) к интегральному уравнению. Воспользу­

емся для этого методом С.Л.Соболева

[139 , 140 , 1 4 2 ] , развитым

им для интегрирования волнового

уравнения в переменных

средах.

При этом будем

полагать

х = ( х 4 , х г ,

Х3).

I . Построение

интегрального

уравнения прямой задачи.

Рассмот­

рим фиксированную точку

£ =

2 , $ 3 )

пространства

сс

и вве­

дем наряду с функцией

Шх,1)

функцию запаздывающего аргумента

vlxA)

= и (х, 4-z(x,y)

=

[и(х,4)1

( 3 )

Получим уравнения для

функции

v(x,i)-

Для этого используем

сле­

дующие довольно очевидные формулы:

giadx v(x,i)

=[gw£L0Cuix,l)]

-[щ^А^-

q%adxz(x,\),

-[щ(х,4Ц-йхгСх,у

+ [а«Гх,^]|оооо(х 1(х,у|г

Перейдем в уравнении

( I )

к запаздыванцим значениям

nz(x)[uu]

= [й и] +• kx)lqwuixu]

+ их) [и]

(4)

щие значения ycadu., уъаЛщ

через функцию v(xA~>:

[ytcudй] = (pjxdL v + ut

qiadx,

ЦиаЛ

= qwd \

+ vu

giad

z.

Используя

эти формулы,

равенство (4)

преобразуем

к виду

п 2 vu

= Av

+ 2 /pad vt

• giadz

+

vii-lg^ouizlz-h

+ UtAT+

£(x)(gwd.

v

+ vi

yuadz)

+c(x)v.

Так как имеет место

равенство

Igmc^rfcr.fjN

пг(х),

то полученное равенство эквивалентно следующему:

AV

+ 2 (pxxdv^ • cpjouiz

+- Vt AT +

^

+ E>-((ji£Ldv + Ц qwdz)

+

cv

=

o.

Умножим обе части этого равенство

на некоторую функцию

б(х,$) и

преобразуем его

к виду

6 AV+

dvo[z7!t-6q'wAz

+6&v\

+

+ Vt[6l>-y%adz

—Zqtxxd6qrictdT

- б д т ]

+

4- v [6с -

duff 16h)] =0.

Выберем функцию

б(х,$)

гак,

чтобы коэффициент при

обратил­

ся в нуль. Для этого положим

qtad 6- ynxxdr

+ 6-[лт~(>-^%си1г]

=о.

(6)

Тогда уравнение для функции и принимает вид

б Л?/ + скл/Ыц бдызАт + 68-v) +

^

п -

£>

S

S , a

dS- элемент пло­

Здесь

направление вннешяей нормали к

щади поверхности. Используя для v формулу

(7), . преобразуем фор­

мулу

Грина

к виду

_ Ш

|У до" + dim (zv± б (padT+Ghv)

+ v(6c-

duuo (6&))] d x =

s

Для сокращения записи обозначим через

L6 = Д б " - d i r t

(бУ)

+ сб.

(8)

s

Ъ

п. Вер­

Здесь

4 . ~ проекция вектора

$ = ( 4 > 4 > £ j

на нормаль

немся теперь к прежней функции

utx,i),

используя, что функция

v(-x,l)

определена нами через функцию

и

по формуле ( 3 ) . При

этом.

аи _

Гэц1 _

гэо.1 эг

эп.

1эп J

Lai J' эп '

Полученную формулу в терминах функции

а(х,-£)

запишем в

виде

s

к*)

+

J J J ^

^ f f o f x

= Q

Используя эту формулу, можно получить решение задачи Коши для

уравнения ( I ) . Предположим, для этого,

что

мы можем найти решение

уравнения (6) для функции

б(х,«;)

такое,

что

оно удовлетворяет

следующим условиям:

1 . Произведение

d'(x^)zix^)

имеет

непрерывные частные,

производные до второго

порядка

всюду в окрестности точки

£

и

в ней самой,

причем

2 . Оператор L от

6(х,$)

ОС—*

удовлетворяет неравенству

где

Ж

- некоторая

постоянная.

3 . Если

S -

замкнутая поверхность,

охватывающая тачку

$ , а

а -

направление внешней нормали на ней, то при стягивания

поверх­

ности 5

к точке

£

имеет

место предельное

равенство

tim

[\

—

dS =-4яг.

(Ю)

Если функция

n(x}=consi,

a

i(x) = o,

то функция 6(Х,$),

удовлетворящая всем поставленным условиям, существует и равна

/х-Sff

С.Л.Соболев

показал,

что и в случае переменной функции

п(х)

существует

функция

6[х,$),

удовлетворяющая этим услови­

ям,

если центральное поле лучей

Лх,$),

построенных из точки

f,

регулярно

(то есть лучи не пересекаются между собой). Более того,

функцию

б7х,$)

можно построить в явном виде через геометричес­

кие характеристики

лучей:

зущие направление касательной к

Г(х,£)

в точке

£ ;

*'Z?z-

якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным

s, ©„,

<Ро-

Возьмем в формуле

(9) в качестве области

£> двусвязную об­

ласть 50£ ,

ограниченную с одной стороны поверхностью

Si=

{ х =

Tlx,$)=i

},

а с

другой

стороны,

поверхностью

S 4 = { x . - t(x,fc)~e},

W e

6 - сколь угодно

малое

положительное

число. Тогда

Тройной

интеграл при £—-о

сохраняет смысл как несобственный ин­

теграл,

ввиду

интегрируемой

особенности, В результате, переходя

в полученном

равенстве к пределу при £ - » о , находим

+6[u}QdS

+ ^ Щ [ a ] L& dx.

Формула (12) сводит решение

задачи Коши для уравнения ( I ) к реше­

верхностного интеграла функции и, |^

вычисляются в точках

по­

верхности

t(x,k) = l

с запаздыванием на

т{х,$),

то есть

в мо­

мент

1=о,

"л поэтому

известны как данные Коши. Поверхностный

ин­

теграл представляет,

таким образом, известную функции

/<М),

и

для

функции

получаем интегральное

уравнение

+ ^

fyu(x,l-v(x,y)

Ljjlxt)

d&.

(13)

В случае данных Коши (2)

/ М

= ^ ^ х ; * ) - 8 ( 4 - с ( х ' Ю ) .

(14)

471

Для получения этой формулы достаточно учесть, что

db

Ш

dz = dx.

2 . Исследование

обратной

задачи. Функция

представля­

ет собой сингулярную часть обобщенного решения задачи ( I ) ,

(2).Ес­

ли решение (!($,•£)

u(x°£,-U

представить в виде:

(15)

то функция viix°H,i)

- регулярная часть решения,

удовлетворяет

уравнению

W f x ^ )

^6(x°x)L^6lx,$)M-T(x°x)-?frA))dx

+

Ttetfil

(16)

+

$]^te°x,+-'c(x,y)Lx6(x,t-)dx.

для

этого

уравнения сходится при любых конечных

i.

Поведение

решения вблизи фронта

4 = т(х°$}

полностью характеризуется

представлением

(15) . Функция

щв^'Ю

представляет собой амп­

литуду

фронта

волны. Так как в постановке обратной

задачи предпо­

лагается,

что решение

ц/х°£,^)

известно в точках

|=х* принад­

лежащих

заданной

поверхности

5 , в окрестности момента

прихода в

эти точки фронта

волны, то мы можем найти для

х°,

x*eS

функ­

цию

б(х°х*).

Действительно, из формулы

(15) следует, что

vlx°xl)+e

6(х°х') = 4я&т

\

а(х°x'l)

сМ.

(17)

т(х°х')-е

Итак, для

х ° x J e S

функция

б(х°х1)

может считаться извест­

ной. Но эта функция связана с коэффициентами

п,

&

уравнения •

( I )

формулой ( I I ) . Так как функция

п(х)

считается известной,

а

лучи

Г(х°х')

зависят только

от

nix),

то из

формулы

( П ) л е г -

ко

находятся интегралы:

j

ii(x)dxi

=

cpix°xl)

(18)

для

x'a^eS . .

Мы получаем для фуннций

^lx),

i=y,2,3,

задачу

интегральной геометрии. Легко

понять,

однако, что эта задача, в

ф(х*)

-ф(х°)

=

ср[х°х'),

из которого мы просто находим

связь между значениями пункции <р№)

в различных

точнах

поверхности

S .

Отметим, что в

случае

ifx)=^wd ф(х)

уравнение

( I ) мокно

с помощью перехода

к новой функ­

ции

t

v(x,i)

=

и(х,1)е^<х)

привести к виду,

аналогичному

( I ) ,

но

в котором

Ux)

=

o.

Исходя из сказанного выше, естественно разыскивать только ии-

хревую часть векторного

поля

§1х). Пусть

5 -

плоскость

х 3 = о ,

ограничивающая область

хз^о

.

Пведем в рассмотрение

пару Фик­

ций

х 3

a o C

i i

(io)

i=i,Z.

Смысл этих функций становится ясен, если заметить, что частные

производные

от

B J (

fi2

по переменно!?

зс3

совпадают с

проекциями

вихря вектора

£

на оси

х„

а

хг:

=

4

. *

,

6

= ^

6

Для точек

х'х'в

5

~{x3=oJ

равенство

(18)

можно записагБ в

виде

j Bt(x)ds^

+ bjxidxz

=

<р(х°,х').

(20)

Полагая здесь

Р(х) =

4 ' х ^ ^

и используя очевидные равенства

Р(х°1=Р(аЛ=с,

находим

Г(Х°Х')

Г(х°,х<)

о

Отсюда и следует

( 2 0 ) . При определенной

геометрии лучей (то

есть

при определенных условиях на nffi

функции

8,

и Б, . можно най­

ти в области х 3

» о

по функции

у [ х ; х ' ) .

Т е о р е м а

I . Пусть

функция

п = п(х3)

и в области

<£)=[х-- 0 4 Х 3 « / / ,

о<Н<-=~=)

имеет

непрерывные вторые производные,

причем

9^ Е з

2

П(х3 )><7,

п

^ ) < < 9

-

Э ^i£nn(xJ>o,

(21)

а функция

IfxJ

непрерывно дифференцируема в области

SO и Финит­

на. Тогда

функции

B^tx),

6г (х;,

связанные

с компонентами

Функ­

ции 1щ

равенствами

(19),' однозначно

находятся в области

£> по

функции

б7х°х*),

заданной

для любых

э с ° х £ е { х 3 = о}.

Условия (21) обеспечивают регулярность центрального поля лу­

чей и принадлежность их для

х° х* е {xi=o}

области х^о. ';ое

семейство

кривых

Г(х°х')

инвариантно

относительно дви?енп. па­

раллельного

переноса

вдоль

плоскости

хъ = о.

Каждый из лучей яп-

ляется плоским к лежит в плоскости, параллельной

оси

сс3. В целом

мы получаем

здесь

семейство

лучей

А х ° х ' ) ,

зависящее

от четырех

параметров

(каждая из точек

x ° x ' e S

характеризуется двумя па­

раметрами).

Однако, для определения функций

Ь^,Ъг

достаточно

зуясь тем, что кривые плоские, взять семейство кривых, лежащее в

различных плоскостях

xt=consi,

и семейство кривых, лежащих в

плоскостях x^consi.

В каждой из таких плоскостей ми получим

бо 62 1в плоскостях x^consl),

либо E>t (в плоскостях xz=consl).Из

результатов

§ 3 и следует

сформулированная теорема. Конечно, не

обязательно

рассматривать

задач;,

(20) в сечениях,параллельных ко­

вия,

при которых задача интегральной

геометрии для пары функций

имеет

единственное решение. Для этого нужно, чтобы через

каждую

точку

хе€> приходило две кривые

Пх° х 1 ), у которых в

этой

Для случая функции

п(х),

зависящей не только от координаты

х,,

но и в от координат

xt,

х^, можно, основываясь на результа­

тах п.10 § 3 и § 4 о поведении геодезических, доказать

следующую

теорему.

Т е о р е м а

2 . Пусть функция

п(х)

имеет в области

£)={х • с?4х3 £, И}

непрерывные и ограниченные производные

до

второго порядка, причем

0

<

п„<. п(х) ^ Д < ° ° ,

c x « E 4 - f ^ n ( x ) 4

Д , < ° « , (22)

и семейство

геодезических

Лх°х*)

внутри Ф регулярно. Тогда,

если функция

1{х)

дощ'скает

в области

£>

представление

в виде

l(x)=

я

<С

а к ( х , , х г ) с к ( х 3 ) ,

где

ск(х3)

- непрерывно дифференцируемые скалярные функции, а

dllx1,xz)

-

непрерывно дифференцируемые векторные

функции,

го

функции

В,(х),

L\(X)

ИЗ (19) однозначно находятся по функ­

ции

<57х°х*),

заданной для любых

х° х*е

{ х 3 = о } .

Доказательство

теоремы представляется читателю. Отметим, что

условие

регулярности

лучей

локально

(то есть в окрестности плос­

кости

х 3 = о )

следует

из условий (22) . В целом оно будет

выполне­

но,

например,

при выполнении

условия

д

In пщ

>о,

которое

является

аналогом

последнего

из условий (21) .

Мы использовали амплитуды фронта

волны для получения

информа­

ции о козгарициентах

tlx).

Можно использовать информацию и о

регу­

лярной части решения. Зная поведение решения вблизи фронта, не­

трудно

найти

w ( x ° x {

г(х°х*))

для- х ° , x ^ S .

Действительно,

из формулы (15) находим

w / x ^ x ' T f x f x 1 ) )

=

tim

[u(x°,xt-t) - ^ г б ^ х ' У - ^ - г с с ' х 1 ) ) ] .

vtx',xl)

С другой

стороны из уравнения (16) при

I

—-т(х°х*)

получаем

w ( x : x ^ / x : x i ) ; = - ^ 1

Ьп

[\б&:х*)Шх,х')-

——-

S(x-xji)

эа1

'

3

(М)

В этой формуле

S(x°xjij

- временной

эллипсоид

r(X°,X)4-T(X,X1 )=-i.

При

i-^-Tlx'x1)

эллипсоид стремится

к геодезической

Г(х0,х*),

стягивающей

точки

х° х1

В случае

n=i

геодезическая

Гсх'х1 )

представляет собой

отрезок

прямой, соединяющей точки эс'эс' я пре­

дел,

подобный

(23), мы уже вычисляли в § I

этой главы (см. форму­

лы (10) ,

( 1 9 ) ) .

W(х°,х<

/х-х*|)= е

л j

x

. _ x i )

^ ( x : x ) J L x e ( x , x ' ) - I x - x l l x - c n ' l ds. (

fte^x 1 )

Для

случая

переменной

среды

nfx )

интеграл по геодезической

Г(х°х{)

содержит в себе

кривизны нормальных

сечений поверхнос­

тей

tfx°x)

= consl,

т(х,х*)= corLsi

(см. § 4 работы

[128]).

Мы не будем

здесь

выписывать соответствующую

формулу. Заметим

только, что подинтегральная

функция, например, в формуле

(24) вы­

ражается

через

коэффициенты

&(х)

и

с fx)

уравнения ( I ) и поэто­

му формула

(23) (соответственно,

(24) )

может

быть использована

при решении обратной задачи. Довольно

просто

эта задача

исследу­

ется, если

считать функцию

(?(х)

заданной. В частном случае

tt(x)=i,

&(х) = о

это проделано

в § I , в более общем - в рабо­

тах

[126, 1 2 8 ] .

§

6. Обратная динамическая задача для обобщенного

волнового

уравнения

Рассмотрим

в трехмерном пространстве

^ = (х,,х2 ) х3 )

уравне­

ние

пг(х)

ии

= AU

+ С(х) и

(I )

при начальных условиях

а(х,о)

= о,

о , fx, о) = о1, (х-х0 ).

(2)

Если для нахождения коэффициентов уравнения

( I ) используется

ин­

формация о решении

и(хД)

на многообразиях временного типа

(на­

пример, на серии прямых параллельных

оси i

) ,

го задача

отыска­

ния коэффициентов носит название обратной динамической задачи. Это

название подчеркивает, что информация, используемая в задаче.пред­

ставляет

собой

режим колебаний

во времени некоторого множества то­

чек пространства

х .

Информация о режиме колебаний множества

то­

чек пространства

х

может

быть с успехом использована как

для