книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

и(х,4)

= И

(8)

где

и (х,4)

находится по формулам

Ujx,l)

= # х , Д

t>(X,i)

П = 1, 2, 3, ...

Выразим здесь

все

ип(х,1)

через

функцию

/te,4)

и итерирован­

ные ядра. Для этого

введем наряду

с ядром

jft($,-c,x,-£)

итери­

рованное

ядро

нулевого значка

Э?„(£,т,х,4),

положив

Тог­

да

u ' f x ' ^ =

Д - ^ 0 ^

d £ d < r -

( I 0 )

Подставляя

выражение из (10) в формулу (9) при п = я , найдем

ujx,l)

=

%&,z{,x,l)-[

j j

3 l f * , r , ^ r j f o , * ) d $ d t ] el*,

£>(*Д)

Й^,^)

Преобразуем

повторные интегралы,

изменив порядок

интегрирования.

Тогда получим для

ujx,l)

формулу

и^(х,4) =

j j

J ^ , T , x , £ ) - ^ , r ;

dz,

( I I )

50fec,4)

в которой

Я^ . г . х . ^ )

— первое итерированное

ядро-находится

по формуле

# Д 7 , х ^ ! = Jj ^ % , г ; , х , ^

^

dzt.

(12)

Здесь

O f ^ r . x , ^ )

— область в пространстве it,zt,

являющаяся

пересечением двух

коноидов: один из них - коноид с вершиной в точ­

ке

lx,l)

и полой,направленной

в сторону

гиперплоскости

-с.,=о, а

второй - с вершиной в точке

($,т)

и полой, направленной в проти­

воположную

сторону:

Формула

( I I ) для

ujx,t)

имеет

тот же самый вид, что и форму­

ла

(10) для

ut[x,i.).

Поэтому,

вводя последующие

итерированные

мы получим для

ujx,{)

формулы

j j

(*,r,a^)

fa,f)

dtdx.

(14)

Подставляя выражение для

un(x,l)

в ряд

( 1 0 ) , найдем выражение

для

решения:

ШХ.1)

= f(X,l) + \ J R(t;,T,X,i)

f(|,T) dfc <k.

(15)

Резовольвента

Kl$,T,x,l)

уравнения

( 6 ' )

подсчитывается

через

итерированные ядра по обычной формуле

ЯЪ,т,оЫ) = £

ftnft.T,хД

(16)

Резольвента

R($,z,x,i)

является

обобщенной функцией

и мо­

жет быть представлена в виде

R(t,r,

х,{)

= ^L^,x)S(l-t-z^x))

+ Rj$,x,i-z)t

(17)

где

R(t,x74-v)

- регулярная

часть

обобщенной функции.

Это

член в ряду (16) и дает сингулярную часть резольвенты. Все

ос ­

тальные члены ряда ( 1 6 ) , начиная с !Я„ представляют собой

функ­

6 * jj L * P №

~ г

Г128] (см. § I

главы П ) , с

той только разницей,

что вместо

П °Д знаком интеграла стояла функция

б ^ , ^ ) .

Но так

как для каждой из этих функций справедлива оценка

при некоторой

постоянной М,

и именно только эта

оценка

и сущест­

z(x,y&i

о

$(х,1)

Подставим теперь конкретные

выражения для

функции

из

( 4 ) .

Тогда мы получим представление для решения задачи

( I ) и

(2)

в виде

U(x°x,i)

= -l^r76(x°x)-8li-zlx'',x))

+

(19)

+

7Т=Г7*

L6(k,x)-6lx°§

J J

5

9 f l L

Slx°x,i)

£>(x°x,i)

В этой формуле через

S(x°x,l)

обозначена

поверхность временно­

го эллипсоида .-

5tx°,x,i) = {$

••

г(х°$)+Щ,х)

=1

},

а через

G(x°,x,i)

-

область

пространства,

ограниченная им. Реше­

ние задачи ( I ) , (2) мы обозначили

в формуле

(19) через

iite°x,-i),

чтобы подчеркнуть

его

зависимость

от точки

х"

приложения сосредо­

точенного

воздействия.

2 . Постановка

обратной задачи. Пусть функция

п(ос)

известна во

всех

точках

пространства

х

и такова, что

поле лучей

регулярно.

Пусть далее

функция

с(х)

известна

в области

х 3 <А, где

А -

не­

которое положительное число. Ее требуется найти в области

x^h

по следующей информации: для каждой

точки

х ° е { х 3 = о }

известно

решение задачи ( I ) , (.2) при

х=х°

во все моменты времени

,то

есть

известна функция

U(x:xU)

=

<р(х'Л

{ 2 0 )

х°е{х3=о},

4&о.

Исследование этой задачи на единственность сводится к задаче

интегральной геометрии для семейства поверхностей, являющихся

фронтами от

источников х". Положительный параметр А

введен

в по­

становку задачи по следующим причинам. Заведомо ясно, что по

ин­

формации (20) нельзя найти функцию

ах)

одновременно

в

областях

х 3 ; о

a X j ^ o Поэтому

в

области

х 3 < о

ее приходится

считать

известной. На самом деле

удобно считать функцию с fx)

известной

в несколько

большей

области

х 3 < А ,

А>о,

тем самым

равномерно

отграничив источники

х° €

{ x 3

= o j

от области, в которой функция

Ci'x)

неизвестна. Благодаря

этому

обстоятельству фронты волн

от

х* в области

х 3 > А

имеют

ограниченную сверху

кривизну,

что

суще­

ственно' при исследовании

задачи интегральной

геометрии,

так как

ченность кривизны семейства поверхностей.

Ыы рассмотрим в

этом параграфе вопрос

о единственности

решения

поставленной задачи. При этом рассмотрении существенную роль

бу­

дет играть

структура

фронтов

г о с ' х ) = т

в области x 3 > f t .

К

изу­

чению этого

вопроса

мы сейчас

я приступим. Чтобы сильно не

услож­

нять изложения, мы ограничимся

здесь изучением фронтов для

случая

3 .

Дифференциальные свойства Фронтов.-Пусть точка х ° е { х 3 = о } .

Ясно,

что

семейство

фронтов в случае n=^nlx^)

инвариантно

отно­

сительно

перемещений

точки х° по плоскости

х^=о . Поэтому

до­

ностей

т(х.°х)=т

в зависимости

от

параметра т при фиксиро­

ванной

точке

х ° . Введем для

этого

цилиндрическую

систему

коорди­

нат т, ср> ц,

поместив ее начало в точку

х°

и направив ось у

параллельно

оси

х^. Так как

фронты

ггх'х)=-с

обладают

осевой

симметрией (следствие того,

что п = пйг3 )),

то достаточно

изучить

их сечения фиксированной полуплоскостью

<p = const.

Представление

случае

сводится

к монотонному

изменению

п(у)

(либо n'ty)>o,

либо

п'(у)<о)

и выполнению неравенства

(tin

п(у])"^о.

В случае

вы­

полнения

неравенства

п'[у)<о

лучи,

вышедшие из

точки

af, будут

иметь

вершину в области

- у » о ,

а

в случае

n ' t y ) > o

- в области

у =& о . В силу

ортогональности

лучей

и фронтов,

в

тех

точках,

где

фронт имеет касательную плоскость, параллельную оси

у ,

лучи,

про­

веденные

из

х"

в эти

точки,

имеют касательные,параллельные

плос­

кости

у=о.

Следовательно,

точки

на фронтах,

в которых

касатель­

ная параллельна

оси у,

совпадают

с вершинами лучей, выходящих

из

точки

х°. В каждом сечении

cp^consi,

благодаря

регулярности

поля

лучей такая точка только одна. Качественное поведение фронтов

и

лучей

для

случая

п'(у)

<о

изображено на рис.14. Для

случая

п'(ц]>о

достаточно

изменить

направление

оси

у

на противопо­

ложное. Через

У

на этом рисун­

ке обозначена

у -

координата

точки, в которой фронт имеет вер­

тикальную касательную,

а через

у[ - аналогичная координата вер­

шины фронта

в области

у>о.

Нас

в дальнейшем будет

интересовать

поведение фронтов только в обла­

сти

y>h>0.

Наша задача

здесь

Рис.14

заключается

в том,

чтобы показать,

что семейство фронтов в области

обладает свойствами,

которые мы предполагали

выполненными

достаточно показать, чго уравнение поверхностей т(х°х)=г

в об­

ласти

может

быть представлено

в виде

t = ((frfy,

-ц),

(21)

где функция

/(р, ^)

удовлетворяет

условиям

э_

(22)

ар

я имеет непрерывные вторые производные

fpp>

^ .

Для

случая

Пу>о

это действительно

так, и будет

следовать

из дальнейшего. Однако в случае

п^<о,

как видно из рис.14,если

iy>h , то в области

у.^-к

уравнение

фронта

не может

быть

пред­

ставлено

в виде однозначной

функции у . Мы покажем в этом

случае,

что в области

5<у

^т? <И { А < Н < ° ° )

представление (21),(22)

имеет место и, кроме того,

покажем, что для

разность ^ - i s

ограничена снизу положительным

числом. Это будет означать, что

любую конечную полосу

h^y^H

можно разбить на конечное

число

полос, в каждой из которых семейство фронтов удовлетворяет

требо­

ваниям, предъявляемым к семейству поверхностей

задачей интеграль­

ной геометрии

(см. п . II

§ 3 ) .

Для доказательства

воспользуемся

формулами

(22) , (23) § 5 гла­

вы П. Чтобы не путать постоянную вдоль луча

р , входящую в указан­

ные формулы, с переменной

р^А-ц-у ,

мы обозначим постоянную лу­

ча через

^ . Тогда формулы, описывающие

уравнение луча и время

пробега

по нему, имеют вид

z_\

<idz

т

=

Г nzmdz

{ 2

3 )

О

У

О

y

Формулы

(23) справедливы во всей области у^о, если

п'(у)>о. В

случае

n'(yl<o

они верны только до точки

заворота

луча, то есть

только в части

области

у ^ о , ограниченной

с одной

стороны осью

у , а с другой

кривой

? _ ^ ^ z _ =

( 2 4 )

щих из точки

а". Напомним, что в вершине луча

параметр

q совпа­

дает

со значением функции

п(у), принимаемым ею в вершине луча. В

силу

условия

регулярности

поля лучей

i = i*(-y)

является

монотон­

но возрастающей функцией

у

(см. § 5

главы I I ) . В дальнейшем

мы

будем

рассматривать только

ту часть

области y^h, в которой

име­

представлено в этой

части области в виде (21) , (22) . Заметим для

этого, что равенства

(23) можно рассматривать

как уравнения неяв­

но заданных функций

у = уп,т),

q = q,(i,T).

i25)

триады непрерывные дифференцируемые

функции по у, ц

(выражение

пгт-д?

может

обращаться в нуль

только в случае

п'(у)<о на ли­

нии i

= x*{y)).

Чтобы убедиться в

возможности применения в дан­

вие необращения в нуль якобиана

g ^ |.

Вычисляя соответствую­

щие производные

из равенств (23) , находим

at

д

э т _

rfiy)

(26)

У nztz)dz

з г

f

nz(z)dz

9 9 ~ М [пНг

Из этой формулы ясно, что в рассматриваемой

области якобиан в нуль

не

обращается

(за исключением возможной при

пЧц)<о

линии

i

= r*(y)).

Поэтому равенства (23) определяют две функции (25) ,

имеющие такую же гладкость, что и правые части равенств

( 2 3 ) , то

Из этой формулы ясно,

что с ростом 1

ордината

фронта

монотонно

убывает. При х=о, как ясно из формулы

(23) , q=o я yx(p,t)-o. В

этой точке мы имеем максимум ординаты фронта, то есть

вершину.Обо­

значим

у(0,т) = 71.

(29)

Вторая из формул (23) дает

нам при q=o формулу

обратного соответ­

ствия между с и Т2

'•

ъ

(зо)

т= \n(z)dz.

Из нее

становится ясно

также, что это

соответствие монотонно (так

как

щ~п1т2)>о)

и трижды непрерывно дифференцируемо. Запи­

шем его

в виде

T=T(?I).

Тогда

функция

у= F(t,T?)

==

y(t,Ti7i))

имеет

по

т

и

7 ? непрерывные производные до третьего порядка и

при х-о

имеет максимум, равный

7

? . Нам теперь достаточно про­

верить,

что

Fx%lo,T})^o,

чтобы,ссылаясь на исследования, про­

(22) .

Дифференцируя равенство

(28)

по

t

, находим

з т 2

V

' ч

[reaj)-f]^

эх

1пгф-$Ч*

эх'

В то же время

ЭЯ =

эу

п*(у)

r f

у*

Эх

Э(т,%1

пг(у)-^'1)

[пЧгус^У^!

•

Из этих формул

следует

ч

о

и при любом конечном

r^h

мы имеем

F^T(o,ii)<0.

Как мн уже говорили выше, свойства функции

F(X,TI)

обеспе­

чивают представление

семейства

фронтов в виде ( 2 1 ) ,

(22) . Для

случая

п'(у)>о

это представление

имеет место

во всей

области

y>k,

а

в случае

п'(у)<о

только

в той ее части,

которая за­

ключена

между осью у

и кривой

Z = x*(y).

Покажем, что

в по­

следнем случае можно любую конечную область

h^y^U

разбить

на конечное число

полос

50^= { ( т , у):

ук^у

*s y^t

} ,

что

часть поверхностей фронтов, примыкающая непосредственно

к их

вершинам и лежащая в полосе

£>,<,

представима

в виде

( 2 1 ) ,

(22) .

Возьмем фиксированное

ipefft, НЗ

и обозначим через

i у -коор­

динату точки пересечения фронта с кривой

i~t*(y)

(см.рис14).

Покажем,

что разность

7 - i

при

ограничена

снизу

некото­

рым положительным числом. Отсюда и будет

следовать

сказанное

выше. В соответствие

со

второй

из формул

(23) имеем равенство

Преобразуем последний из интегралов к виду

у

Т

nto-nHs) dz

и оценим его снизу. Для этого

заметим, что для любого конечного И

из условии пЩ)>о ,

п'(у)<о

и непрерывности nty) и ее производ­

ной следует, что существуют

также конечные положительные констан­

ты а и Ь, что на [о,HI

имеют место неравенства

Тогда

nzm- nz(*) =

[пт+п(}>)][п(ъ)

- n c s ) ] ^

z&*{x-z\

ПШ + ^ПЧЪ-ПЧЯ

« Zn(T)

^zt

О

Для

из равенства (31) , находим

Но так как с другой стороны

J niz)dz

« £f-»z-i),