книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

ции и=(и^,иг,...,ип).

Естественно в этом случае весовую функцию

считать также вектор-функцией

той же размерности

J>=(J>1,J>3.,--,_ph).

Для определения п

компонент

функции и нужно задать я соотно­

например, рассмотреть фиксированное семейство кривых

/-(£,??) и

считать, что известны вдоль него интегралы от искомой функции с

П различными весовыми функциями, а можно представить и другой

случай -

имеется

п различных

семейств кривых и вдоль каждого

из них заданы интегралы от скалярного произведения

( р , « ) . Общим

является

случай,

когда

имеется некоторое число семейств кривых

K = 1,2,...,I,

(ni^n)

и вдоль каждого из них даны

от функции шх,у)

интегралы

с некоторым числом весовых функций

J>ue,

' = i , 2 , . . . , t ,

( У Й П К Й П ) ,

так

что общее

число интег­

ральных соотношений равно п .

Итак,

задача

интегральной

геомет­

рии в этом случае заключается

в отыскании функции

и(х,у)

по ин­

тегралам:

%tlW=

j

Ifint^hnh

atx,y))dx,

( 3 D

Я = 1,2,..., 1;

Р=1,2, ...,ПК;

П ^ + П Г + . . . + П^ = п.

По отношению к этой

задаче

имеет место

теорема,

аналогичная

теореме I .

Т е о р е м а

3 . Пусть каждое из

семейств кривых

L K ( £ , 7?)

удовлетворяет условиям

теоремы I ; а функции

J J K C =

_рке(х~$,

чем система

векторов

f>Ki(0,Tl)

(n=i,2,

l=i,2,...,nj

ПРИ

любом rie Lo, И]

линейно независима. Тогда

любая кусочно-непре­

рывная векторная функция Шх,у),

имеющая по переменной х

конеч­

ное преобразование Фурье (либо периодическая

по ос с периодом,

не зависящим

от у),.

однозначно определяется

в области "3D своими

интегралами

( 3 1 ) .

Для доказательства

этой

теоремы достаточно

провести

выкладки,

аналогичные

проделанным в п.4. Мы можем легко

придти к матрично­

му уравнению,

аналогичному

уравнению

(21), для

образа Фурье

uLK,ip

вектор-функции

и(х,у):

\7{(ffflJ,tl,A)-ua,f(ri-y)~i4!dy

=

V(A,y),

(32)

о

в котором матрица

Ж(р,г[,2.)

состоит

из вектор-строк

^Ях {(р,^,Я)

(n

= i,2,...,i;

2 , . .

вычисляющихся по формулам:

а

Бек тор TS(A,T})

имеет

компонентами

v^fA,^)

( к-=л,2,... ,t;

2 , . . . , пк ).

Так как

при р=о

вектор-строки матрицы

"K{p,q,l)

пропорциональны

векторам

f>Ke(0,ri)

и не зависят от Д.-

то из линейной независимости системы векторов

j 9 K f с л е д у е т ,

что матрица

Х(о,7^,Я)

имеет

определитель,

отличный

от нуля.

Поэтому матрица

"Jiio.r),}.)

имеет

обратную

J? (о,т]7И).

Применяя

к уравнению

(32)

оператор

L •

придем к уравнению

о

7([o,s,/i.)u(A,s)

-hjfiis,y,A)

щАц)

dy

=

Lv,

(33)

о

в котором матрица

Rcs,y,/i)

определяется

формулой

Умножая обе

части равенства

(33)

на

Ж (o,s,R),

получим матрич­

ное уравнение

Вольтерра второго рода:

s

ua,s)

+ jj'i(o,s,A)R(s,y,A)u(Jl,y)dy

=

JC'tys,*)

Lv.

/тсюда

л следует

справедливость

теоремы 3 .

7 .

Зздапа интегральной

геометрии для семейства кржвыхгинвара»-

антного

:t вращению вокруг

фиксированной

точки. Рассмотрим на пло-

.кости

х,у

круг

единичного радиуса

с центром в начале коорди-

гат

и область

5Э = {(а:,у).- Н^^х^+у1

^l,

o<H<i}.

Пуоть %

ср -

полярные

координаты точки

(х,у):

x=xcos<p,

ц-1$Игср.

: области

£ )

рассмотрим двупараметрическое

семейотво

кривых

Цj), а),

каждая

из которых представляет

из себя гладкую дугу,

опирающуюся своими концами на окружность

t=d. Предположим, что

каждая из кривых

L{J>,OL)

пересекается

окружностям

%=const не

более,

чем в двух

точках,

а лучами cp=consi

— не более, чем в

одной точке. Тогда каждая кривая

Цр,оО

имеет точку,наиболее

(р,а)

и ставятся

в соответствие кривой

Lip,л). Преда слагает­

ся,

что это соответствие

однозначно и для каждой точки

( д а ) е Ф

существует кривая

L(p,a),

входящая в семейство. Боли кривая

'.(р,а.)

достаточно гладка и имеет

в вершине первый порядок каоа-

л

с окружностью

%=_р , то легко,

аналогично п . 2, шш&звть,что

/равнение может быть представлено в виде

ср^а.+Ы¥(р^ГГгр,р,а),

j =irz,

(34)

пр>

еь.

7НКЦИИ cp-{p,j),a.)

удовлетворяют

условиям, анаюгячнлм

% 1Р,/>,л)>о,

~

% [&?;<*•)>о,

(35)

семз.'стг.а кривых в круге

можно поставить задачу,

аналогичную

(2) - найти ййиздкг. Ш1,ср)

в области О , если известны от нее

"тегралы по семейств;

кривых

L(p,a):

гЧр,а.)

= ^ир,

р, of.) • шх, (р) dtp,

(36)

i-fp,a>

(р,а)еО.

• x,ecs.

-H(ptp,oL)

заданная

весовая функция. Поставленная зада­

ча л е т о

'•оследуется,

если семейство

кривых и весовая функция ин-

верна теорема Г124] :

Т е о р е м а

4 . Пусть семейство

кривых

L(p,a.)

(уха)ё<£>,

представимо в виде

( 3 4 ) ,

( 3 5 ) , причем функции

cpj не

зависят

от

оС, непрерывны в области

Q~[(p,j>):

о =s. р ^ - J i - j a ' ^ \i- f f

}

вместе с производными

а весовая функция

-о = *)(ср-а.,р)

имеет

непрерывные

частные

производные первого

порядка и •Ь(о,р)*£о

для _ре£Н,1]. Тогда

любая кусочно

непрерывная

функция

и(т.,у>)

однозначно определяет­

ся интегралами

(36) .

Доказательство теоремы проводится по методике, аналогичной

п.4, подсчетом коэффициентов Фурье функции

un,(f).

Для

этого

уравнение (36) представляется в виде

v(p,a) =

^-ii(p,p)-u(%,a.+cp)

dq>,

(36')

системе функций

е " 1 * п. - о, ±i,±z,... .

Пусть

%(р), ипт

-

коэффициенты Фурье функций v(p,<x\ ul^a.).

Тогда

из равенства

(36') следует

% ( Я = ^((р,р)9'1пееипП)

df,

(37)

Цр,о)

ti = o,±i,±z

ральных уравнений Вольгерра

первого

рода:

i

%(fi>

=

| \ < Я = ? ,

ft)-u*(V---===r,

(38)

f

tl=0,±l±2,...,

в которых

Х<М

={

Й

^HJ».qj(р,р),р)-

£

ум•

e i n

На основании

свойств

функций

<р.(р,р),

*)(<р,р)

легко

проверя­

ется, что Ж^({%^р, р)

отличны от нуля на диагонали

i=p,

а'

их производные первого порядка непрерывны в области

U^p^t^i

всю­

ду за исключением диагонали,

вблизи

которой они имеют особенность

типа

ir-j}}'™

Эти свойства, как мы уже убедились ранее, гаран­

тируют

единственность решения каждого из уравнений (38) .

Таким

образом, коэффициенты Фурье функции и.(г,<р) однозначно

находят­

ся по функции

V(J>,OL). Но любая кусочно-непрерывная функция од­

шается доказательством

теоремы.

Заметим, что если бы мы захотели воспользоваться рядом Фурье

для построения функции

Ш^ср) то мы должны были бы наложить на

каждой окружности

4=consl

имела

бы конечное

число

точек

экс­

тремума.

8. Задача интегральной геометрии для семейства поверхностей.

Рассмотрим трехмерное пространство

х,у,

ос=(х.,, х я )

и область

£ > =

/ ( X , t y ) :

0 4.у^Н,

0 < И < •=•<=>}.

ПУСТЬ В ЭТОЙ Об-

ласти задано

семейство

поверхностей

>5(<* г?),

каждая

из которых

имеет вид "шапочки" с вершиной в точке

(£, тт^еФ,

^ = (^,У Г

и

ос­

нованием, принадлежащим плоскости у = о .

Пусть точка

($,тт_), играю­

щая роль параметра

поверхности

5(£,?г),

пробегает множество

то­

чек

области С ) . Будем считать,

что

семейство

поверхностей

S(S,77_)

верхностей удобно ввести цилиндрическую систему координат

i, <р, у,

связанную с поверхностью

S($, ц)

-. полярная ось этой системы про­

ходит через точку

ff, -ф

и параллельна оси у ,

начало ее

выбра­

но в плоскости у = о , а

х ^ х г

связаны с

%у>

формулами

x^^

+ rcascp,

х г = ^ + *г siny.

(39)

Рассмотрим нормальные сечения поверхности

S(£, т?), соответствую­

ла характерна для семейства кривых

на плоскости, т . е . ее уравне­

ние может быть

представлено

в виде

причем функция

.

/fp, у,^,

удовлетворяет условиям

Ар, (p. t, ч)>о,

f j j to

(p, t, TQ

>

o,

(41)

Если выражение для

i

из (40) подставить в формулы

( 3 9 ) , то

мы

получим параметрическое уравнение каждой поверхности

S(£,v?)

в

декартовой системе

координат.

Рассмотрим теперь задачу интегральной геометрии (3) для

слу­

чая, когда семейство

поверхностей

S(f,7?)

инвариантно к любым

движениям параллельного

переноса

вдоль плоскости

Ц=о.

В анали­

тическом представлении это свойство выражается в том,

что функция

/ , стоящая

в правой

части равенства ( 4 0 ) ,

не

зависит

от

! .

В

этом случае

имеет место следующее утверждение.

Т е о р е м а

5. Пусть

семейство поверхностей

5(f,

з?) может

быть представлено

в виде ( 3 9 ) - ( 4 0 ) , причем функция

/

не

зависит

от

£ , то есть

f-f(p,

ср, rtf

имеет непрерывные производные

а

весовая функция

р = р[х-Ц,у)

непрерывно дифференцируема по

своим аргументам и удовлетворяет

условию: р(о,72)Фо

при -^е[о,И].

Тогда любая кусочно-непрерывная функция

и(х,у),

имеющая по

переменной эс

конечное преобразование Фурье

(либо

периодическая

по х с периодом, не зависящим от

у ) , однозначно

определяется

в

области £) интегралами ( 3 ) .

Для доказательства

запишем равенство (3) в виде

tf(i,7?)=

j j

. j)(x,4)u(x+i,72)

dx

( 3 ' )

и применим к нему преобразование Фурье по переменной

£ . Тогда

по­

лучим уравнение для образов Фурье:

v()\,i2)=

Jj

p^ri)-eiihx)uLb,y)dx.

(42)

этого

перейдем к полярным координатам х, ср, а

затем от перемен­

ной 1

к переменной у , связанной с

х формулой

(40) . При этом

dx = х %v

dy d(p

и равенство

(42) можно

записать

в виде

г2

ЪГк,ц) = J

Ж({ч=у-,71,А)й(А,у) dy,

(43)

о

%(p,Tl,A)

= -§-

J

pi^p^^cos^sintp),

7?)-

о

В этой

формуле

(Л, feo5<p, sln.(p))=Aicx>scp +

Azslncp.

Используя свойства

функций

f,j),

находим .

WlQ,ЧЛ) =

т

М

J

fp(°.(p,4)d.(p

ФО.

о

ZK(p,ti,Ji)

В го же время производные от функции

по переменным

р, 7

существуют

и непрерывны в области о « р ^ - Г ^ ^ Ш .

Поэто­

му уравнение

(43) дифференцированием по,

и делением на

ЗГСо.^.Я)

может быть сведено к уравнению Вольтерра второго рода с ядром,

имеющим слабую особенность на диагонали. Отсюда и следует

справед­

ливость

теоремы.

Перенесение

результатов

на случай

семейства

гиперповерхностей

труднений

(cM.fI28j, § 7 ) . Достаточно х считать

(n-i)

-мерной

координатой, а под ср понимать обобщенный полярный угол,

характе­

ризуемый

(n-z)

угловыми координатами. При этом ядро уравнения

(43)

вблизи диагонали имеет порядок

(ч-у)'Л1п3)

и поэтому урав­

нение (43) n ~ i

- кратным дифференцированием приводится к урав­

нению второго

рода. Естественно,

что при этом нужно требовать бо­

лее

высокую гладкость функции

<{(р,cp,ti)

и

jDfx,??).

»1налогичяо

случаю кривых может

быть проанализирован

случай,

(x-x0f+ifz

< ez,

ц>о.

В дальнейшем

е -

окрестность

точки №0 1 о)

будем обозначать через

5(х0,е.). Имеет место

следующая теорема.

Т е о р е м а

6. Пусть

/Л*,??)

-

двуметрическое семейство

кривых в области

(0 = [(х>у):

- ~ о < х < ~ ,

0£.уаН},

имеющих не­

прерывную касательную и таких, что в каждой окрестности

S(.x0,s.)

f-oo<sr0 <o=.) o&s^H

)

содержится, по крайней мере,

одна кривая

семейства,

a

_/>(s,

-

положительная интегрируемая функция

длины дуги

5 кривой

L($,q)

и параметров

. Тогда аналити­

ческая в области

£> функция

и(х,у)

однозначно определяется сво­

ими интегралами

V($,TI)

=

j p(s,$,Tihu(x,y)

ds.

(44)

Для доказательства

достаточно показать, что из i/=o

следует

а = о , поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать

однородное

уравнение,

отвечающее

уравнению (44):

J3CS,£, 7i) и(х, y)ds=o.

(44')

Предположим, что

функция

и(х,у)^о

в области О . Рассмот­

рим множество

точек на плоскости, где она может обращаться в нуль.

смотрим, теперь окрестность 5fcc„(e)

такую, что она целиком

со­

держится в Д . Тогда, по условию, найдется кривая /.($„, 7?0 ),

ко­

торая содержится в окрестности Sfa^e), за исключением, монет

быть, ее концов. Применяя к интегралу

по этой кривой теорему

о

среднем,

находим

5j>(s,i.,4.)u(x,y)ds

=

u(x*y*h

j j H s , f „ , 7 ? j e t s .

Здесь точка

(х*,у*)

- некоторая

внутренняя точка кривой /,(£„,

и, следовательно,

(х*у*)е Д .

Поэтому,

в силу

положительности

Функции

J 3

^ , £.

и неравенства и(х* у*) >о,

справедливого для

точек области Л ,

получаем

предположения, что

и(х,у)фа

Поэтому

остается принять, что

и = о

в

области

£) . А это

и доказывает

теорему.

10 . 0

некоторых классах единственности решения задач интег­

ральной

геометрии. Условие аналитичности

функции и(х,у)

явля­

жениях о классе

функций

и(х,у)

в то же время не накладывая на

семейство кривых

L($, q)

и весовую функцию р

слишком

сильных

ограничений типа

инвариантности относительно

некоторой

группы

поверхностей. Мы приведем ниже полученные здесь автором

резуль­

таты только для случая кривых на плоскости. Перенесение

их на

не

будет.

Мы будем в этом пункте считать, что

семейство кривых

L($,?i)

в

области

Ф = {(х,у1:-~о<х<~=,

ску*//,

о<Н<•=-=>}

удов­

летворяет

следующим условиям. Семейство

кривых Ll^rf)

содержит

в себе кривые, отвечающие произвольным

(£, т^е©

допускает

пред­

ставление

в виде

* = * ; f y . * > ? , s

* + ' - ^ < / > ( ^ F ^ . M ) >

°^У<У,

(45)

причем функции </>f/>,f,7?)

непрерывны в

области

(*- =

= {(р,^7):-<х. < ^ < ~ > ,

о < ; р <

-Ту ^ Ш

} ,

имеют в этой

обла-

сги непрерывные и ограниченные производные

д$ '

dpz '

Эрдц

и удовлетворяют следующим условиям:

<QU\i,V>a,'

?jto,i,V)=o,

%£%(р.Ь,Ю>о,

(46)

| р ^ Н р . £ а > 0 '

Ц *

^ * ^ ! * ^

(47)

Смысл первого из условий (47) ясен из равенства

( I I ) и факти­

чески означает, что радиус кривизны кривых

U$,ii)

в их вершинах

равномерно ограничен снизу положительный постоянной. Второе

из

условий (47) означает, что

| а = ^ + Н У - | й > у > 0 ,

(48)

и связано, таким образом, с условием монотонности функций

х^(у,$,т1)

по переменной

Относительно весовой

функции

j>(x,$,т?)

предположим, что она

•fixif1?

3 0 в с е й

Рассматриваемой области и

> / > о .

(49)

Покажем, что при выполнении этих условий задача

отыскания

функции ufr,y)

из уравнения (2) может быть редуцирована

к реше­

нию некоторого

интегро-дифференциального уравнения. При

этом бу­

их

(х,у-) непрерывную в области 2> .

Преобразуем соотношение ( 2 ) , перейдя в интеграле от перемен­

ной

интегрирования х

к переменной ц . Используя формулу (45) ,

находим

v m = t j j j . ( ^ v , u > « ^ w v ^ -

( 5 0 )

Здесь функции ji-lpXri)

вычисляются по формулам: