книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

менным s1,s1,...,sri,

а 8

- проекционный

оператор,

ставящий в со­

ответствие

функции vc(S) ее значения на множестве

г о ч е к ^ е ^ :

8 x = a : f s ) ,

seC^ .

(22)

Тогда для задачи

( I ) , (2)

равенство ( 5 ) , с использованием функции

Грина

G^(s,s°) приводится к виду

j

q(s')-f(S°

5)ds° = 0,

S e ^ ,

(23)

где

J)(s°s)

определяется

формулой:

pis;s)=G4tis,s°)-^^)-(r^(su)<ii.

(24)

уравнению

(23), были получены при исследовании обратных

задач для

уравнения

эллиптического типа

в работах [77, 78, 84, глава У] .При

этом для получения уравнения

типа (23) были использованы

некото­

осуществлено и для некоторых

нелинейных операторов

. Рассмот­

рим семейство операторов {Ля}

следующей структуры. Пусть i*J -

линейный оператор, действующий из пространства

X в пространст­

во Ф

непрерывных

векторных функций ср(4), ср=1ч>11...,<рп), ^= Ц*,---,^К),

определенных в области

содержащейся в евклидовом пространст­

ве

Ек;

Fz - линейный оператор из Q в

пространство вектор­

ных функций ф(1),

ф=[ф±,фт),

I

=Ui,...,

Is),

определенных в

области £>г с Es;

f(<p, ф) -

непрерывно дифференцируемая функция

своих

аргументов,

определенная на

Еп* Ет=

£"*™ Тогда при лю­

бом

о,е&? определен оператор

А х =

А£<ЗД,

(25)

действунций лз X в Y = C7£),). Подобную структуру

имеют диффе­

ренциальные и интегродифференциальные нелинейные

операторы,обычно

рассматриваемые в приложениях.

Рассмотрим пару точек

^p*<pJ j,

((р2ср"-) в пространстве Е Л + т

и обозначим через Р=(РЛ,...,

Рп\

S=(S,,...,Sj\ непрерывные

функции этой пары точек, компоненты которых определены равенства­

ми:

i = 4 , 2 , . . . , m .

Р,

При совпадении

пары точек

значения функций

S

понимаются

как

соответствующие

пределы правых частей.

Обозначим символом <ср*срг>,

<ф*фг>

скалярное произве­

дение

в пространствах Еп,

Ет

Т е о р е м а

4 . Пусть

Ё> линейный оператор;

семейство

опе­

раторов

имеет структуру

(25)

и удовлетворяет

следующим усло­

виям:

1) для любого qe-mcQ

существует обратный

оператор

;

2) при любых

%,t\z£fn.

линейный

оператор

K

l J

' % x >

\яР

**<Р(%Ку*

%Я*>

( 2 6 )

имеет

обратный

K j . ^ .

Тогда

для

единственности

обратной задачи ( I ) ,

(2)

на множест­

ве та

Q

при фиксированных

</eY и

х е %

достаточно, чтобы

двупараметрическое

семейство линейных

операторных

уравнений

\ ь Я - ° '

( 2 7 )

Г Л - е

п Р ° а з В 0

Л Ь Н ы е

элементы

множества *п, а

не имело нетривиальных решений вида

q = qi-q^.

Доказательство этой теоремы проведем рассуждением от против­

ного. Допустим, что существует пара

элементов

и

причем

9*^9* такие, что оператор

В ставит

в соответствие

решениям

уравнения

( I ) ос= &^Ц, х=

Л'Ягц

один и тот

же элемент к.

Покажем, что в этом случае уравнение

( 5 ) , отвечающее

этим элемен­

там

9i,9z>

имеет решение

^ t < 7

.

Отсюда

и будет следо­

вать

справедливость теоремы.

Рассмотрим

разность

С одной стороны эта разность равна нулю, гак как каждое из

выра­

жений порознь равно

одному и тому же элементу

% . С другой

сторо­

ны, иолольэуя структуру (25) операторов Л^,

мы можем преобразо­

вать эту разность к

виду

Используем кроме того, что

х^ = Л ^ . у К=4,2).Тогда из получен­

ного тождества и равенства

126) следует

г+< s

ч ,

£ ъ . &£у. £9J. 5 9 > - *•

Обращая в этом равенстве оператор

Н ? 1 ? г и используя очевидное,

в силу линейности оператора

В ,

равенство

0 х = о ,

получаем, что

является решением уравнения (27) . Причем

Ч'ЧгЧг^0-

^ т

самым теорема

доказана.

Теорема 4 по формулировке похожа на теорему I , роль уравне­

ния (5)

здесь

играет уравнение

( 2

7 ) . Естественно,

что по отноше­

нию к теореме 4 имеет место следствие, аналогичное

следствию из

Х-

пространство непрернвно дифференцируемых функций

x(s,s°),

s

= s ^ n ^ l

S'=(s",s^),

определенных в области

<0={(s,s°)-.

szzQ

s£>o]

и обращающихся в нуль при s=s°; т. -

множество

непрерывных

строго положительных функций ^(s),

определенных

в области S^>o.

Пусть

I? -

оператор дифференцирования по переменным 3d, S a

F, -

r > =

o.suzdsx(s,s°}

» f e ^ , x S x )

a

тождественный

оператор

Рассмотрим функцию трех

переменных

f(cp,d>),

(

с

/

> :

{«Р, <1» = <Р*+Ч>г-Ф-

( 2 9

)

Тогда

| g t a d s arts, s°)f - q(s) = 0

(31)

при условии

X ( S ' S ° ; | s = s - = a

( 3 2 )

распространяющихся от точечного источника, сосредоточенного

в

точке S". При этом функция

0~***($) имеет физический смысл

ско­

рости распространения волны, а функция

x t e , s ° ) -

времени пробега

волны от точки s° до точки

S. Пусть оператор В - проекционный

оператор, ставящий в соответствие каждой функции

ocfe.s") ее

значе­

ния на границе области

Вое = x(s,s°),

S=(Si,o),

s o = ( S ° , 0 ) .

(33)

отыскании функции tys)

в области 5 г > о

по временам пробега волн

между любой парой точек границы области.

Выпишем уравнение

(27) по отношению к сформулированной задаче.

В данном случае функции Р, S имеют вид

PjvWW)

=Щ?+ %%

Рг«рШФл)=^Х),

+ 2 ( Й ; x A s " > +

fj^Js,S-))•'|^x(s,s") s

= 2 < yxuzs

[xjs,s°) + x2(s, s°)l,

ywLdsx(s,s°)>.

Через c r ^ X j

здесь обозначены решения задачи

( I )

при 9=<?,, Ц^Цг

соответственно. Обращение оператора

эквивалентно решению

при каждом фиксированном

s" линейного уравнения в частных произ­

водных первого

порядка при дополнительном условии

(32) . Предполо­

жим,

что семейство интегральных кривых,

отвечавших

в полуплоскос­

ти

s2 >0 полю направлений, определяемому

векторной

функцией

g/iouis

[cct (s, s°) + x^ (s, s°)],

регулярно в том смысле, что каждой паре

точек

s, s° соответству­

L(s,S°). Тогда решение уравнения

при условии (32) дается формулой

. | _ 1 Г 4

= f

ш * > s ° ) d j 5

vi^s)-H^u-j^

2\qxcud4hc±«,s°)+*3(\1s°)l\

' ( 3 4 )

но, что интегралы от функции q(s)

в произведении с некоторой

за­

данной весовой функцией j}($,s,s°)

равны нулю на заданном дву-

параметрическом семействе кривых;

равна ли нулю функция

Для

вых

Lis,s°)

и весовой функции. Как видно,и

здесь мы сталкиваем­

ся

с необходимостью изучения общей

задачи

интегральной геометрии.

§ 2 . Метод линеаризации при исследовании

обратной

задачи

при решении сложных нелинейных уравнений всегда

естественно

разобраться вначале с более простой линейной задачей, соответст­

вующей исходной нелинейной. В прикладной математике для

этого

часто

используется метод линеаризации. По отношению к уравнению:

U q = z

(I)

он заключается в том, что рассматривается малая окрестность эле­

мента

,

в которой существует непрерывная производная Фреше

Ц[

оператора

U, и исходная нелинейная

задача

заменяется линей­

ной

задачей

f

W j .

=

* - U q 0 .

Если эта линейная задача обладает хорошими свойствами, а именно,

существует

ограниченный обратный

оператор

[Ц^„]

,

то, ссылаясь

на известную теорему о существовании обратного оператора

U h ( C M . ,

например, [91] )t

можно утверждать

корректность нелинейной

задачи

( I )

в достаточно

малой окрестности

элемента

<£,

В теории многомерных обратных задач для дифференциальных

уравнений метод линеаризации также использовался

(см. главу Ш).

При этом, однако, обычно исследовалась на условную корректность

только

возникающая линеаризированная задача. Естественно

возника­

сически корректной: обратный оператор

[ W^} ,

вообще говоря,

не является ограниченным. Оказывается,

однако,

возможным выделить

линейной

задачи.

Определение. Множество m c Q

называется локально подобным

относительно элемента

qaeQ,

если существует

замкнутый

шар

S(qa,z)c:Q

с центром в точке

qa

радиуса

t>o,

такой, что

множество

m^(qj

= т П Slq„,z)

не пусто и из

условия

qe m^(qj.. следует,

что элемент

(q

= q, 0 +

ij

также при­

надлежит

л ? г (qB).

Как видно из этого определения, для локально-подобных

мно­

жеств характерно,

что наряду

с элементами i j e f l i ,

содержащимися

внутри шара

S f q 0 , i ) ,

содержатся во

множестве

т

и

элементы

q,

которые получаются с помощью подобного проектирования,

относитель­

но центра подобия, находящегося в

qot

элементов

q,

на

поверх­

ность

сферы

Slq0,rl

Действительно,

Hq,-g,,H=i. Отсюда ясно,

что

такие множества как замкнутая сфера с центром в точке

qa,

пря­

мая,

проходящая через

с^,, являются локально-подобными

относитель­

но q0

множествами. Прямая, не проходящая через

q„, являетоя при­

В дальнейшем мы будем рассматривать компактные в

Q,

локаль­

но-подобные относительно элемента

q^ множества. Широкий класс

таких множеств можно получить

следующим построением: возьмем замк­

нутый шар Z(qOJz)

и компактное множество

т.

элементов

q, л е ­

жащих на поверхности шара:

flq.—<j0H=t, и поотроим отрезки прямых,

соединяющие точки

qot q

для

всех

qemo;

тогда множество tn .по­

лучившееся в результате объединения всех таких

отрезков

[ q 0 , <х\

q e-tn.,

являетоя номпактнын в Qt

локально-подобным относительно

элемента

q,, множеством. Пусть, например,

Q = C(50),

где £ > -

замкнутая область

евклидова пространства Еп,

тогда множество

функций

qeC(G),

для которых имеют место неравенства

1Ч~Ч.1е<-ч,

( 2 )

bywuLiq-q^%

«

ЯЦ-^

(0i>o),

странстве

"Z

обладает

следующими свойствами:

I ) оператор А

непрерывен, 2) уравнение

£.у=о

имеет

только

трявиальное решение ^=о . Тогда

на любом компактном £ <?,

локально

подобном относительно элемента qaeQ,

множестве т

имеет

мес­

то

оценка

Wdlq-qon

2 сх-Щ-ЦА

(3)

где

а. - положительная постоянная, зависящая от множества

т .

Пусть

S(q,c,D

- замкнутый шар с центром в ^„ радиуса

1 > о

такой, что для каждого из элементов ^ е « г П

S { ^ , „ m ) = f j i a « ^ э л е ­

мент cJ=qo+

[ [ q ' ^ j j t

также принадлежит т. Очевидно, что в

салу свойств I ) , 2) достаточно доказать выполнение неравенства (3)

только для элементов множества т., принадлежащих шару

5(0,о ,т).

Покажем вначале, что для элементов о,ега

и лежащих на поверхнос­

ти шара

3(^1),

имеет место

неравенство

B ^ - q . , } l t » J 5

(q.em,

H q , - q J = - z ) ,

(4)

где

j $ - некоторое, положительное число. Действительно,

если

пред­

положить, что ни для каких положительных

р

неравенство (4)

не

имеет места, то существует последовательность элементов

^ € - т ,

ЩпГЯ°1,='11

такая, что .

В склу компактности множества

т из этой последовательности мож­

но выделить последовательность

{ ^ я * } , годящуюся к некоторому

элементу

qcQ

. Очевидно, что

Щ„-Ц,1г'1-в

то * е время в силу

непрерывности оператора

Л

имеем

а з силу свойства 2) оператора отсюда получаем

'*~ак

к а

к

1>о , то получаем очевидное противоречие. Итак, неравенство

(4)

имеет место при некотором положительном

j

l .

Покажем, что тогда

на

элементах

j e i \ ( ^ , )

имеет место неравенство (3) при et= - ^ .

Предположим, что это утверждение не верно. Тогда найдется, по

крайней мере,

один элемент

q^em^lqj

такой, что

| л < ъ - 9 0 ) 1 1 < 4 ц * - ' М -

»5)

Построим по элементу qt

элемент Ц^Ч°^

Щ-qj ***

Согласно

свойству множества

т элемент ^ e t r z ,

в то же время

Ио^-о^^-г.

Разделив две части

равенства (5) на

IIq^-qjl,'

получим

тора

d"1 на образе

dm

множества т. Отсюда элементарно следует

теорема.

Т е о р е м а

I . Пусть

нелинейный оператор U имеет в точке

qo

производную Фреше

U^,

удовлетворяющую условиям леммы. Тогда

0^,

множества т , принад нежащего банахову

пространству

Q, суще­

ствует такой замкнутый шар S(qo,l)

(1>0),

что на множестве

^IQJ=

т П S(q.oti)

имеет

место неравенство

UUq-UqJI^XIIq-ciJ,

(6)

где

у -

некоторая положительная

постоянная.

Условие, что оператор

U имеет в точке

qa производную Фреше

означает, что

Uq = Uqo + U'%c ( q - q o ) + w ( q , q 0 ) ,

( 7 >

HVq-Uqj

>

Ш , ' о - l l a j i q ^ U >

»

схщ-qj - о(\Щ-си) = ( a - ° y ^ ; f f

Отсюда ясно, что выбирая элементы q e m

, для которых

l|q,-q„|l до­

статочно мала, можно добиться, например,

выполнения неравенства

» U q - U q 0 | | > - £ | / q - q j ,

что и доказывает

сформулированную теорему.

U LQ—""• %\

Т е о р е м а

2 . Пусть по отношению к оператору

компактного,

локально-подобного

относительно

элемента

о^, множе­

ства т

существует

такой

замкнутый шар S(qa,x)

(х>о), что

на

множестве

тЛ<1„)= т П Sl^t)

решение уравнения

Щ~*а

(8)

единственно

и устойчиво по отношению к малым вариациям

г0 на мно­

жестве

Я =

Um^lqj

с

"К.

Эта теорема является следствием теоремы I . Действительно,

единственность непосредственно следует из неравенства

( 6 ) . Из то­

го же неравенства

следует

и устойчивость решения к малым вариаци­

ям

на множестве

Я . Пусть z e A

,

тогда,

обозначения через

q,

его

прообраз

на множестве

m^(q0)

(любой,

если их несколько),

из

неравенства

(6)

находим

что и означает устойчивость решения в указанном выше смысле,

Из этой

теоремы следует, что задача решения уравнения (8) на

множестве mx(q0)

условно-корректна. Отметим еще одно следствие

из

этой

теоремы.

Следствие. Если оператор U

удовлетворяет условиям

теоремы I ,

то существует такое звездное относительно элемента

q„

множество

Mlq*),

содержащее в себе

элементы

qeQ

по любому

направлению,

выходящему

из

q o t

на котором решение уравнения

(8)

единственно.

Последнее утверждение становится очевидным, если заметить,

что любой

отрезок

[q0,qJ,

соединяющий пару

точек fy,,<£ в прост­

ранстве

Q ,

является компактным, локально-подобным относительно

элемента qot

множеством.

Из установленной теоремы 2 следует ряд новых результатов.от­

носящихся к условной корректности обратных задач, рассматривав­

шихся в главе Ш, на множествах т

структуры

( 2 ) .

Отметим в заключение некоторую связь между уравнениями, к ко­

торым мы свели

исследование обратной

задачи

( I ) ,

(2), и уравнени­

ем,

отвечающим линеаризированной

обратной

задаче.

Нетрудно проверить, что в случае, изучавшемся в пункте I

§

I

(семейство

операторов Ая

представимо

в виде

( 4 ) ) , производная

Фреше оператора

U

(см,

формулу

(3))

имеет вид

где

оператор

определен формулой (6)

§ I . Аналогичная^