книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

же сформулирована как

задача

отыскания функции Шх,у)

через

ин­

тегралы от нее по заданному

семейству

поверхностей S(£, rtf с

за­

данной весовой функцией

(Т

JiLx,^ij)-uix,y)dx

= ъ^-ф,

(3)

Перейдем теперь к детальному

изучению сформулированных

задач.

интересовать вопрос о том, когда уравнение (2)

имеет единственное

решение, то есть при каких условиях на функцию

J>(X,^TI)

И семей­

ство кривых

Ц§,71> функция

и.1х,у) однозначно определяется сво­

ими интегралами. Естественно,

что для однозначности решения

этой

задачи нужно потребовать от семейства кривых, чтобы оно "гладко"

заполняло область "50 , то есть

малым изменениям параметров

(£,

соответствовали бы кривые

мало отличающиеся друг от друга.

Естественно

считать, что каждая из отдельно взятых кривых

Щ,71)

буется,

заметим, что в силу сделанных нами ранее предположений,

уравнение каждой кривой

семейства может быть представлено в виде

У - А х , * , ^ ,

(4)

причем в точке x = f

функция

f(xf^iri)

достигает

своего макси­

мального значения, равного ^ , то есть

Рассмотрим теперь

отдельную кривую U^ty

при фиксированных £,

ту. Будем считать.,

что

функция

/fx,f,?^

имеет

непрерывную вто­

рую производную по

х

, а в окрестности точки

х= £

(то есть

ок­

рестности вершины кривой

Li^ty)

непрерывную третью производ­

ную. В силу ранее приведенных условий на семейство

кривых, в

точ­

ке

х=£

производная от функции

{(x,\,7i)

по

х

обращается в нуль:

f*{x,t,n)lXBi-o.

(6)

Мы будем

считать, что

в других точках

/^(x.fc, i?)

з нуль не

об­

ращается, поэтому

/ Ж { Х , ^ Т 2 ) > 0

для

х < £

и

для

х > $

. Предположил дополнительно, что каждая из кривых семей­

ства имеет в своей вершине радиус кривизны

Я

отличный

от

прямой у = ?2 первого

порядка. В терминах

функции

это

означает,

что

вторая

производная от этой

функции по переменной х

в точке

сс=£

отлична

от нуля. Действительно, формула для вычис­

ления радиуса

кривизны

имеет вид:

Огсвда

условие

Д ( ^ ; ^ ) ^ о о равносильно условию

1*Ы,П)1хч±о.

(8)

Из формулы (7)

видно, что

в силу непрерывности второй

производной

функции

/te,f,7?J

радиус

кривизны

в вершине к ривой

отли­

чен также и от

нуля. Таким образом, для каждой кривой

L($,7l):

o<Ri$,ri)

< <^<>.

При изучении задачи (2) нам будет удобно представить уравнение

каждой кривой (4) в виде,

разрешенном относительно переменной х .

В силу наложенных на кривые

L($,-q)

условий это можно

сделать,

но при этом мы получим двузначную функцию

так

как каждому

значению

о $ ^ < 7

отвечают два

различных значе­

ния х

, одно х< $

и другое

x > f . При ц=т} оба

значения

совпада­

ют и равны £ . Будем для

определенности считать, что j=i

отвечает

значениям х * £ ,

a

j = 2 -

значениям

эсз*£

. Покажем, что каждая из

функции зс.(у,^,1?)

может быть представлена в виде

причем функции

(р^рЛ,7!^

о,

дважды непрерывно дифференцируемы

по

р

в области

о $ р « Щ

и обладают

свойствами

Э

•

СП)

F(&Fy, Ъ^Ч) ^ -fiFf - *>v-f&,№' =о

(12)

При р = о , то есть ц=-ц , оба х- принимают значение, равное

. В

силу этого функции

Xjlfrfjj, ^-у)

(j'=4,2)

могут быть пред­

ставлены в виде правой части равенства (10) , причем выполнение

первого из условий

( I I ) очевидно. Чтобы убедиться в непрерывной

дифферевцируемости по р

функций

x.(p,$tri)

(.p=frfy),

а следова­

тельно, и функций

ч$ lp,достаточно

проверить,

что-производ­

ная от функции

F(p,x,i,i2)

по переменной

х при ос = Щ

{ptj7т?)

отлична от нуля.

Тогда уже из теоремы о неявных функциях

следует

непрерывность производной по р

от каждой из функций Ц(р,$,71). Но

производная от £7р,х,

как следует из равенства (12) , вы­

числяется по формуле

и поэтому отлична от нуля при

в силу наложенных на функцию

//£,£,77..' условна. При х-— $

(и следовательно, р - *о) раскрывая

-Hf1

Hl-LMn)i

= (-i)J

Напомним, что j

- i

отвечает часть

кривой L(i,'4),

лежащая ле ­

вее точки х=£

, а /=2 -

правее точки х=£ . Мы видим,

таким об­

разом, что частная производная от

Р(р,х,^т])

по х

отлична от

нуля и при х = | .

Производная от

%{р,^,Ю по р вычисляется по формуле

Зр

г

эр

Fx(p,x,t,jfl

и ее непрерывность вытекает из непрерывности функций

Fx (р, х, f, 72).

Второе из равенств ( I I ) и неравенство |^ (р4[р,\,Ч) >о

при

ной от

<Pjip,ifq)

по р следует из непрерывности по х

второй

производной

ЕСХФ&ЪУ)

(последнее требует проверки только при

х — О

и действительно

имеет место в силу существования в окрест­

ности

точки

х=$

непрерывной третьей производной

^ Е а № (эс, $ > Ф -

До сих пор мы говорили об отдельно взятой кривой

L($,TI) из

семейства. Ее дифференциальные и геометрические свойства

позво­

тельно переменной х , как двузначную функцию, обладающую

свойст­

вами гладкости по переменной р =Jvzy

и удовлетворяющую услови­

ям ( I I ) . Раньше мы говорили о том, что семейство кривых

1~Ц,Ч)

считать в дальнейшем, что функции сцш.-ц), §p<f>{p,i,y)

(/==f,a)

имеют непрерывные частные производные по i, ^

в облас­

Тогда легко проверяется, что уравнение

^j>lx,i,7fl uix,y)dx

so,

(13)

имеет наряду с чисто нулевым решением и решение

u s i . Действитель­

но:

„

• •

j j 3 ^ , 1 ? )

d-X -

^ cos зг Щ£ dx

•— fr[ ^ cos их d% =0.

Полученный факт неединственноеги легко

объясним. В самом деле от-

шх,у)

подобрать

функцию трех

переменных

JD(X,£7 7J)

такую .чтобы

было выполнено условие

(13) . Подобрать

ее можно было бы следую­

щим образом;

фиксируем произвольным образом параметры £, ?£ (то

есть

рассматриваем

фиксированную кривую

т?) ),

тогда на кри­

вой

L(§,т[)

функция

Шх,у)

является

функцией одной перемен­

ной и условие (13) представляет из себя

условие ортогональности

на некотором отрезке двух функций JD и

и.

Очевидно, что при за­

данной функции -и

ортогональную к ней функцию можно найти,

при­

чем бесчисленным множеством способов. Итак, вывод из

этого

следу­

ющий: нужно подчинить

функцию

jote.fc,??)

некоторым условиям, ко­

торые избавили бы от неоднозначности решения задачи

( 2 ) . Что же

мости

j3

по х , позволяет, как мы увидим .дальше,

утверждать, что

уравнение

(13) имеет в классе аналитических функций

а(х,у)

в об­

ласти

£>

число нулевое решение. Нам понадобятся

с

одной

сторо­

ны более

сильные свойства функции _p(x,$,Ti)

(в

связи с

тем,что

мы будем изучать и неаналитические

решения), а именно, мы будем

считать, что она имеет непрерывные частные производные первого

порядка по х,£,?г;

с другой стороны, условие знакопостоянства

функции

J>fx,f,7?)

достаточно заменить при выполнении этих тре­

бований на

условие

J>fx,hV)jx^*o.

(14)

В дальнейшем мы будем

считать, что

эти требования на весовую

ре функция

j>(x,l,i2)

удовлетворяет условию

( 1 4 ) , но не имеет не­

прерывных производных

(при -ц^о производные

^,^,_рп

и с а м а

функция j)

не имеют предела).

из кривых семейства параллельно

оси

у=о.

В аналитическом выра­

жении, это свойство проявляется в том, что в уравнение кривой

L(i,ri)

параметр

£

входит аддитивным образом,

то есть функции

ср. не

зависят от

£ .

Таким образом,

семейство кривых,инвариант­

ное к сдвигу вдоль прямой у = о,

может быть

записано в виде:

эс = $ +н^-^Ип=у,

П),

( i s )

(о

$ ц

и

Н ).

Мы будем, конечно, предполагать,

что в остальном семейство кривых

L(k,T2)

удовлетворяет требованиям пункта

2 . В частности,

%1М)*о,

1рЪ(Р,П)>°,

( 1 6 )

(p. [о, 7i)

= о,

—

ср.(р, 7jj |

=

hRlTfl

4= о.

Предположим, кроме

того, что весовая

функция

jo(x,i,ri)

обладает

меняется при переходе от кривой L($,ri)

к

произвольной кривой,

полученной из нее параллельным сдвигом вдоль

оси у=о . Это озна­

чает, что

J3=J)(X-$,7l).

(17.)

Т е о р е м а

I . Пусть семейство кривых

т?)

инвари­

антно к сдвигам вдоль оси ц-о

и представимо

в виде ( 1 5 ) ,

( 1 6 ) ,

причем функции

%1р,т^)

(j = d,z]

в области

о^рц^цкИТ

имеют

непрерывные производные

д*'е

к =0,^,2,

J

^

f ^

'

f.o.i,

K + U 2

>

( I 8 )

У ч .

a,

а весовая

функция

_p = jXx-^^t

имеет непрерывные частные

про­

изводные

и, кроме

того,

j3(o,??) Фо

,

О^п ^

Н.

(19)

Тогда любая кусочно-непрерывная функция

и(х,у),

имеющая по пере­

менной х

конечное

преобразование Фурье

(либо

периодическая по

х

с периодом, не зависящим от -у ) , однозначно определяется

в облас­

ти О

своими интегралами ( 2 ) .

Для доказательства

теоремы

запишем равенство ( 2 ) , используя

инвариантность к сдвигам вдоль оси ее весовой

функции и

семейст­

ва кривых

L (§tri)

в виде

J f(x,7i)-iL(x+^ij)CL-x

= V(^-ri).

(20)

UQ,V)

Пусть

теперь функция

atx,-y)

имеет при каждом фиксированном

ц

ляется,

например, финитность функции

uix,-y)

либо существование

интеграла

^

J lu(x,yjj

dx <

,

0

Применяя к

общим частям равенства (20)

преобразование

Фурье по

переменной

х

и обозначая через

UlA,y),

vtArfp

образы Фурье

функций

и 1х, у),

VI^72),

находим

LlO,7l)

-=°

с ю

, =

j j > l x , 4 ) . e i A x [ ±

\juix+$,yhei!x+t)Adtx+v}dx

=

=

f

J3(x,?i)e'ax

UUM)

dx.

ния Вольтерра первого рода, используя существующую связь

между

переменными

х

и

у

в точках кривой

Llo,^}.

Перейдем для

этого

от переменной интегрирования

х

к переменной у

с помощью формулы

( 1 5 ) , в которой

положим

£ = о

. Тогда

полученное

соотношение южно

записать в виде интегрального уравнения

\Ua,y)-7i(^,ri,l){ni-y)'hdy

~Ш,71),

(21)

в котором входящая в ядро функция

3{(i-q-y\ -у,Л)

находится по

формуле

3

W

)

-

i t

Ч )

-

е

Ш

' ^

} .

(,2)

Как видно из

этой

формулы,функция

Ж(р,т2,А)

непрерывна по пере­

менным р, г/

в области

о 4 р « Щ

Й Ш

вместе

с частными

производными первого порядка. При этом в

силу условий

( 1 6 ) , (19)

Л/0,71, А) = joto, 77И 2R (77)' Фо.

(23)

Благодаря

этим свойствам функции

Ж(р,Т1,А),

мы можем свести

уравнение

(21) к уравнению Вольтерра второго

рода, применяя прием

Абеля. Умножим для

этого

равенство

(21)

на

(s-7i)'i/2

и проинтег­

рируем его

по ij

в пределах от нуля до

s ,

Меняя в возникавшем

повторном интеграле порядок интегрирования, находим

S

5

П

J

lS-7l

o

J V 5-7? J

4

o

3

имеет конечные значения, отличные от нуля,

при s = y.

Чтобы убе­

диться

в этом, сделаем

в интеграле

замену

переменной

77 =

5 • cosze

+ -у- 54П*В.

Тогда

он преобразуется

к виду

%

T(s,y,A)

= 2JJ{(ls-y'casв,

scos*&+уйпгв7

A)de.

о

Отсюда, полагая y = s ,

находим

T(s,s,A)

= irJ{(o,s,A)

4о.

Используя формулу (25), легко

также убедиться в том, что функция

T ( s ,

у, А)

имеет непрерывную производную по переменной 5

всю­

ду

за

исключением диагонали

y = s

. На диагонали

T^(s, у, А)

име­

ет

интегрируемую особенность

вида

(5~уГ'л.

В связи с эгим.диф-

ференцируя равенство (24) по

5

и деля на

T?s,s,a),

получаем

для

отыскания

йСК,у)

при каждом фиксированном

Л

интегральное

уравнение второго рода

s

О

?

T ( S , S , A ) *

(26)

^(Я,-??) dbi

Э5 J

дом последовательных

приближений.

Итак, мы показали, что образ Фурье по переменной

ос функции

и[х,у)

находится

однозначно из соотношений ( 2 ) . Но известно,

что по образу Фурье однозначно находится сама функция

Шх,ц).

Та­

ким образом, георема доказана в том случае, когда функция

utx,y)

имеет

конечное по

х

преобразование Фурье. Для случая периодичес­

кой по

х функции

Шх,у)

мы можем повторить все рассуждения, с

вариантности. А именно, пусть в (n+i)

—мерном пространстве

ас,у,

х = f x i

, a c ! , . . . ,хп),

имеется область

<D={lx,y):

оау^Н}

и в ней

задано семейство кривых,

зависящее от

rn-i

параметра, ин­

вариантное ко всем движениям параллельного переноса вдоль

плоскос­

ти

у=о

. Мы будем аналогично предыдущему предполагать, что

каж­

дая из кривых семейства имеет вид непрерывной дуги, опирающейся

своими концами на плоскость у=о

-, и имеющей вершину (точку

наибо­

лее

удаленную от плоскости у = о

) в некоторой

точке

e < D ;

} =

( £

l t t „ ) . Не касаясь более геометрических

свойств

семей­

ства кривых (с ними можно подробно познакомиться по работе

[128],

на плоскости. А именно, пусть семейство кривых допускает

парамет­

ризацию с помощью параметров £, ц

и представило в виде

* + ^ ( Ь М / >

V),

hi,г,

(27)

где веттор-функции

(р^(р,г[},

j = i,2,

имеют

в

облчсти

о * р < Щнепрерывные

производные

причем

В атом случае

имеет

место следующее утверждение :

Т е о р е м а

2 . Если семейство нривых

L($,

т?) . удсг-.чет-

воряет поставленным

выше условиям и весовая функция

j>=J>(~-\,r}\

имеет непрерывные частные производные, причем

j>

(о,??)

Ф о

0£,7i^H,

то любая кусочно-непрерывная

функция

и(х,у),

'Л'.'з;а\зя

по переменной

сс=(а^7а^,...,хп)

конечное

преобразование

Фурье,

однозначно

определяется

в области О

своими

интегралам,-

j

uix,p-ldxl

=

vti,

-ф.

•.:::•)

Для доказательства

этой

теореме

:ijsa(>,

pas я

ранез.зтлисать '.•под­

ношение (29)

в виде

|

J3(x,i?)-Шх+{.

y)ld-x\

=#($,37)

(25 м

преобразование

Фурье функции

irf£,7?)

по переменной

£

и

рез ufA,^)

преобразование

Фурье функции

а<зс,-у),

найдем

V(K,TJ)

= J р1х,12)в^а,х1

иа.у)

ldx\.

(30)

/-to.j?)

Через

(Л,И,

(А,ос)

в последних двух

равенствах

обозначено

скалярное произведение

векторов Я=(АЛ}Яг,...,Ап),

£

:•.

А, эс

со­

ответственно. Перехода

в равенстве

(30)

я переменной

интегрирова­

ния ц , запишем его в

аиде равенств;"! ( 2 1 ) ,

и

которое

теи:;рь

tr/z-

но считать /I вектором. Функция

Ж(р,-ц,А)

и дходктсл

г

этой

случае

по сЬормулс