книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

них в виде

В результате

получим

T f = n

эг'

' aft

П ЭХ

dz

7 } Эк

Но так как функции xL = £ (z, x°

f)

удовлетворяют уравнениям Эй­

лера (10), то выражения, стоящие

под знаком интеграла в квадрат­

ных скобках, обращаются в нуль

и интеграл

пропадает. Входящие в

эту формулу производные

K,i=i,z,

можно легко вычислить,

a h '

используя соотношения ( 5 ) , ( 6 ) . Дифференцируя их, находим

21 в

=0,

Не

at.' lz=z°

z = z"

(13)

э

3^1

3 5

3 Z

Здесь

8"£ к

-

символ Кронекера. Используя эти

соотношения,

получа­

ем

1 = 4 , 2 .

(14)

Аналогично

дифференцируя равенство

(8) (при

1 = Г(х.°$))

по пере­

менной

i

и выполняя интегрирование

по частям, приходим к выраже-

ъг

эг

эу

которое,

используя

равенство

(13), легко

преобразовать

к виду

i

(14*)

Сравнивая

равенства

(14), ( 1 4 ' ) , мы видим, что компоненты вектора

отим^ rte°f)

равны произведению

л(£)

на соответствующе

кошоненты единичного вектора

касательной

к кривой

Г7х°#, построенной в точке £ . В результате получаем

формулу

ywdf

rtaf,ti = n№

Г

(15)

Отсюда вытекает, что

lgvxdt

t(x;$)l =

niti.

U 6 )

I * / ит л I ат-|2.

(16')

Tlx'xV^O,

(17)

условие Коши. Если мы захотим найти решение уравнения (16')

при

условии (17), то в соответствии

с теорией уравнений первого поряд­

ка мы должны выпустить из точки

х° характеристические линии урав­

нения ( 1 6 * ) , при этом вдоль каждой из характеристик уравнение

СГ6}

и

т(х°,находится

путем вычисления интеграла по характерис­

тике, соединяющей точки

х°,$. Легко убедиться, что система урав­

поля времен

т(х°$)

можно рассматривать как задачу

Коши по от­

ношению к уравнению

(16) . Из сравнения формул.(II)

и (14) видно,

что

канонические переменные pt

, 4 = i , 2,

приобретают также

смысл

частных производных

от функции

т(х°х)

по переменным

х

x z :

Р,=^т(х;х>,

i=it2.

(18)

Эти равенства

играют

существенную роль при решении одномерной об­

ратной кинематической задачи.

Рассмотрим

теперь поверхности уровня

5+={х:

V(X°X)=i,

i>OJ.

Эти поверхности представляют из себя поверхности равных времен.

Время пробега

сигнала от точки х°до произвольной

точки х

этой

поверхности постоянно и равно

4 . В геометрической

оптике

такие

поверхности называются фронтами. Если в момент времени

1 = о в точ­

ке

х° начнет действовать

источник возмущений, то в момент

времени

4

возмущение

от этого источника дойдет до точек,

принадлежащих

поверхности

5i

. Точки же, лежащие вне поверхности

Sit

этого

воз­

мущения еще не почувствуют. Из формулы

(15) следует, что фронты и

ент функции всегда направлен по нормали к поверхности уровня,

в

то же время формула

(15) показывает,

что градиент функции

т(х°х)

направлен по касательной

к лучу

в точке х .

Отсюда и следует, что

луч пересекает

поверхность St

под прямым углом.

Перейдем теперь к постановке обратной кинематической задачи.

Мы уже выяснили, что прямая кинематическая

задача,

заключающаяся

в построении поля времен

т(х° х/

пробега

сигнала

от точки

х°,

сводится к решению задачи Коши (16) , ( I 7 J . Обратная

задача

может

быть сформулирована

по отношению к уравнению (16) как задача отыс­

кания функции

п(сс),

если функция

т(х'х)

известна в точках

некоторой поверхности S

, точка

х° при этом может

также пробе­

гать некоторое множество

точек пространства

х . Мы рассмотрим

здесь

конкретную постановку одномерной обратной задачи. Л

именно,

будем

считать, что полупространство

пространства сс

^ x ^ x ^ z )

заложено

средой, в которой

скорость передачи сигналов

за­

висит только

от координаты

z .

Точка

х°

фиксирована, для

удобст­

ва мы будем

считать,

что она совладает с началом координат. Требу­

ется найти функцию

nlz),

если иззестны времена пробега сигнала

от

точки

х°

до произвольной

точки плоскости

z-o.

Переходя к исследованию этой задачи, заметим, пренде всего,

что лучевая

картина

(фронты и лучи)

будет

симметрична

относитель­

но оси

z . Ясно, такке, что луч, со единящий

точку

сс° с точкой сс,

будет лекать

в плоскости, проходящей через точки х° х

и ось

%.

Поэтов

во всех плоскостях,

проходящих через ось

х,

лучевая

кар­

тина будет

одной и той же. Б связи с

этим разумно перейти к цилин­

дрической

системе координат

7., (р, %

(угол

ср

отсчитывается

от

оси

хл

к оси а^) и рассматривать поведение

лучей

/"7х°х)

в фик­

^ £ =0

&х -

Р _

-

(20)

Здесь переменная величина р

связана

с каноническими переменными

Рп

pz

соотношениями

p^pcoscp,

p^psincp

и,'

следовательно,

Поэтому

из формулы (18) в частности

следует

р

- ж

-

( 2 1 )

Я = ( , P d z

(z>0).

(22)

Нетрудно после этого найти время пробега

вдоль луча от точки ос°

до точки х

. В дальнейшем,

так

как

точка

х"

фиксирована

и совпа­

дает с началом координат,

мы будем

обозначать

т(х°х)

через

v{i,z).

Вычисляя элемент длины дуги ds, находим

и, следовательно,

Z

пгИ)

dz

(23)

-

1J

M*(Z)

- р г

(12)

были получены в предположении,

что

уравнение луча

можно

за­

писать с помощью параметризации посредством координаты

Z. При

этом неявно предполагались также, что вдоль луча

dz>o,

так

как

только

в этом

случае

ds=

+yj i

+[x;fz)]2

+ [x^(z)]r-dz

будет действительно иметь смысл дифференциала длины дуги

луча.

В

тех же точках луча, которые соответствуют

dz<o,

мы должны были

бы в последнем выражении изменить знак с

(+)

на

(-). Для

уравнений

(20)

это означает,

что в

тех

точках

луча,

где ^ | < о ,

нужно

второе

из соотношений

(20) заменить на соотношение

^1

= _

Р

d z

~

\|n* (z) - p 1

"

В связи с этим полученные формулы (22), (23) верны только в тех

точках луча, в которых возрастанию

z

соответствует возрастание 7 .

Между

тем

сама постановка обратной

задачи предполагает,

что

суще­

ствуют лучи, которые соединяют точку

х °

(начало

координат)

и точ­

ку х

, принадлежащие плоскости 2 = о . Каждый такой луч лежит

в пло­

скости

cf>=consi.

Следовательно,

если

он не совпадает с отрез­

ком прямой,

стягивающей точки

х°=(о,о,о)]

х

= ( х 1 ; х г ,о),

то

он

за­

ходит

в полупространство

z>o

и возвращается обратно

на

плос­

кость

Z = O , T O

есть

имеет

вид,изображенный

на

рис.4. Обозначим

луч,

стягивающий

точку

плоскости

z = o ,

отстоящую

от

начала

координат

на расстоянии

р,

через

Г(р).

Тогда

данные обратной кинематичес­

кой задачи

заключаются в том, что нам известна функция

T(J>,0)

= Vjpj.

(24)

О

г*

?

Рис. 4

Функция т„{р)

в сейсмологии

называется годографом. Чтобы функ­

ция

z0(j>)

действительно

несла

информацию о коэффициенте

п(х)

при

%>о,

необходимо,

чтобы лучи заходили

внутрь

полупространст­

ва, в этом случае время пробега действительно характеризует

ско­

рость внутри области

z^o.

В связи с этим необходимо выяснить,

когда

же лучи

Г(р)

будут

заходить

внутрь

полупространства. При

выяснении этого вопроса нам удобно будет воспользоваться новой

формой уравнения луча

Г(р),

которая

следует из

установленного

факта, что

вдоль луча

р = const,

и соотношений

( I I ) :

р = р1

cos ср + р, sm07 = П17)-

'

Y

1

=

= fUZ)

dz

=

n(Z)-

Sln[T,%).

d

Z

Итак,

уравнение

луча

может быть представлено в виде

n(zy sin (E°z) = p.

Отсюда ясно, что параметр

р

можно

связать

с углом <х -выхода

луча,

относительно оси

z ,

из

начала

координат:

р = mo)-

slna.

(26)

Чтобы луч,

вышедший из точки. х °

под

углом

а<7 Г /г, вернулся на

плоскость

z = o ,

необходимо, чтобы для него

существовала некоторая

точка

заворота

я * . В этой

точке

n(z*)

<

п(о).

(28)

Из формулы (25) видно также,

что при выполнении этого

условия,луч

действительно

будет иметь точку

z *

точкой

заворота,

если

при

o<z<z*+e

(е>о)

функция

m z )

монотонно

убывает.

Действитель­

но,

если условие

(28) выполнено,

то, положив

p=n(z*)t

мы можем

убедиться

с одной

стороны, что такой луч, выходящий из точки

ос°

действительно

существует,

так как

nfz*)

с другой

стороны,

записав

в окрестности точки %* уравнение

луча

в виде

sin{l°,z)

=

ntz*)

п(%)

получаем,

в силу

монотонного

убывания

ntz),

что луч существует

только для zuz*.

Точка (г' z*) (см. рис.4)

является при этом

вер­

шиной луча,и луч симметричен

относительно этой точки. Участок лу­

ча,

отвечающий

изменению

т

от 0 до %*, описывается уравнением

(22) . При этом

P

d Z

'

р = Ш2«).

(28)

' • = 5J V r r t z ) - p 2

Участок луча,

отвечающий

значениям

г>г*

описывается

уравнением

\-ЕPdz-

(29)

Z

Г

Z*

Z*

t ( № ) , z ) = l

+ \

(30)

J Упг (г)-р*

J

\r?(z)-p*

о

1

Отсюда

.

z(j},o}=2\-0=M=i.

(3D

о

'

Итак, в предположении, что коэффициент

n ( z )

убывает при возра­

стании

z

от о

до

z'+e,

мы показали, что луч с параметром

p = n(z*/(

вышедший из начала координат,

заворачивает на линии

г-z*

и возвращается на прямую

z = o . Предположим теперь,

что на

отрезке Lo,И] (Н>о)

производная

от функции

п.(%) непрерывна

и отрицательна:

n'(z)<o,

0= £ Z*/7 .

(32)

Тогда из предыдущих рассуждений

ясно, что для любого

z*elo,H]

есть луч, внходжцмй из начала координат,

который

заворачивает при

z = z *

При этом чем меньше угол

а

между

осью

z

и касательной

к лучу в начале координат,

тем меньше значения

параметра

луча

р

^nioisinoi

=

nlz")

и,

следовательно,

больше

z* . Значению

р = п(о)

соответствует, очевидно,

х*=о,

а значению

р=п(Н)-та-

чение

z"= Н . Мы покажем ниже, что в предположении (32) сформули­

рованная выше обратная задача имеет единственное

решение. Но преж­

де, чем это сделать,

уатановим,при

каких условиях на зункцию

п(г)

решения уравнений Эйлера являются

кратчайшими линиями в метрике

( 2 ) . Из вариационного

исчисления известно, что для того,

чтобы

некоторая

кривая

Г(х°х),

удовлетворяющая

уравнениям Эйлера бы­

ла кратчайшей линией в метрике

(2) достаточно,

чтобы эту кривую

можно было окружить полем экстремалей функционала

( I ) , то есгь

таким семейством решений уравнений

Эйлера

Г(х°$),

которые

не

пересекаются друг с другом (за исключением точки

х° , из которой

все

они выходят). Очевидно, что условие

(32) еще не гарантирует,

что лучи

fVjo),

проходящие

в полосе o « z $ H , не пересекаются

под меньшим углом к оси

% и, следовательно,

заворачивающие при

больших значениях, могут

тем не менее пересекать лучи с большим

углом

выхода (см. рис.5). Чтобы лучи,

отвечающие разным углам вы­

хода,

не пересекались друг с другом,

необходимо и достаточно, в

силу

симметрии луча

относительно его вершины

( i*, z* ) ,

чтобы лу­

чи с меньшими углами

выхода имели бы большие

значения

1 * или,

что одно и то же, большие значения р . Так как меньшим

значениям

угла

выхода соответствуют и меньшие значения параметра

луча р ,

Рис.5

Воспользуемся для этого

формулой (28) . Перейдем в интеграле

от

переменной интегрирования %

к переменной

J = n ( z ) .

(33)

В силу условия (32) существует

и обратный переход

от

к

z :

г=У1Г^,

(34)

причем функция Ж{ср

непрерывно дифференцируема

и

df'(^)=j^^ <0.

Преобразуем последний из интегралов, проведя интегрирование

по

частям:

р

Заметим теперь, что для всех лучей, вершины которых лежат в поло­

се o^zsW,

значения параметра р^пЮ) = (^0. Кроме того

Jf'lyJ <0.

Поэтому при выполнении неравенства

& « J [ M «

< 3 6 >

будет

выполнено неравенство

j j j < 0 ,

что и обеспечивает регуляр­

ность

семейства лучей

/7/)),

проходящих внутри полооы

о^г^Н.Пре-

образуем условие (36) ,

записав его

в терминах функции

n(z) •.

(Inntz))"

i.

d z l

^ « r t n ( Z ) j '

tt'(Z)

~

[ ( & l f l ( « ) ' ] S

Так как

n'tz)<o,

то условие

(36)

эквивалентно

условии

Ш

П(2))">о.

(37)

Итак, условие

(37)

является достаточным условием регулярности

се ­

мейства лучей

Г(р). При выполнении его каждая из кривых

Г(р)

яв­

ляется единственной кривой, соединяющей точки ( 0 , 0 ) , 1р,о)

плоско­

сти 7 , z ,

и она является кратчайшей

в метрике

( 2 ) . Условие

(37)

например, вполне достаточно, чтобы семейство кривых

Г(р)

было ре­

гулярно для р достаточно

близких к нулю. Действительно,

из фор­

мулы (35) видно,

что при

р —г qo=n(0)

интеграл стремится к нулю

(при условии непрерывности

n"(z>), а внеинтегральный член

отремит-

оя к - о о . Поэтому

при

р

достаточно

близких к <j0

будет выполнять­

ся *

ся неравенство

< о.

Но значениям

р , близким к

<£„,

отвечают лу ­

чи, для которых р

близко к нулю. Отсюда и следует

сказанное

вше .

Невыполнение условия (37)

может привести к тому, что при

р

доста­