книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

Используя формулы

(15), (15'), этому равенству

можно придать вид

(,

(.1.7)

I у,

1

'

"

' '

"

где интеграл, стоящий справа,

понимается,

как

интеграл итилтьеса,

а функция р(Х)

определяется

равенством

(10)

Здесь

£ ( Л - Л Л ) -

функция Хевисайда, а

символ

означает ,что

л к < А

суммирование проводится по тем

п,

для

которых

Я„_<Л. Функция

j>(A)

называется спектральной функцией. Из формулы (18) видно,

что она является кусочно-постоянной функцией, имеющей в точках

Я =Л„

конечные

скачки, равные

~ -

(см. рис.9/, и непрерывна

в этих

точках спсава.

л ь

11Уз11;

№11

1!п,|(г

о

х 3

К

Рис.9

Функция j>(A)

таким образом, несет в себе информацию и о

собст­

венных числах

и о нормировочных коэффициентах

lyjl

Поэтому

разом: задана

спектральная функция

р(А)

оператора

L

, требует­

ся найти этот

оператор.

Отметим некоторые интересные свойства собственных функций опе­

ратора Штурма-Лиувилля,

связанные с функцией

/>(А),

Пусть

<?(a?)eLzLa.,e>J-

Тогда

построенный

для нее

ряд Фурье

по

собствен­

ным функциям уп(х>

оператора/-

:

0(х)

неограниченно растет при

х - ^ £ .

В этих

случаях

граничное

условие

в точке

сс=а

задается

в виде

( I

) ,

а граничное

условие в

точке

х=$

монет либо задаваться,

либо

не

задаваться

совсем.По­

следнее зависит от поведения функции .<£(х)

при хс-*В, В зависимос­

ти от

поведения

q(x)

могут реализоваться два

различных случая:

I )

предельной точки,

2) предельного круга

( C M . [ 9 0 J ) .

В

первом

из этих случаев не нужно задавать никакого граничного условия

при

х=

£г

во втором

случае такое

граничное условие

необходимо

для однозначного выделения решения. В обеих случаях

существует,

по крайней мере, одна спектральная функция

j>(A)

(в

случае пре­

дельной

точки -

равно

одна), монотонная

на

(-•=-=•, «<0

(j3t°°) = o)

и такая, что имеют место равенства

(15), ( 1 9 ) ,

(21)

и равенство

Парсевачя

^f(x)dx

=

^ ^ ( Я )

&ра)

(23)

а

™"

для любой финитной функции

q(x)eLz[ai&'].

Финитность

д(х)

озна­

чает, что

д(х)=о

на участке

при некотором конечном £'.

В дальнейшем мы будем рассматривать только случай

счи­

тая,

что

qix)

непрерывна

на fa,°<=>. В этом

случае, если

qlx)>-K

х\

(24)

где

к -

некоторая положительная

постоянная,

то имеет место

слу­

чай предельной

точки

(см. [90] ,

стр.149)

и достаточно задать

гра­

ничное условие

только на левом конце х= а.

Спектральная

функ­

ция

р(А)

в этом случае только

одна. Мы будем в дальнейшем всю­

ду считать, что выполнено условие

(24) .

Покажем, что и в случае

между

обратной задачей для

уравнения

(4)

при условиях

(5)

и первом

из

условий (6)

существу­

ция

{(i)=a(a,i)

связана

с

j>(A)

формулой (22) . Представим для

этого решение

задачи (4) - (6)

в виде

u(x,l)

=

j

й(АЛ)

у(х,А)

dptA),

(25)

где

ulA,i)

- преобразование

Фурье по функциям

ylx,A)

(у(х,А)-

решения уравнения

1~у = Ау

при условиях у(а,Л)=1,

y'la,A)-h

):

йа,Ь

=

j

u.lx,l)-

у(зс,А) dx.

(26)

а

Последнее возможно

в силу

формул ( 1 5 ) ,

( 1 9 ) , так

как функция

ulx,i)

финитна при каждом фиксированном

I

(uex,i)

= o

при

[•х-а)?±

)

и непрерывна в

области

ж - а « 4 .

Поэтову формулы

125),

(26)

имеют место. Для

из равенства

(4)

следует

уравнение

й и

+

Л й

= 0

(i>0),

(27)

а из равенств

(5) -

граничные

условия

й(А,о>=о,

< Z t

( A , o ) = J .

(28)

Решение уравнения (27) при условиях (28) имеет вид

Поэтому для

решения

ulx,i)

из формулы

(25)

получаем

представле­

ние

* и п Ш

, „ _ Л ч

(29)

Отсюда, полагая

х = а

и используя

условие

yta,7L)=it

приходим к

формуле

( 2 2 ) ,

связывающей данные обратной

задачи для

уравнения

(4) - (6)

со

спектральной

функцией

jo(A).

По функции

jo(A)

мы мо­

жем найти, таким образом, функцию

$(.1)

и,

наоборот,

по функции

fd),

обращая синуспреобразование Фурье,

найти

jo'fA).

Единственность решения обратной задачи Штурма-Лиувилля

на

[0,00)

следует

из теоремы В.А.Марченко,

который показал, что в

случае совпадения с точностью до произвольного множителя спект­

ральных функций двух дифференциальных операторов L

(отвечающих

различным

fyffi

и- различным h )

эти дифференциальные операторы

совпадают. Мы можем теперь доказать

единственность

этой задачи

и другим путем. Так как по функция

как мы уже убедились

ранее,

функция

q(x)

(в постановке

( 4 ) - ( 7 ) )

находится однозначно,

а между

$tl)

и

^э(Л)

существует

взаимно-однозначное

соответст­

вие, то

o,fe>Q

находится однозначно по j>iX).

Вопросы,

связанные

с построением

по функции * jo(A)

функции

<£(х),

изучены в работе

И.М.Гельфанда

и Б.М.Левитана

[ 4 2 ] .

a № , o ) = t e - a ]

(31)

и граничных

условиях (6) есть заданная функция ( 7 ) .

Решение этой задачи можно свести к обратной задаче Штурма-

Лиувилля для

оператора

L , определяемого формулами ( I ) ,

если

по

заданной функции

<fd)

построить функцию jo(A). Найдем

для этого

овязь между

/rf;

и

j>(A).

Выразим решение задачи (30) через

собственные

функции оператора

L . Представляя решение

-и(х,1)

в

виде

^

Шх,1)

= | й(Л,1)-у{х,Ю

dpCA),

(32)

- е ю

из равенства (30)

получим для

образа Фурье функции u(x.,i)

урав­

нение

%

+ Я £

= о.

(33)

Начальное условие (31)

переходит

в

условие

и(.Л,о)=1.

(34)

Решение уравнения

(33) при условии (34) легко находится

й(Л,{)=

е~М.

Поэтому из формулы

(32)

следует,

что

представление для

и(х.,1)

через собственные

функции оператора

L

имеет

вид

a f e M J - J e *

у№,Я)

djxto.

(35)

Конечно, эту формулу

мы могли бы получить и применяя обычный ме­

тод разделения переменных, как это сделано в п.1 для уравнения

конечной струны. Полагая в формуле

(35)

х = а ,

получаем формулу,

связывающую

{(.I) со

спектральной

функцией оператора

L:

о о

ша,1) =/d)

= | е " я

dpiXi.

(36)

Формула (36) показывает,что

{U)

есть образ Лапласа при

i>o

обоб­

щенной функции j>'(/l).

Зная функцию

/ri), нетрудно построить по

ней функцию

jOtflLTaK

как по

р(А)

коэффициент

q,(x)eC[a&

нахо­

дится однозначно,то отсюда следует,что

функция pi)

однозначно

оп-

ределяет

коэффициент

ц(а:)еС[а,£]

уравнения 60). При £->-«>° формулы

(32)-(36)

сохраняют свой смысл,при этом спектральная функция J>(A),

которая

завиоит от

стремится к спектральной

функции,отвечающей

случаю

Отсюда

следует,что

в случае

функция

также

однозначно

определяет

коэффициент

^(ос).

лена следующими обстоятельствами: I ) область пространства

z , х

(% = ( z t , z z t z n ) ) ,

в котором рассматривался волновой

процесс,

пространство z ; 2)

коэффициенты уравнения зависели только от ос;

3) данные обратной

задачи были заданы на всей гипершюокоети

x=a>nsi при 4»о.

Естественно, что в аналогичной постановке

может быть исследована и одномерная задача в пространстве Z, ос

му уравнению (30) . Однако, эти постановки обратных

задач отличают­

ся тем недостатком, что для определения одной (или нескольких)

функций одного переменного мы задаем функции (п-и)

переменного

zit...,

z^J. Более естественно было бы для определения функции

о/яу,

например, в области х » о , задать

решение как функцию i

в

фиксированной точке пространства ас, z

. Ряд результатов в такой

постановке получен для уравнений гиперболического

типа

(см,

f23 ,

125,

130, I 3 3 J ) . Однако непосредственное исследование

таких

за­

типов,

заключающихся в .отыскании коэффициента ф 1х)

при младшем

члене

уравнения по информации о решении уравнения в

фиксированной

Пуоть в области

пространства

ос, z , представляющей собой

прямое произведение отрезка [а.,&] оси

ос ( & может быть и беско­

нечным) на область 50о пространства

х

( z =

(zi,zx>...,zj)задано

дифференциальное уравнение

|^

= Л1ки + и х

х -

q,ec)tL,

(37)

U(oc,z,o)

= o,

ii4 /'x,z,0)=S(z-zo )S(x-a)I

к=а,,

(Зо;

и(х,%,о)

= 8(x-z°)-o(x-a)t

.

а граничное условие

имеет вид

uja,z,i)-h

u(a,z,l)=o,

u^tf, %,{) +HutS, z,i)

=o,

(39)

И

г 0

-

Здесь

Г, -

граница области

£>e , а

I

-

некоторый линейный диффе­

ренциальный оператор первого порядка

(например,

tu=u

или

tu-

^ ,

п

-

нормаль к С )•

Пусть в качестве информации для

оп­

ределения

<2fx) задано решение

задачи

(37)-(39)

в некоторой

точ­

ке

fa,z*)e£)

граничной плоскости

х = а :

u(a,zU)

= №

&>о).

(40)

u(-x,z,l)=

jui/i,z,i)-

у(я,М dj>(l).

(41)

— CJ-O

Тогда для образа Фурье

U(A,z,l)

получим уравнение

9 £=М2и-Лй,

н.'=*,а

(42)

начальные данные

и граничное

условие

/ й / д - 0 .

(44)

Решая задачу

(42) - (44),

мы находим

й ( Л , г Д ) .

Таким образом,

функция ulH,z,l),

входящая

в представление

( 4 1 ) , нам известна.

Полагая в формуле

(41)

сс=а,

z=zi

и используя условие

y(a,K)=-i,

находим

^

fd)=

dp®

(±->о).

(45)

- О - О

В этом уравнении ядро a(A,z*-0

известно. Поэтому, если уравне­

ние (45) имеет

единственное

решение относительно

функции

jQ(A)

(jOf-°o)=o),

то находя ее

по

/(4), мы приходим далее к

задаче

построения по функции

коэффициента q,(x).

Принципиальным

нения (45) . В случае, когда оператор

имеет постоянные коэффи­

циенты и область ©„

совпадает со всем пространством z , уравнение

(45) соответствует

известным интегральным преобразованиям. Усло­

при

/2/-^сх=. Например, для п=1

и Mzu=uZT

решение задачи (42)-

(44)

имеет вид

/ z z

7

t

о,

loz-z°\,

Уравнение

(45) для

к=у

представляет собой в этом случае преоб­

разование

Лапласа,

а для

я = 2 - преобразование Бесселя, и одно­

Г л а в а

3

МНОГОМЕРШЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

что разыскивались одна ила несколько неизвестных функций

одной

переменной, входящих в дифференциальное уравнение, по той

или

иной информации о решении уравнения. Причем почти во всех

этих

I . Рассмотрим в трехмерном пространстве

ос - f c ^ . x ^ o y

диффе­

ренциальное уравнение

ин =

ли +у(х)и+ ьж8(х-хаА)

( I )

и задачу Коши для него во всем пространстве

с нулевыми начальны­

ми данными

Шх,*,Щ1ш0

= ЧЪхЩ.о-о.

(2)

л =

£ — +

+

э *

э х ^

ээс£

э х * '

а через S~(x-x.°,i)

- дельта-функция Дирака, сосредоточенная

в точ­

ке х°

в момент времени 4=о.

При известной функции рх),

которую

мы в дальнейшем будем предполагать

непрерывной, задача ( I ) ,

(2)

имеет

единственное решение. О том, как его найти, мы скажем

не­

сколько позже. Решение задачи ( I ) ,

(2) зависит

от точки

х" как

от параметра. Предположим теперь, что функция

ytx.) неизвестна,

• но извеотно решение задачи

( I ) , (2) в точках некоторой плоскооти

S во все моменты времени

I > о

u ( x , x ° - f ) | x e S = # x , x V > ;

<3)

требуется по функции f(o^x°i)

найти у(х). Относительно

парамет­

ра х°

мы предположим, что х°е S . Изучим структуру решения

зада­

чи ( I ) , ( 2 ) . Воспользуемся для этого формулой Кирхгофа, дающей

для неоднородного

волнового

уравнения

иы

=

л о-

+ <р(эс,1)

Через

/х-£/ здесь

обозначено расстояние между точками

х, $

(* = ( Ы * , Ь > >;

d$ =dit-diz-dia.

Применяя к уравнению

( I ) фор­

мулу

Кирхгофа,

сведем задачу

( I ) , (2) к эквивалентному ей интег­

ральному уравнению:

)x-£l«4

Используя свойства

& - функции, мы можем это уравнение привести

к виду: