книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

К обеим частям равенства

(50) применим

оператор

S

iv=

] Щ^Нь-Ю*-

d-q.

(52)

s

s

Выполним во внутреннем интеграле

замену переменной интегрирования

•q на переменную

в -•

7 = 5 casle

+ у sin*в.

Тогда предыдущее равенство примет вид

Lv = Zll^j^df[^.({Ttfcose,^

bcos'-e-hijsirfe)•

о

о

2

2

J = i d

^

4 = 1 p «

p=o

I d($7S)l > 9Глр>о.

(54)

Деля обе части получившегося соотношения на Ai$,s),

получаем

следующее уравнение для искомой функции:

°

"

°

(.55)

в котором

s

о

Из сделанных относительно функций

j^foc-J,^)

предпо­

функций

#jK (*,s,у,в),

H.,j=i,z,

во всей области

их

определе­

ния. Пусть

/ R-(i,s,y,e)j

<<= - .

(46)

Для функции двух переменных

ЯРС^у), определенной в области t)

и суммируемой с квадратом при каждом фиксированном

у ,

введем

обозначение

^

Демма I . Пусть уравнение

(55)

имеет решение Шх,у),

непрерыв-

Из уравнения

(55)

и неравенства

(56) находим

S

7Г/2

„

J / 2

+[

j tflXjiy,!-,

scosze

+yslnze)i

y)d$]

j

de.

— o - o

Перейдем во внутренних интегралах от переменной

интегрирования f

к переменной

х^ ,

связанной с

£

равенством:

ос. = х.(ц7

scosze + у ъйг?в).

Такой переход возможен, так как неравенство

(48)

гарантирует

су­

ществование

для функции

sc-(y, $,

s сое*© + у sirfe)

обратной

к ней по переменной

f

функции

£ = ^

э:^ scasze

+ у

sinze).

Для

этой функции,

в силу (48),

имеем оценку

9 1

<

±

(58)

Поэтому, усиливая предыдущее

неравенство, получим

S

?%

«о

+ [ j « ^ х , у ) с в с ] ^ ] d e ,

а это эквивалентно неравенству (57) .

При выводе неравенства

мы формально

воспользовались

существо­

ванием tlFSs.

Однако,

из

проведенных

оценок очевидным образом

сле­

дует, что для

функции

F($, s),

определяемой

левой

частью равен­

ства

(55),

||F||S

существует

и непрерывна

при

se[o,HJ.

Лемма 2 . Пусть

Шх,ф — решение

уравнения ( 5 5 ) ,

удовлетворяю­

щее

требованиям леммы I

и,

кроме

того,

неравенству

lu^l

ё

ХЫ9

,

О&у&Н,

(58)

lull < m-

[i

*2»гя|^(Лн)]-воср [ R ' f J f u f ^ s ] ,

( 5 9 )

где

RF1=

tnajx

IIFt.

Для доказательства

воспользуемся неравенством (

5 7 ) , записав его,

с учетом (58), в виде

Ли/4 < |F| +

( 5 - ц ) ^

dy.

о

Выполним здесь однократную итерацию. Тогда

получим

lulls^llFll

+

llftzfs +

Г М д е + , П Ч _ Д .

L / /

что

s

J

F(s-y)(y-z)

и

5«W,

находим

S

о

Отсюда

и следует неравенство

(.59).

Т е о р е м а

7 .

Пусть m

-

линейное множество функций

Шх,у),

непрерывных вместе

с частной

производной

u^.(x,y)

в

облас­

ти £>, имеющих непрерывные

lu.L,

llu^S^

на

отрезке

[о,Н]

и

удовлетворяющих неравенству

(4ь)

с константой

7L [своей для

каж­

дой функции). Тогда на множестве

m

задача

интегральной

геомет­

рии (2) не может иметь двух различных решений.

Действительно,

если и£(х,у),

ujx,y)

-

Д в а

решения

задачи

( 2 ) ,

принадлежащих множеству т , то их разность

и 4 - а г = й

в

силу

ли­

нейности множества

т

также принадлежат

т.

Так

как

уравнение

( 5

5 ) линейно,

то функция

Шх,ц)

будет

удовлетворять

однородно­

му уравнению и, в

силу

( 5 9 ) ,

Ш115=о

при любом

se[o,W. Отсюда

«(1,(/|зО,

то есть

u j x . y )

=

иг(х,ф.

Исходя из

этой

георемы, легко

получить

утверждения, касающие­

j V l U l l j j ,

(62)

и множество функций

и(х,у)

с финитным преобразованием Фурье

удовлетворяет условию теоремы 7 . Поэтому функция и(.х,у)

однознач­

но

определяется функцией

I?($,TI),

tf,7j)eO.

Обозначим через тм линейное множество функций тлст,

та­

ких, что константа

Ж в неравенстве (58) не превосходит

задан­

ного положительного

числа

ff.

Т е о р е м а

8 . Пусть Ж - множество функций

а{гд|)г опреде­

ленных в О

и таких, что для всех

JT>JTB>o

(Яо

= Л0Ш.))

имеет место

представление

Шх,у)

= u„fcy)

+ Uj,tx,lJ),

( 6 3

)

причем

и.„[х,у)е

тм,

а для \4м{х,у\

справедлива оценка

l w „ l , « С е -

* * "

ihM^^

^>0)'(64)

где

С, & -

постоянные, зависящие только

от

u.tx,y). Тогда на мно­

жестве

JU задача

интегральной геометрии- (2) не может иметь двух

различных решений.

Пусть и17иг—

два решения, принадлежащие

М. Тогда их

раз­

ность также принадлежите. Действительно, предположим, что

uLlx,y)

=

и^(х,у)

+ w l A f x , y ) ,

i=i,z,

причем

иш(х,ц)&

тм

(i=i,z\ а для

W£Jtf

справедливы неравенства

Тогда для

tZ = a , - t t 2

получим

йга;у; =

2„№,у) + i^/х,^,

(65)

причем

й^1х,у)

= и.^(х7у)

— а^1х,у)

принадлежит мно­

жеству

т„ в силу его линейности, а для

\ИМ

справедлива

оценка (64) при

Функция

a (х, у)

удовлетворяет однородному уравнению (55) при

F($,s)=o.

Представим в этом уравнении функцию

исх,у)

в

виде (65) и члены, содержащие

\iM(x,y\

перенесем в правую часть

равенства. Тогда,

проводя оценки, аналогичные выполненным при до ­

казательстве леммы Г, получим неравенство, аналогичное (57) :

*

(66)

Члены, "содержащие функцию

viNlx,y),

легко оцениваются на основа­

нии неравенства (64):

s

• Я Л -

Щ-

](Щ

+ 11

h^»\)

t s - v r ^ d v *

о

Поэтому

применяя к неравенству

(66) лемму 2 (при этом

ITfsjJlO,

находим

Устремляя в этом равенстве ./V

к бесконечности,

находим, что при

Шь = Ьт^1й„^

=о

и,

следовательно,

ujx,y)

= uz(x,y) в

полосе

o~Zy<h.

Для завершения доказательства

осталось заме­

тить, что область

Ф

можно разбить на конечное число полос

тол­

щиной не более

h

. Двигаясь от нижней полосы к верхней,

последо­

вательно

убедимся, что в каждой из них функция

utx,y)=o,

то

есть

ujx.y)

= иг{х,у).

Следствие 3 . Пусть функция

и(х,у>

имеет

по переменной

ос

преобразование Фурье

и(А,у),

непрерывное по

у

на отрезке [о,ИЗ,

причем при любом Я

имеет место оценка

1шА,у>1

« Q . e x p ( - №

(д„>о).

(67)

Тогда

функция

и(х,у)

однозначно определяется интегралами ( 2 ) .

Возьмем в качестве

ujx,y)

функцию

Легко

проверяется,

что

иА(х,у)

е m N . Для разности

wvf3C,</) =

= и(х,у)

— ил(х,у)

и ее производной

по х

имеем равенства

7 * "

Из которых, с учетом неравенства

( 2 7 ) ,

находим

Отсюда ясно, что при любом

8<S0

для

\Ым1х,у) выполнены нера­

венствами (64) при подходящем выборе константы

С.

Это означает,

что рассматриваемый

класс

функций входит в множество М

теоремы

8 и тем самым доказывает

справедливость

высказанного

утверждения.

I I .

Некоторые замечания по поводу

постановки

задач

интег­

ральной

геометрии. Мы рассматривали задачи, когда

заданы

интегра­

лы от функции

шх,у)

по кривым или поверхностям. В приложениях

встречаются однако случаи,

когда

заданы интегралы

от линейной

комбинации интегралов по кривым

и по областям

Ф^У),

ограниченным этими кривыми:

J ^>(x,$,72)-u(x,</)tfx

+

jj

fitx.y.hW•utx.ydxdy

=Щ,Ю,

или от линейной комбинации интегралов по поверхностям

Sf^i?) и

областям

£)/•*, 12),

ограниченным ими:

jj

pte,W

utx,yldx

+ jjj

дщ^-ф-аЩ)

dtzd-y

=

vik,nl

Set, 7)

pipit

Щ.У)

В этих формулах

-

заданные весовые функции. Анализ этих

ного выше. В случае кривых

Lll,т?)

или поверхностей S

инвариантных к сдвигам параллельного

переноса или вращения до­

статочно потребовать, чтобы функция р

удовлетворяла прежним

по переменной

у

обладает таким свойством, что мы можем ее ре­

шать последовательно, разбив область £> на любое конечное

число

полос £>к = {(х,у):

- « ~ = < x < + ° o )

yK^y^yKti}.

При решении

задачи в полосе

50я мы уже знаем решение в области

у^ул, и по­

этому нам важно поведение

только

тех кривых

т?)

семейства,

для которых

( $ , ^ € 5 0 к ,

и только той их части,

которая лежит в

области £)1 С )

т . е . важно поведение кривых L(.$,7i)

в некоторой ок­

рестности их вершин. Поэтому требования на поведение кривых

се -

результаты по единственности решения задач интегральной геомет­

рии. Для более

полного ознакомления с этим предметом читателю

рекомендуется

познакомиться с работами [ 3 6 , 4 1 , 62, 119, 123,

127, 128,

1 6 1 ] .

f

4 . Многомерная обратная кинематическая задача

Ранее, в § 5 главы П, мы рассмотрели постановку обратной ки­

нематической задачи сейсмики для случая, когда скорость передачи

помним постановку

обратной кинематической

задачи. Рассматривает­

ся область & (конечная или бесконечная) в

пространстве

ее =

=(х1 ,хг ,..., х „ ) ,

ограниченная поверхностью 5 . Требуется

найти

скорость передачи сигналов

v(x>

внутри области £) , если из­

вестны времена пробега rtx°

х')

сигнала

между парами

точек

x - . x ' s S .

rtfx)

= i%,ix)+п, (х),

( I )

где функция

tz^ix)

задана

(n^(x)>o),

a

nt(X) - мала по сравне­

нию с njx).

Задача

отыскания функции

пШ

в этом случае

сво­

дится к отысканию функции

nt

fx).

Воспользуемся ее малостью для

постановки линеаризированной

задачи. Используем для этой

цели

уравнение

эйконала

I grcad^

г ( х ^ х ) | г = rf(x).

(2)

Подставив в это уравнение

щх)

из формулы

( I ) , введя для на­

глядности

параметр малости' Л :

п(х)

= njx)

+Ап1(х).

Функцию

Т(х° х )

представим в виде ряда по малому параметру •

их', х ) = TL Лл

ТЛ (х° х).

(3)

Приравнивая члены при одинаковых степенях

Л , находим

\дугас1а.'с0(х:х)Г

= п0(х),

(4)

^ т а а ^ т ^ х » -

LjTad^tjx'x)

=

njixi-n^x).

(5)

Т(х°х)

<* tjx'x)

+ T i ( x ° x ) .

(6)

Как видно из уравнения

(4) функция

zjx'x)

зависит только от

п0(х)

и дает

времена пробега сигналов между точками

х ° х в сре­

де, характеризуемой скоростью передачи сигналов

-сг(х)=—i—-. Так

как функция njx)

задана,

то решив прямую кинематическую

задачу

( т . е . построив поле лучей и времен), мы можем найти функцию

т„(х°х).

Тогда

из равенства

(6) мы знаем

т ^ х ' х ) для пар то­

чек x ° x * € S ,

с точностью до малых порядка

п*.. Разделим

обе

части равенства

(5) на

t\,W.

Обозначим через

Г0(.х°,х)

луч,сое­

диняющий точки

х°, х

в метрике, связанной

с функцией

п„(х).Тог-