книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

( 1 2 ) , получаем для определения

решения ие(х,1) систему

интеграль­

ных уравнений

х

I, l = i,Z,

fl.

В этих уравнениях через oc^x^l

обозначена координата,

отвечаю­

щая абсциссе точки пересечения

i характеристики,

проходящей че­

рез точку (х,1),

с границей области О :

(17)

w/te,i) = ^ aeL(x,i),

(18)

i =

.... 5 ,

О ^ i «

я1

>

решение

ae(x,l),

wf te,^)

в области

Из структуры этих систем

видно,

что

a{(x,i)

будут

непрерывны в области <С>, а функции

wflx,-i)

-

кусочно-непрерывны. Конечные разрывы для функций

w/foc, I)

возможны только' вдоль

характеристик,

выходящих

из

за­

данных

точек

(сск, о ) ;

в которых

могут

иметь разрыв коэффициенты

матрицы

d(x),

и вдоль характеристик, выходящих из угловых точек

(0,0) (Л,

0 ) . Отсюда

следует, что функции

cpfd),

i, 1=

itz,...,п,

должны быть непрерывны по i

в области

I

г= о, а их производные ку­

сочно-непрерывны: они могут

иметь нонечный разрыв в конечном

чис­

теристик

с границами

х=о,

x=L.

Используя

систему

уравнений

(19)

и данные

( I I )

о решении прямых

задач, можно, получить

дополнитель­

ные соотношения между atj.(x)

и

wf(x,i).

Для этого, полагая

в

формулах

(19)

х = о

для

s+iaian

и x-L

для

1 = 1,т., ....

s,

находим

В этих

уравнениях

через ф,1^)

обозначены производные

по I

от

(ffd).

Произведя

в первой группе

уравнений (20) замену

^ = - - ? - 1

а

i

во второй

замену i=^~-}

приходим к следующим

уравнениям:

аа(х)=р.г(ас; + f IПay(t>w/($,

-xi) df,

(21)

в которых

обозначено через

? = ^,2, ... ,П,

(22)

(23)

Уравнения ( 1 9 ) , (21) образуют

замкнутую

оистему уравнений относи­

тельно

неизвестных

vj?(x,b,

аи(х),

i,l=i,2.,...,n.

Рассмот­

рим теперь область

ФШ,

построенную следующим образом.

Из точек

( 0 , 0 ) ,

(L,o)

плоскости

x,i

выпустим характеристики,

уходящие

от соответствующих

точек

внутрь области <£), и имеющие наибольшие

и гс=о

соответственно.

Из получившихся точек пересечения С и di

выпустим внутрь

области

характеристики с наименьшими углами

наклона к оси х.

В результате

мы получим два четырехугольника

OJIBL

и OfXL (см. рис.3). Замкнутое множество точек, получивши­

еся в результате

объединения этих

четырехугольников, и назовем об­

ластью

£>(/,).

t

с

\

/

• О ч

линией

OAJfCL.

Углы

дятся

из

соотношений

ctq

в. = тйг

к,

,

eta ос. =

max

к. ,

cig

атйг

\к.\,

da

OL, =

m a x

| H J .

Уравнения (19), (21) показывают, что для

точек

(xti)

е ©(/L)

значе­

ния искомых функций

v/hx,l),

auix)

в этих

точках выражаются

только через самих себя в области

4D/L).

Заметим,

кроме

того,

что при достаточно малом

L

уравнения ( 1 9 ) ,

(21)

содержат

L

в

качестве малого параметра. Для уравнения

(21) это

очевидно,

а

уравнение

(19)

мы можем преобразовать к виду

уравнения

с малым па­

раметром

заменив aulx),

входящие

в эти уравнения,

правыми частя­

ми соответствующих равенств

(21) . Проделав это,

прядем к

системе

уравнении вида

Х-К..1

wfeu = gt

pL[lx-HJl

+|- J £l

ayw-wfa,

-x})dt- +

i,£=i,2

n,

(oc.-t) e <DcL).

Эта система уравнений уже содержит в качестве малого параметра

число

1~ . Воспользовавшись этим обстоятельством, нетрудно

показать,

что система уравнений

( 2 1 ) ,

(22)

при достаточно

малом

L

имеет

о/х^)=

cfii,

i,£ = i,i, ..

. , п ),

определенные

в области

задав их компоненты равенствами

yfi

(х, h =

w.l(x,4),

flt (x,i)

s fu (x) =

alc

ix).

Введем на множестве таких функций норму, положим

и рассмотрим множество функций

G, удовлетворяющих

неравенству

(23)

где функция

q°lx,l) = l(ju, flu,

i,i=i2,...,n)

определена форму-

лами:

Систему уравнений (21), (22)

запишем в виде

9

= и9>

( 2 5 )

где оператор U = (UU)U;*,

i,l=i,z,...,n)

определен равенствами

(26)

Оператор

[У переводит множество кусочно-непрерывных функций с

об­

ластью определения

'O(L)

в себя. Покажем, что при достаточно

ма­

лом

L

он является

на множестве G

оператором

сжатия. Убедимся

вначале

в том, что из условия

^eG

следует, при достаточно

ма­

лом

L ,

что

UgeG.

Действительно, для любого

^eG

имеет

мес­

то

оценка

Щ1 6 Ц1+М

= Ж.

В го же время для любых

ix,i)e

<D(/J

и любого

geG

имеют

мес­

то

неравенства:

ч а д

4

г

то llUg-g°H

то есть

ЩеСг.

Возьмем

теперь любые функции

y e G

и оценим норму разнос­

ти

.

Используя, что

^

- П

Р И

,

г

(

М,.

L<L=mm

znlJU+iip)

ШМ+nfll)

оператор

U

является

тем самым на множестве

G оператором сжатия.

к решению определяется

отношением

^/L".

Выбирая константу

Ж,ос­

тавшуюся произвольной,

равной

llgl,

получим оптимальную оценку

для L* . Максимальное

значение

I*

равно

L

=

— —

127)

L

8nsfit

^ "

При этом множество G

есть шар

Ц~$°И^

Сформулируем полученный результат в окончательном виде.

ТЕОРЕМА. Для существования единственного решения обратной за­

дачи в классе кусочно-непрерывных

(в

указанном выше смысле) на от­

резке Lo,U

матриц

Я(х)

необходимо,

а при выполнении условия

I

<

к°

где

llq'll = max

sup

1ф£ U)l,

к„ =

min

IHJ

,

и достаточно,: чтобы функции

tpfd),

i,£=d,z,...,n,

задаваемые в

качестве информации о решении прямых задач- для системы ( 3 ) ,

были

о 6 4 4 L//K;/. При этом для элементов ait(x)

матрицы Л(х) спра­

ведливы оценки

i

(28)

« i * s,

колебания

источником

возмущении, сосредоточенным в точке ас°е©, а

в точках

границы S

области?!) фиксируются те моменты времени, в

доходит до точки

i

= ( $ i , ! г , У

по такой кривой, на которой

реализуется

минимум функционала:

где

Цх°§)

-

произвольная

гладкая

кривая, соединяющая пару то­

чек

х° |;

ds -

элемент

ее длины. Легко понять, что функционал

( I )

дает

время пробега

сигнала по кривой

L(x°§).

Та кривая

Llx°^),

на которой

реализуется минимум функционала ( I ) , называ­

ется лучом, соединяющим точки х° £.

Будем ее в дальнейшем обозна­

чать

через

Л х ' й . Кривая

Г(х°£)

является также

геодезической

линией по отношению к метрике, в которой

элемент длины дуги cte в

точке х

подсчитывается по формуле

dz=-^-.

(2)

VIX)

При этом длина

геодезической Г(х° £) в такой метрике есть время

пробега сигнала по кривой

Г(х°

Обозначив это время через

Т(х° f),

находим

волн, совпадает со всем пространством х.

Предположим, что урав­

нение кривой

Г(х° f)

может

быть записано в виде, разрешенном

относительно

переменных

x , , X j .

В этом случае удобно выделить пе­

ременную

х3

, обозначив ее через % , так что в дальнейшем

х —

=1x^x^,2).

В соответствии

с этим обозначим

x°=Cx°,x^,z°), $ =(^,^,3) .

Тогда, в силу сделанного

предположения, уравнение кривой

Г(х'$)

тмеет вид

Условие,

что кривая Г(х° $) проходит

через точки х° f,

означа­

ет, что

выполнены равенства:

< - ^ ; х

П ) ,

(5)

3lL)

= JFlz,

х/я, хг(х),

x^iz),

x^iz))

dz

(7)

достигает экстремума, обязаны

удовлетворять

уравнениям

Эйлера:

Мы можем записать

функционал

( I )

в виде

( 7 ) , если

воспользуемся

параметризацией кривой

Цх°f)

с помощью переменной

z . Тогда

Функционал ( I )

примет

вид

л

t(L)

=jп{хщ

XJ.D?.)-

]{

+ {х[ту-

+

[x^zij'-'dz.

(8)

Здесь через

п(х)

обозначена

величина,

обратная

скорости в

точ­

ке х

:

•

( 9 )

Уравнения Эйлера для функционала

(8)

записываются

в следующем виде:

ГГ.( х;r+

(х^-п

- i

- f

n X

i

===^\

=

о,

( ю )

функции

обязаны удовлетворять

уравнениям

(10)

и условиям

( 5 ) ,

( 6 ) . Таким образом,

чтобы найти уравнение

кривой

Г(х°$), тре­

буется решить для системы уравнений

(10) краевую

задачу. Заметим,

что выполнение уравнений

Эйлера

(10)

на

экстремали

Г(х°£)

явля­

С геометрической точки зрения канонические переменные

pi,

t=i,z,

характеризуют наклон в точке х касательной к лучу

Г?х°#.

Поэтому в вариационном исчислении переменные pir

называются фушщиями наклона.

С помощью новых переменных величин

рг система уравнений Эйлера

может быть

записана в виде

симмет­

ричной системы уравнений первого порядка

*

-,

,

i=i,Z

(12)

Г(ХГГ£)=

Т(Г(Х° £ )) .

Покажем теперь,

что градиент функции т(х° f), вычисленный

при

фиксированной точке

зс° обладает

тем свойством, что он направлен

в точке £

по касательной к лучу

Г(х'

$)

и по величине

равен

п(Ю. Найжем для этого

частные производные

от функции r ( x ° |) по

переменным ilt\lty.

При этом мы должны подставить в формулу

(8) вместо

x-jz)

правые части равенств

( 4 ) , которые и определяют

уравнение луча

Г(х.° £).

Проделывая это и дифференцируя получив­

шееся равенство,

находим