книги из ГПНТБ / Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений спецкурс для студентов НГУ

Шх,х°1) = TL

unloc,oc°l),

(6)

где

члены ряда un(x,x°i)

находятся до формулам:

SU-lx-xV)

1ос-ас°|

'

( 7

)

/х-И«*

« . =

1 , 2 , 3 , . . .

'Покажем теперь, что все

UjX,X°l)=zO,

П=0,1?2,...

(8)

при

i < /ос-эС/.

Воспользуемся для этого методом математической

индукции. Для л = о

это равенство очевидно. Предположим теперь,

что оно верно

для

всех

ил(х,х°4)

при

n = i,zf...,

n-i.

Покажем, что для

я = п

оно тогда

также выполняется. В силу индуктивного предположения

подинтегральная функция

и.п_±($,х.°

1-\х-$\),

стоящая в формуле

( 7 ) ,

обращается в нуль при $ ,

удовлетворяющих

неравенству

i-lx-tl

< If

-х-1.

С другой

стороны,

если

i<lx-x°l,

го это неравенство

выполняется

при любых

$ , так как

/зс-х*/ $

+Ц-х\

я ,

следовательно,

i-!x-tl-l}-x°l

^l~!x-x°l<o.

Поэтому при 1<1х-х'1 функция

Un.-id, x°l-lx-H)so

при всех £

я

и.а{х,х°1)

также обращается в яуль. Из формулы

(6) получаем,

что

а(х,х°1)=о

при

1<1х-х°).

С физической точки зрения этот результат

совершенно очевиден .Дей­

ствительно, возмущения в пространстве

ас

передаются с конечной

до точки а

больше I

, то возмущение, произведенное

в точке х °

еще не успевает дойти до точки

х . Если условно изобразить четы­

рехмерное пространство

£, т}

как это показано на рис.10, то мно­

жество точек,

удовлетворяющих

неравенству r ^ / j - x - ]

представляет

представляет из себя проекцию на гиперплоскость

г = о

внутреннос­

ти пересечения

этих двух конусов и имеет в пространстве £

вид

эллипсоида

вращения с фокусами в точках

се, сс*:

1b(x,xU)={$:

1ос-Ы+Ix'-fcU-t}.

(9)

Таким образом,

Ъ<Х,Ъ°А)

tl =

i,2,3,...

Перейдем теперь к анализу, как

ujx,x°i)

зависят от <?(&'Из

приведенной формулы для

и„

видно, что оно от

совсем не

зависит. Из формулы (7' ) при n = i следует, что

и,(х,х°4)

зави­

сит от

линейным образом

U ^ l ^ J -

f f r ^ ) : ^ - t e ' - » M « - ^ ц

(Ю)

,

1

'

JJ J

|зс-£Н£-Х°|

*>

все же остальные

ил '" при

п>2

зависят нелинейным образом,

при­

чем зависимость эта от у

при' y=consl

имеет вид"

Каждая из

u^.(vctx°i)

* имеет"физический

смысл слагаемого в формуле (6), от-

121

'

-''

вечапцего

п -кратному рассеянию на неоднородностях среды

(неод­

нородности

связаны с функцией

) . Можно показать, что ряд

( 6 ) , составленный из

, сходится равномерно в любой конечной

области переменных

ос,I

(см./89],

а также

[ 1 2 8 ] ) , причем

?аЛ |с

оценивается через

(Щ^Т

и размеры этой

области. Перейдем те ­

перь к анализу обратной

задачи. Вспомним для этого, как мы посту­

ра , ставящего в соответствие непрерывной функции

ф fx)

решавие

и(х,х°,1), дается формулой

(10) . Следовательно, первый этап, с

которого мы должны начать,

это обратить интегральный оператор на

многообразии данных обратной задачи, то есть при

х, принадлежа­

щих плоскости 5 . На самом деле изучением только этого

этапа

мы

здесь и ограничимся по причинам, относительно которых будет

ска­

зано позднее. В то же время я хочу обратить здесь внимание,

что

ной задачи. Если, например, функция

уф

маха по норме в

С,

то с точностью до малых порядка

|gfz

имеет

место представление

u(x,x;i)

= «jac,oe^)

+

ил(х,х°^)г

поэтому,

зная

и(х,хЦ)

для

осеS,

мы находим на том же мно­

гообразии и функцию

ttjftCjX'-f).

В связи с этим задача обращения

оператора

(10)

при

асе 5

равносильна решению линеаризированной

обратной

задачи.

Посмотрим теперь, что из себя представляет задача обращения

уравнения .(10)

. Для этого преобразуем вначале правую часть

этого

Здесь

через

dcj обозначен элемент телесного

угла

с центром

в

точке

ос°.

Пусть теперь в формуле (15) точка

ос

пробегает

множество то­

чек

заданной

плоскости

S , а

х ° - фиксированная точка

той же

плоскости. Тогда задача

обращения уравнения (15) представляет из

себя следующую задачу: для всевозможных эллипсоидов вращения, у

которых один фокус неподвижен, а второй пробегает

последователь­

но множество

точек

хе S , причем параметр

4

(характеризующий

при фиксированных х,х"

эксцентриситет эллипсоида)

принимает все­

возможные

значения

^>/сс-х°/;

известны от функции

<j(£)

инте­

гралы

jj (Ц$)$-х°]Чы

=

2 9 Г # - / х - я Т ] - м * № , « ; Я ,

(15')

S(x,x°l)

xeS,

x°eS;

требуется

найти по ним функцию

^(f)

. Задачи подобного

рода .ко­

гда

требуется найти функцию по известным от нее интегралам

вдоль

некоторого семейства

кривых или поверхностей,

принято называть

задачами

интегральной геометрии

[ 4 1 ] . В частности,

полученная вы­

ше задача была исследована в работе [123]

(см. также [84 , 1 2 8 ] ) .

Установлено, что в классе непрерывных функций

четных

отно­

сительно плоскости

S ,

уравнение (15*) может

иметь не более од­

ного решения. Это означает, что четная, относительно плоскости S,

функция однозначно определяется своими интегралами по семейству

эллипсоидов. Конечно, и нельзя было ожидать, чтобы произвольная

функция <£/£)

могла быть однозначно найдена по функции

и±(х,х°1)-

Если вспомнить постановку одномерной обратной

задачи для струны,

то там для однозначности определения

м ы

задавали пару

функ­

ций:

u C x 0 , ^ =

ft(4),

и0.(х0,4)

= fz(i).

Можно показать

и здесь,

что задание,

наряду

с функцией

ui(x1x°4),

дополнительно

функции

^

u

j ^ i

)

=

ср(х,х;4),

где

п

-

направление

нормали к плоскости

S,

позволяет

однознач­

но найти уже любую функцию

из класса

С.

Изменим теперь немного постановку обратной

задачи. А именно,

будем

считать,

что точка х°, являющаяся параметром

задачи,

пробе­

гает

последовательно

множество

точек плоскости

S

и функция

iLifyx'i)

известна для точек

х=х°

при всех

. Из формулы

(13)

следует,

что поверхность

5(х?х°4)

представляют

из

себя

сферы, уравнение которых имеет вид

Поэтому

задача

отыскания

по функции ud{x.°,x°,l)

(x°eS,

t^o)

функции

у(х)

заключается, как видно из формулы

(15), в отыскании

функции

q(x)

через известные от нее сферические

средние

/J

9(ydu

= Zu^x-x'^),

(16)

когда центры

сфер пробегают множество точек плоскости S , а

ради­

ной

части оператора,

ставящего коэффициенту

^ (х)

в

соответствие

решение задачи ( I ) ,

(2) в точках плоскости

S (или,

что то же са­

мое,

решение обратной задачи в линеаризированной

постановке)? при­

бы подумать, что это специфика именно линейной части задачи,

то

есть результат линеаризации. Однако это не так. Впоследствии

мы

увидим, что исследование обратной задачи ( 1 ) - ( 3 ) в целом (а

не

гральной геометрии, несколько

более общей,

чем задача (15')

или

(16) .

Сейчас

же мы в подтверждение

вышесказанного приведем

для

уравнения ( I )

пример постановки обратной задачи,

когда

она

в чис­

том виде приводится к задаче интегральной геометрии.

Пусть относительно решения задачи ( I ) ,

(2) известно

следующее:

для точек х7х°

пробегающих

последовательно множество точек не­

которой замкнутой поверхности

S , во всех точках

ос, х°е

S

реше­

ние

u(x,x°i)

известно для

моментов времени i

, заключенных в

интервале

}i-lx~x'll

< £,

где

£ - любое, сколь угодно

малое

положительное

число'. Требуется

по заданной

функции:

u(x,x°l)

=

cp(x,x°i),

•XeS,

X°€

S ,

U-IX-x'll

найти коэффициент

n(x)

внутри области,

ограниченной поверхностью

Переходя к исследованию этой задачи, мы воспользуемся представ­

лением для

решения

uix,x°i)

в виде ряда

( 6 ) . Б этом ряду

ua(x,x"i)

известно и не

зависит

от

0(х).

Выражение

для

а±(х,х°1)

мы преобразовали к виду (15) . С помощью совершенно

аналогичных

преобразований выражения для

ип

(п^г)

могут

быть

представлены в виде

" « ' г . ^ = 4 5

^ 4 f e i *

J j / b x ° ] 3

? ( f ) « „ ^ , x ; 4 - / x - f i ) d 4 ( I 7 )

/х-х°|

5(х,х;т)

i^jOC-X"!.

Л

= 2,3,...

,

Рассмотри;.! теперь

предел

всех

un(x,x°i)

(n^i)

при

^—»/х-х°/.

При этом поверхность

эллипсоида

вращения

S(x,x ° - 0

стягивается

в отрезок прямой

L(x7x°),

соединяющей

точки

х , х°. Мы покажем

сейчас, что

ad(x,x°i)

стремится

при этом к интегралу

по пря­

мой

Цх,х°)

и является

величиной

ограниченной при любых конечных

х,х"

. Но тогда

из

формулы

(17) следует,

что

все

ajx,x°i)

— * •

о

Г п > 2 ) .

i—rlvc-X'l

Действительно, ограниченность

ajx,x°l)-

при i=£fe-x°l

очевид­

на в любой конечной области пространства

х, I . Поэтому, если

Ujix,x°l)

ограничена

также и при

I—~/х-х°/,

то

она ограничена

и внутри любой конечной

области

<D(x,x°i).

Пусть

]и,(х,х°4)1

4

Ж.

Тогда

при

Г > /х-х°/

имеет место

оценка:

l

JJ Ihx'fp)

uji,

х° I -

/ас-Я) du>

r a - / o c - x 7 z

S(a;x°0

Ограниченность последнего выражения

может вызывать сомнения толь­

ко

при

i—-|х-ос°|,

но это выражение

точь в точь такой же

структу­

ры,

что

и выражение

(15)

для щ(х,х°у,

и поэтому при

i-^-lx-xi

также будет ограничено.

Но тогда в формуле

(17) интеграл

по t от

ограниченной функции будет

стремиться к нулю при i—^jx-x°l, так

как

промежуток

интегрирования

стремится при этом к нулю. Более

аккуратные оценки показывают, что величина

и^1х,х°^)

(п>2) стре­

мится к нулю при i-^lx-xi

как бесконечно

малая

[lz-lx-x°lz]n'~x

Получим теперь формулу для предельного

выражения функции

и.А(х,х°,1)

при 1-^\х-х°\.

Для этого в формуле (15) перейдем от

переменной интегрирования

в

к переменной

t = |£-x°], связанной

с в

формулой

(14) при т = 1 . Так как

a

du

= sine

de dip,

то выражение для

и^(х,х°1)

преобразу­

L(x,x°)

где ds - элемент длины,

L(x,x°)

- отрезок

прямой, соединяшций

точ­

ки х, х°.

Из непрерывности

q(x)

следует

ограниченность предель­

ной функции

ujx,x°

lx-x°l)

при любых конечных

х , х°

в том чис­

ле и при

X

-у Х°

Резюмируя все сказанное

выше, мы видим, что функция

u(x,x?i)

представима в виде

суммы ряда ( 5 ) , в котором первый член tu

пред­

ставляет из себя обобщенную функцию, а следующие дают

регулярную

часть решения, причем при 1-^}х-х°1

все члены в ряду

(6)

за ис­

ключением

и„

и ud

стремятся к нулю. Поэтому,

используя данные

(17)

относительно

прямой

задачи

( I ) ,

( 2 ) , мы получаем,

что

регу­

лярная часть функции

q>[x,x°l)

при

l~~lx-xi,

где х , х ° е 5 ,

свя­

зана

с коэффициентом

у(х)

уравнения

( I )

соотношением

liixl

1 W

d s

=

х.,

№(*,*U)-ujx,x°A)l.

Цх,х')

, х

'

Предел,

стоящий з этом равенстве справа,может быть вычислен и

представляет,

следовательно, известную функцию, которую мы обо­

значим

через

/te, х°). Рассматриваемая обратная задача сводится,

чек х, гг.°

принадлежащих

замкнутой поверхности

S,

известны

ин­

тегралы от

функции

<£/х)

по прямым

Z.(x,x°),

соединяющим

эти

точки

T 7 i

- 3 ?

f j

qmds

=/(х,х°),

(19)

L(x,x")

x e S ,

x°€

S ;

требуется по этим интегралам найти

qlsc) внутри

5 . Единствен­

ность решения такой обратной задачи следует из

результатов,

со­

держащихся

в книге [ 4 1 ] .

Итак,

рассматривая

для

гиперболического

уравнения ( I ) две

различные постановки

обратной

задачи,

мы свели

их к двум задачам

интегральной геометрии. В дальнейшем мы увидим,

что это не

слу­

сцх)ии = ли

+ Ья-Ъех-х") е ' и

(20)

Iqm^

qc>o).

периодический режим колебаний

с частотой

со

, то

есть

ulx,oz°i)

= V(o:,x°,(j>)eLui.

(21)

Функция V/X,X°OJ),

играющая роль амплитуды

этих колебаний, удов­

летворяет при этом уравнению эллиптического типа:

А V + со*у(х)т7 = - 4тг-

£fcc-x°)

(22)

Vlx, х ; 60) = Z I o / n V

(х,а:°).

(23)

Рекуррентные соотношения для

гг(х,х°)

получим, приравнивая

чле­

ны при одинаковых

степенях CJ . Б результате

найдем

AVa

= - iiJZ 5(х -о:"),

(24)

+^№1-^=0,

Л - 1,2, ...

Отсюда, используя формулу Пуассона, находим

vjx,x')

'

= -

^

„, ,

'

/х-х°/

(25)

В частности, при

п. = *

Представим теперь себе,

что

частота

и>

достаточно мала и нам из­

вестна функция

тхгх°ш)

при значениях и>

сколько угодно

близ­

ких к нулю на некотором множестве т

значений х, эс0. Тогда

на

том же множестве т

мы можем найти функцию

[ 3 ;

84 (главы 1У,У); 7 7 ] . При изложении последней задачи мы как

раз

и использовали методику

работы [ 7 7 ] .

Оказывается, что задачи

определения коэффициентов линейного