книги из ГПНТБ / Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования
.pdf2 5 9
З б * |
|
t d e |
|
|
|
VTT |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
= з б * |
r°° |
e |
_t 2 |
d.t |
4 |
И Г |
f |
|
= 5 6 |
||
-oo |
|
|
|
|
|
t . P O |
r o o |
, 2 |
Эксцесс определим по формуле |
|
б х |
М« |
|||||
|
б« |
- 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Дяя нормального закона |
6 х |
= 0 . |
|
|
||||
24.382. |
Возможны следующие варианты: |
|
||||||
I . нет попадания в мишень; |
2. одно попадание ; 3 . два попада |
|||||||
ния . ; 4 . |
три попадания.Вероятность каждого |
варианта найдем по |
||||||
формуле Бернулли |
|
|
■р5(| ='з 0,0 (0,4 / = 0,288 |
|||||
ра,0 =* |
( 0 ,4 )3 = о, 064 |
|||||||
Рз,г = 3 ( 0 , б / - о , 4 |
= 0,432 |
; |
Рз,з = (o,6)S= 0,216 . |
|||||
Ряд распределения |
имеет вид |
|
|
|
|
|||
|
|
* i |
0 |
I |
|
2 |
3 |
|
|
|
Pi |
0,064 |
0,288 |
0,432' |
0,216 |
||
Асимметрию определим по формуле |
|
|
|
|||||
А* |
= _ ^ - . г д е |
M s = d 5 - |
ЗоС^ о£г + 2 .А* |
|||||
( / , |
= |
О • О, 0 6 4 + |
1 • 0,28 8 +• 2 |
0 ,4 3 2 |
+ 3- 0,216 = 1, ? |
|||
d-j, = 1- 0 ,2 8 8 + А 0 ,4 5 2 + 9 0 ,2 1 6 = 3, 96
2 6 0
б 2 = сЦ - I * = о, 72 |
; |
6 = 0 , 8 4 8 5 |
|
||||||
Л 5 |
= |
1 - 0 , 2 8 8 |
+ 8 |
0 ,4 5 2 +- 27 - 0,216 |
= 3 ,5 7 6 |
||||
Тогда |
|
- о , . - и |
; |
* 6 |
- |
|
|
- О , » а |
|
24.383. |
Так плотность |
- функция четная (распределение симметрия |
|||||||
но),то |
|
Ад, = о . |
|
M(x) |
= f |
х е 1 *d х |
= |
0 |
, т . к . подынтег |
|
|
|
|
|
~оо |
|
|
|
|
ральная функция нечетная.Тогда |
|
|
|
|
|||||
м» - т Г х< е W dx ' J ' ’x ' e ' “d * ■ - j / d е * - |
|||||||||
|
|
- о о |
|
® |
|
|
|
|
|
Применим метод интегрирования но частям |
|
|
|
||||||
|
|
. | Q & |
г СО |
|
г |
|
|
|
|
Мд = - x V * L + |
* о |
4 x V xd x = - 4 |
o |
x s d e |
|||||
|
|
*a |
|
|
' |
' |
|
||
= - |
4 |
х 5е ' х Г |
+ 4 |
[ э |
x 2 e ’ x olx = |
- |
12 Г |
x «d e - x |
|
= - 12 x 2 e . ~ x | “ + 12 Г 2 x e ~ xd x = - 2 4 f ° ° x d e - x = |
|||||||||
|
|
|
|
Jo |
|
|
|
' о |
|
= - 2 4 xe - 4 ° ° + 2 4 |
f “V xd x = - 2 4 e ~ x | ° ° = 24 . |
||||||||
|
|
I 0 |
|
J o |
|
|
|
Iо |
|
О
фПри вычислении интеграла мы воспользовались тем,что
^ £un х к t |
х |
= 0 ( |
К - |
целое число),что можно доказать по |
||
^ -*со |
|
|
|
■■ |
|
- • -- |
цравилу Лопиталя. |
|
0 |
|
|
||
Аналогично найдем |
Д(Х) = ^ |
f |
х*€. **' 4* = 2 |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
а( |
б |
, |
_ |
24 |
- |
5 = |
|
|
а * |
|
4 |
|
|
-m -
24.384. Коэффициент асимметрии определяем по формуле
Д = |
|
|
Третий центральный момент |
И 5 |
выразим через начальные |
моменты |
|
|
=■5 </. 21/^ + i
Находим начальные моменты |
|
|
|
|
|||
i t = М(Х) = | ' 2 X2 dx = | X5 |
= -| |
|
|
||||
1г 3 |
|
J о |
|
= { |
1О |
|
|
М(х2) =• |
('2 |
х 3dx |
|
|
|
||
- |
М (х *) ~ j*2 х 4dx |
- | - |
|
|
|
||
А ( Х ) * б г - 1 г ~ л \ = А • |
|
|
|
||||
Мз = | - - <з |
т |
4- +2^ |
- 2—7 |
1 5 5 |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|||
б |
I |
|
Тогда |
А 6 |
1 |
•54 V T = - |
2VF |
|
|
||||||
|
|
|
1 5 5 |
5 |
|||
24.385. Для-определения искомых величин воспользуемся формулами
где Мь , |
|
- центральные моменты.Найдем математическое |
|
ожидание и дисперсию случайной величины X |
|||
М ( Х ) , |
1 |
а+в |
|
6 - а |
2 |
||
|
|||
aw = м ( * Ч - ( м х ) 2 . ^
^5
^з =» — J (x-'^)dx;Сделаем замену переменно:! в
■о— Q J a
|
|
|
|
|
|
262 |
|
|
|
|
|
ga |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интеграле |
t = |
x — |
|
|
, |
Тогда получим M5= |
J ta t^dt =o; |
||||||
t . k . |
подынтегральная функция нечетная.Поэтому |
Л j = 0. |
|||||||||||
м |
= _ L _ |
[ 6 ( х _ S ± § |
\ 4 И х |
___1 _ |
/ х - |
- Й 1 V |
|||||||
м 4 |
fi- a V * |
Я |
|
) |
|
~ (й_а | ь ^ |
- Г ) |
|
|||||
|
i |
Г ( 8-a Xs |
|
( О —В Л5 ] |
" |
i ^ a Y |
|
|
|||||
~5(^а) LI */ \ |
|
2- ) J |
80 |
|
|
||||||||
Подставляя в формулу дан определения |
эксцесса |
полученные |
|||||||||||
значения,найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
О |
_ |
(6-а)^ |
|
144 |
|
|
|
- 1 . 2 . |
||||
|
С Х ' |
30 |
|
' |
(g-fl)« |
~ |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
24.386* Начальный момент |
|
К |
-го |
порядка определим пр формуле |
|||||||||
|
|
|
, |
|
оо |
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X. |
|
|
|
|
|
|||
|
J'« = |
Ж |
\ |
j |
е |
" ! , ± * |
|
|
|
||||
Если к - нечетное число,т.е. к
т.к. подынтегральная функция нечетная.
Если |
к _ четное число,т.е. |
к. |
числяется по частям |
|
|
|
ШL |
,хЭ |
|
J |
|
= 2 т-’«- 1 |
,то |
,= ^ 1 |
= 2 т ,то интеграл вы
Ц . (
Т
1 |
K - t |
|
|
К - £ |
|
* е r ' " * v b j V f ( « - . ) * |
С| * |
||
|
|
|||
|
' С О |
- о О |
|
хг |
|
|
|
|
|
- |
Jjj - Q < K - 3 ) ( lc-5) |
- J. |
|
. i.1 |
|
v/2rT1' |
|
J e •d.-Ugwje'tj, |
|
|
|
|
- OO |
|
|
|
2 6 3 |
|
,€*? _ а |
___ |
.Поэтому при к. |
2 m |
Но J % a dx |
= V z W |
J-2m = (г m - l ) !!
24.387.
|
|
_ А |
СО |
|
чИ |
|
-к |
СО |
Л" |
|
|
И ( х ) = е ’ ^ |
|
|
Л* |
„- А |
|
|
|
||||
|
к A j = е ' А^ |
|
|
|
|||||||
|
|
¥.*0 |
|
|
|
|
r \ |
|
|
|
|
Вынесем |
Л |
за знак суммы.Тогда получим |
|
|
|
||||||
М W ‘ е |
|
Т ^ Г )! - Л ' m ' R Z V l i ! * е |
|
||||||||
(разложение функции |
|
в |
в ряд |
Маклорена).Дисперсию найдем |
|||||||
по формуле |
|
А ( Х ) |
= М ( х 1) —(M X )1 . |
|
|
|
|||||
|
-л ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к.=о |
|
|
|
|
К» 1 |
|
|
|
|
Для наховдения |
суммы воспользуемся разложением функции в |
в |
|||||||||
ряд Маклорена |
еД= оо |
ту k- i |
|
.Умножим обе |
части этого |
ра- |
|||||
|
|
|
к = 1 |
' |
А |
|
|
|
|
|
|
венства на |
А |
,а |
затем продифференцируем по |
А |
|
||||||
A e " = Z l S |
|
|
|
е ^ л м ) - ^ н - о ! |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К= 1 |
|
|
Последнее равенство |
умножим на |
Л. . |
|
|
|
|
|||||
у |
v О* |
|
К |
; |
|
|
м(хг) = |
Лг+Д . |
|
||
6. (Л ’-А)-^2 к J^T)\ |
Тогда |
|
|||||||||
Таким образом
М( х ) = Л ; Д ( х ) = Л , 6 - мЧГ
2 6 4
24.388. |
л Л* . д _ Л* . л х |
|
Р к (*У |
|
|
Т Г ’ Л* ~ 6 * ’ ° * 04 |
||
= е |
|
^ - 3 |
Третий и четвертый центральные моменты определяем через началь
ные моменты |
& а . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
<14 |
— |
4 (/'з о{1 + |
|
2 |
|
А |
|
|
||
|
6 ^ 2 <^.1 — |
|
|
|
||||||||
Известно,что |
оС4 |
= |
м(х) = Л |
|
, |
М(хг) = Л + Л . |
||||||
(см.задачу |
24 . .587 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
е |
л JE, |
Ks vrV= е"Л- Л-Zi |
.2 |
Л' |
|
|
||||||
< |
(2-1)! |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
К= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- л |
|
а Л' |
|
|
|
|
\L-0 |
|
|
|
|
|
л - Z |
. * |
(2-1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W= 1 |
|
|
|
||
Для нахождения суш |
запишем разложение функции |
Q |
в ряд |
|||||||||
Маклорена |
£ |
= J ? |
|
-А—ту |
.Умножим на |
Л |
и про- |
|||||
|
|
|
|
К = |
1- |
1 ' ' |
|
|
|
|
|
|
дифференцируем по |
Л |
|
: |
Л е Л =. |
|
( t - i ) T |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2-1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
"к й
e 4 * * ‘ ) = Z2=~1. « - o i
Полученную сумму умножим на А
|
|
е я ( л ‘ * л ) - г ‘ |
|
||
|
|
|
ЛЫ |
|
|
Дифференцируем по А |
: |
|
|
||
е |
л |
> |
< х > |
, |
д “ ~1 |
•э |
( л Ч з л +1 ) =2; |
* |
-( 2 - 1 )! |
||
|
|
2=1 |
|
|
|
£6 5
Таким образом
0 9 |
ТТЛ |
= е |
(л* +5Д + |
|
) |
|
1 |
||||
|
(к-П |
~ л |
|
|
|
Следовательно, |
Л 5 + |
5 Ла Д . |
|
||
Аналогично найдем вторую сумму |
|
|
|
||
2 » |
* л |
е л ( д ^ з л ' + л ) . |
|
||
(*-*)! |
|
|
|
|
|
е*1 |
|
|
|
|
|
Дифференцируя, получим |
|
|
|
|
|
3 |
. *-1 |
|
|
|
|
А*'* = е Л( д 5 + 5 Л 1+ Л + З Л 1+ б А + 1 ) = |
|||||
СК-*)»
=еЛ( А3+6 Л1 +7Л +1)
Тогда |
Х^ |
а |
Л .* |
+ б А 3 + 7 |
-f-А . |
Подставляя полученные значения |
X ^ в формулы для определе |
||||
ния |
М 3 |
, |
М ^ .найдем |
|
|
|
м 5 = л , |
М « ^ 3 Л а + Л |
|||
Но |
б = |
УХ* |
(см.задачу |
2 4 . 5 3 7 ) .Поэтому |
|
|
_А * = Я Г |
|
’ |
6 |
= А |
||
24.389. Коэффициент асимметрии определим по формуле А3 = |
|||||||
где |
M j а |
i j |
- |
5 |
т Х' ( 1 г + 2 |
т х . |
|
Здесь |
Х г , |
Х 5 |
- |
начальные моменты. |
|||
|
Хг = М ( Хг) |
, |
|
X 3 = м ( х 5) . |
|||
Для определения начальных моментов продифференцируем (пункцию
^ (Ч ) три раза по t .Тогда получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
в 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» 0 11 * |
|
^ ( p e |
t q . ) |
а _ 1 |
= |
|
n |
|
e |
m t |
|
|
m |
|
m |
Cj, |
n - f l l |
|||||
f |
i t j - |
|
|
7 * |
|
|
m C n p |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rn= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( t ) = |
n ( n - i ) p 1fe2 t ( p e t + t ^ ^ n |
+, пре Ь(р € * -м ^ )П в |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
D m 1 |
г p m |
|
m |
|
n - m |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a£ |
e |
|
m |
|
C n P |
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m |
г о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
( t ) = |
a(a~ l ) ( n - 2) |
p 3 e 5 t ( p e S fj у |
5 n(n~i) p V ^ p e ^ y |
||||||||||||||||||
t npe |
t / |
|
t |
чП’1 |
|
чг-i |
|
|
mt |
|
л |
|
m |
|
m |
4 |
n гУ) |
|
||||
(pe |
t(j) |
|
|
|
|
|
m 3 C n p |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m - o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагав в каждом |
|
из полученные равенств |
|
t |
- |
0.найдем |
||||||||||||||||
|
, ч |
|
" |
|
m m |
|
п-т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
м (х) = Z m C »p н |
|
|
“ п р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
, 2\ |
т = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. i |
|
|
|
|
|||
|
Д . |
|
2 m m n r n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
м ( х ) |
т~ о |
m с „ р ч |
|
~ п (" ■0 р *• пр |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
/ л \ |
|
J L |
|
5 |
т |
|
т |
|
п * пк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
т ~ q |
|
с п . р |
|
Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= и ( П ' 1 ) ( П - ' 2 ) р 3+ З и ( а - 1 ) р В ар |
|
||||||||||||||||||
|
Д ( X ) = М ( X 2; - т гх =» пр ( 1 р ) =, п р ^ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
б * |
|
я V ^ P 4 ' . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Далее находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ма = 1 |
Ь |
|
|
|
|
<-2гп3 |
* |
|
npq. ( ц - р ) . |
||||||||||||
Тогда коэ'| |
:;р:ент |
симметр;:;, |
б-дет |
ранен |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
^ 3 |
|
|
Ч |
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/Й РЧ
г 6 7
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Чд |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
7 |
6 |
9 |
n v \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,0498 |
0,0183 |
0,0067 |
0,0025 |
|
0,0009 |
0,0003 |
0,0001 |
I |
0,1494 |
0,0733 |
0,0337 |
0,0149 |
0,0064 |
0,0027 |
0,0011 |
|
2 0,2240 |
0,1465 |
0,0842 |
0,0446 |
0,022-3 0,0107 |
0,0050 |
|||
3 |
0,2240 |
0,1954 |
0,1404 |
0,0892 |
•0,0521 |
0,0286 |
0,0150 |
|
4 |
0,1680 |
0,1954 |
0,1755 |
0,1338 |
0,0912 |
■"'*€672 |
0,0337 |
|
5 |
0,1008 |
0,1563 |
0,1755 |
0,1606 |
0,1277^ 1 /516 |
0,0607 |
||
ь |
0,0504 |
0,1042 |
0,1462 |
0,1606 |
0,1490- '0,1221 |
0,0911 |
||
7 |
0,С*;1б‘ |
0,0595 |
0,1044 |
0,1377 |
|
0,1490 |
0,1556' |
0,1171 |
8 |
0,0081 |
0,0298 |
0,0653 |
0,1033 |
0,1304 |
0,1396 |
0,1318 ! |
|
|
|
5 |
||||||
9 |
0,0027 |
0,0132 |
0,0363 |
■0,068§ |
.0,1014 |
0,1241 |
0,1318 |
|
10 |
0,0008 |
0,0053 |
0,0181 |
0,0413 |
0,0710 |
0,0993 |
0,1186 |
|
26S
|
|
|
|
|
ПШЮШУЕ |
2 |
|
|
|
|
ТАБЛИЦА |
|
|
|
|
|
|
оН£1ченяи пункции |
|
|
|
||
|
|
^ |
у Т г |
£ |
|
|
|
X |
iP ( x ) |
X |
t f ( X) |
X |
Ф ( х ) |
X |
ф ( х ) |
|
|
• |
|
2,0 |
С,0540 |
3,0 |
0,0044 |
|
С,39:Ь 1,0. 0,2420 |
||||||
,1 |
0,3970 |
1,1 |
0,2179 |
2,1 |
0,0440 |
3,1 |
0,0033 |
'о,2 |
0,3910 |
1,2 |
0,1942 |
2,2 |
0,0355 |
3,2 |
0,0024 |
0,5 |
0,3814 |
1,3 |
0,1714 |
2,3 |
0,0283 |
3,3 |
0,0017 |
и,^ |
0,3683 |
1,4 |
0,1497 |
2,4 |
0,0224 |
3,4 |
0,0012 |
ил |
0,3521 |
1,5 |
0,1295 |
2,5 |
0,0175 |
3,5 |
0,0009 |
0,6 |
0,3332 |
1,6 |
0,1109 |
2,6 |
0,0136 |
3,6 |
0,0006 |
0,7 |
0,3123 |
1,7 |
0,0940 |
2,7 |
0,0104 |
3,7 |
0,0004 |
0,8 |
0,2697 |
1,8 |
0,0790 |
2,8 |
0,0079 |
3,8 |
0,0003 |
0,9 |
0,2061 |
1,9 |
0",0656 |
2,9 |
0,0060 |
3,9 |
0,0002 |