Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1184

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Линейныеуравнения

веннулю. Найтичастноерешениеэтогодифференциальногоуравнения, обращающееся вместе со своей производной в 1 при х = 0.

Решение

Общее решение: y = emx (c1 + c2 x); y

x = 0

=1, y′

x = 0

=1;

c1 =1,

y′ = me

(c1 + c2 x) + c2e

=1 c2

=1 − m .

;

mc + c

Частное решение:

y = [1 + (1 − m)x] emx .

366 (4266). Найти интегральную кривую уравнения y′′ + 9 y = 0 , прохо-

дящую через точку

M (π ; −1)

и касающуюся в этой точке прямой

y +1 = x − π .

Решение

Начальные условия: y

x = π

= −1,

y′

x = π =1 .

− c1

= −1,

+ 9 = 0 ; r1,2 = ± 3 i ;

y = c cos3x + c

sin 3x,

=1,

y′ = 3 (−c1 sin 3x + c2 cos3x)

− 3c2 =1

= −

Частное решение:

y = cos 3x −

sin 3x .

367 (4267). Найтиинтегральнуюкривуюуравнения y′′ + ky = 0 , проходящую через точку М (х0; у0) и касающуюся в этой точке прямой у – у0 =

=а (х – х0). Решение

Начальные условия: y x = x0 = y0 , y′ x = x0 = a . r2 + k = 0 ; r1,2 = ± − k ;

221

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

k > 0

r1,2 = ±

k i ;

y = c1 cos

k x + c2 sin

k x,

k x)

y′ =

(− c

sin

k x

+ c

cos

c1 cos

k x0 + c2 sin

k x0 = y0 ,

∆

cos

k x0

sin

k x0

k (− c

sin

k x

+ c

cos

k x

= y

)= a;

cos

k x0

= cos2

k x

+ sin 2

k x

=1 ;

∆

sin

k x0

= y

cos

k x

cos

k x0

sin

k x

= c ;

∆ c

cos

k x0

cos

k x

− sin

k x0

+ y0 sin

k x0 = c2 ; y = y0 cos

k x cos

k x +

sin

k x0 cos k x +

cos

k x

sin

k x + y

sin

k x

sin

k x = y

(cos

k x

(cos

× cos

k x + sin

k x0 sin

k x)+

k x0 sin

k x + sin

k x ×

cos

k x)

y =

sin[

k (x − x )]+ y

cos[ k (x − x )] .

k < 0

r1,2 = ±

k1 , где k1 = −k ;

= c e

+ c

− k1

;

y′ =

c e

k1 x

− c

− k1

;

− k1 x0

c =

−

c e

+ c

= y

1 0

c e k1 x0 − c e− k1 x0

−

;

222

Линейныеуравнения

y =

−

k x

−

k x

1 0

( x − x

)

−

( x

− x )

−

;

y =

+ a)e

k1 ( x−x0 ) + (y

− a)e−

( x−x0 ) .

В задачах 368 (4268)–382 (4282) составить общие решения неоднородных уравнений, находя их частные решения либо подбором, либо методомвариациипроизвольныхпостоянных.

368(4268). 2 y′′ + y′ − y = 2ex .

Решение

2r2 + r −1 =

0 ; r = −1 ± 1 + 8

= −1 ± 3

; r = −1 , r =

1,2

Общеерешениеоднородногоуравнения: y* = c e−x + c

ex / 2 .

y = Ae x,

Частное решение:

y′ = Aex, y′′ = Aex. Подставив y, y′, y′′

висходноедифференциальноеуравнение, получим А= 1.

Общеерешениенеоднородногоуравнения:

y = y * + y = c e− x

+ c2ex / 2 + ex .

369 (4269). y′′ + a2 y = e x .

Решение

2r2 + a2 = 0

, k = ± ai ,

y* = c cos a x + c

sin a x ;

y = Ae x,

y′ = Aex ,

y′′ = Ae x

A + a2 A =1 A = 1/(1 + a2 ) ;

y = c1 cos a x + c2 sin a x +

ex.

+ a

223

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

370(4270). y′′ − 7 y′ + 6 y = sin x .

Решение

r 2 − 7r + 6 = 0 ; r = 6 ,	r	=1 ; y* = c e6 x + c		2	ex ;	y = Acosx + Bsin x ,
1	2	1		2
y′ = − Asin x + B cos x,	y′′ = − Acos x − B sin x.
Подставляя найденные значения			y, y′, y′′			в исходное выражение,

получим − Acos x − Bsin x + 7 Asin x − 7Bcos x + 6 Acos x + 6Bsin x = sin x ;

5A − 7B = 0,					7					5			; y = c1e6 x + c2ex +						7 cos x + 5sin x
				A =	7		, B =			5									7 cos x + 5sin x	.
				A =			, B =		74										74	.
5B + 7 A = 0				74															74
5B + 7 A = 0				74
371 (4271). y′′ + 2 y′ + 5y = −									17			cos 2x.
371 (4271). y′′ + 2 y′ + 5y = −									2			cos 2x.
Решение									2
Решение
r2 + 2k + 5 = 0 ;				r = −1 ± 2 i					; y* = e− x (c cos 2x							+ c		2	sin 2x) ;
				1,2					1									2
y = Acos2x + Bsin 2x ,							y′ = −2 Asin 2x + 2B cos 2x ,											y′′ = −4 Acos 2x −
						17
− 4B sin 2 x ;	A + 4B = −							,			A = −			1	, B = −2 ;		y = e− x (c cos 2x +
	A + 4B = −					2								1

									2										1
	− 4 A + B =					0


+ c2 sin 2x) −		1	cos 2x − 2sin 2x .
+ c2 sin 2x) −	2		cos 2x − 2sin 2x .
	2

372(4272). y′′ − 6 y′ + 9 y = 2x2 − x + 3 .

Решение

r2 − 6 r + 9 = 0; r = 3;						y* = (c + c						2	x) e3x;			y = Ax2 + Bx + C,
				1,2					1			2
y′ = 2 Ax + B, y′′ = 2 A; 2 A −12 Ax − 6B + 9 Ax2 + 9Bx + 9C = 2x2 − x + 3;
x2		9 A = 2,						2					1				24			5		1			4
x2		9 A = 2,
1
x		−12A + 9B = −1,				A =			,	B =				−1 +					=		, C =		3	−		+
x	0	2 A − 6B + 9C = 3						9					9				9			27		9			9
x
	30		11	; y = (c1	+ c2 x) e		3x		+	2	x	2	+	5	x	+		11	.
+		=
+		=	27							9				27				27
	27		27							9				27				27

224

Линейныеуравнения

373 (4273). y′′ − 2 y′ + 2 y = 2x .

Решение

r2 − 2r + 2 = 0; r1,2 =1± i; y* = ex (c1 cos x + c2 sin x); y = Ax + B, y′ = A,

y′′ = 0 ;

− 2 A + 2 Ax + 2B = 2x

A =1,

B =1 ; y = ex (c cos x +

B − A = 0

+ c2 sin x) + x +1 .

374 (4274). y′′ + 4 y′ − 5 y = 1 .

Решение

r2 + 4r − 5 = 0 ;

r = −2 ± 4 + 5

r =1,

r = −5 ; y* = c ex

+ c

e−5x ;

1,2

y = A ,

y′ = 0 ,

y′′ = 0 ; − 5A = 1 ,

A = −0,2 ;

y = c1ex + c2e−5x − 0,2 .

375 (4275). y′′ − 3y′ + 2 y =

f (x) , если

f (x)

равна:

Решение

1) f (x)= 10e− x .

r2 − 3r + 2 = 0 ;

r = 2

, r =1 ;

y* = c e2 x

+ c

ex ; y = Ae− x , y′ = − Ae− x ,

y′′ = Ae

− x

; A =

; y

= c1e

2 x

+ c2e

−x

2) f (x) = 3e2 x .

y = Axe2 x , y′ = Ae2x + 2 Axe2 x, y′′ = 4 Ae2 x + 4 Axe2 x; 4 A + 4 Ax − 3A −

− 6 Ax + 2 Ax = 3 , A = 3 ; y = c1e2 x + c2ex + 3xe2 x.

3) f (x) = 2sin x .

y = Acos x + Bsin x , y′ = − Asin x + B cos x , y′′ = − Acos x − B sin x ;

225

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

− Acos x − B sin x + 3Asin x − 3B cos x + 2 Acos x + 2Bsin x = 2sin x

A − 3B = 0,	A = 3B,	A = 3, B = 1		; y = c e2 x + c		ex +	3	cos x +	1	sin x.

3A + B = 0	10B = 2	5	5	1	2	5			5

4) f (x) = 2x3 − 30 .

y = Ax3 + Bx2 + Cx + D , y′ = 3Ax2 + 2Bx + C , y′′ = 6 Ax + 2B ;

6Ax + 2B − 9 Ax2 − 6Bx − 3C + 2Ax3 + 2Bx2 + 2Cx + 2D = 3x3 − 30 ;

A = 1,
− 9 A + 2B,					A = 1	, B =		9		,	C =	21	, D = −	15	;
6A − 6B + 2C,								2				2
														4
														4
2B − 3C + 2D = −30

y = c e2 x + c		ex + x3	+	9	x2 +	21	x −		15		.
y = c e2 x + c		ex + x3	+		x2 +		x −				.
1	2		2			2				4
			2			2				4

5) f (x) = 2ex cos 2x .

y′

y = Acos

+ Bsin

− Asin

+ Bcos

Acos

y′′ =

+ Bsin

−

Asin

+ Bcos

+ Acos

+ Bsin

+ − Acos

− Bsin

−

Asin

+ Bcos

+ Acos

−

+ Bsin

− Acos

+ Bsin

−

− Asin

B cos

− 3 Acos

Bsin

Acos

+ Bsin

= 2e

cos

226

Линейныеуравнения

−

B = 2,

8ex

A = −

B =

;

y = −

cos

+ 2sin

A −

B = 0

+ c e2 x + c

ex .

6) f (x) = x − e−2x +1.

y = Ax + Be−2 x + C , y′ = A − 2Be−2x , y′′ = 4Be−2 x ; 4Be−2 x − 3A +

12B = −1,

−2x

6Be

+ 2Ax

+ 2C = x − e

+1 ; 2 A = 1,

A =

B = −

−

3A + 2C =1

C = 5 ;

y = c e2 x

+ c

ex +

−

e−2 x +

7) f (x) = ex (3 − 4x) .

y = xex ( A + Bx) = ex ( Ax + Bx2 ) , y′ = ex ( Ax + Bx2 ) + ex ( A + 2Bx) ,

y′′ = 2ex ( A + 2Bx) + ex ( Ax + Bx2 ) + ex 2B ; 2A + 4Bx + Ax + Bx2 +

+ 2B − 3Ax − 3Bx

− 3A − 6Bx

+ 2Ax +

2Bx

= 3

− 4x

− 2B = −4,

2B =

− A +

B = 2 , A =1; y = ex (2x2 + x) .

f (x) = 3x + 5sin 2x .

y = Ax + B cos 2x + C sin 2x + D ,

y′ = A − 2B sin 2x + 2C cos 2x ,

y′′ = −4B cos 2x − 4C sin 2x ;

− 4B cos 2x − 4C sin 2x − 3A + 6B sin 2x −

− 6C cos 2x + 2 Ax + 2B cos 2x + 2D + 2C sin 2x = 3x + 5sin 2x ;

227

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

− 2B − 6C = 0,

− 2C + 6B = 5,

, − 20C = 5 c = −

2 A = 3,

A =

D =

, B =

;

− 3A + 2D = 0

y =

x +

+ 3cos 2x − sin 2x) .

9) f (x) = 2ex − e−2 x .

y = Axex + Be−2 x ,

y′ = Axex + Aex − 2Be−2x ,

y′′ = 2Aex + Axex + 4Be−2x ;

2Aex + Axex + 4Be−2x − 3Axex − 3Aex + 6Be−2x + 2Axex + 2Be−2x =

= 2e

− e

−2 x

− A = 2,

A = −2 , B = −

y = −2xe

−

−2 x

;

12B

;

= −1

10) f (x) = sin xsin 2x

или f (x)

(cos x − cos3x) .

y= Acos x + Bsin x + C cos 3x + Dsin 3x, y′ = Asin x + Bcos x − 3C sin 3x +

+3D cos 3x, y′′ = − Acos x − B sin x − 9C cos 3x − 9D sin 3x; − Acos x −

−B sin x − 9C cos 3x − 9D sin 3x + 3Asin x − 3B cos x + 9C sin 3x − 9Dcos3x +

+ 2Acos x + 2Bsin x + 2C cos3x + 2Dsin 3x =																			1	cos x −					1	cos3x ;
+ 2Acos x + 2Bsin x + 2C cos3x + 2Dsin 3x =																			2	cos x −				2		cos3x ;

− 3B + A =			1	,
			1


B + 3A = 0, 2										A =	1	, B = −			3		, C =		7		D	, −	49				D − 9D = −			1	,
					1
											20				20				9					9						2
− 7C − 9D = −							,
− 7C − 9D = −							,
− 7D + 9C = 0					2
− 7D + 9C = 0
D =	9	,	C =			7		;		y =	1	cos x −			3	sin x +					7	cos 3x +						9	sin 3x .
260					260						20			20					260									260

													1			x		−x
11)		f (x) = sh x							или f (x) =						(e		− e		) .
11)		f (x) = sh x							или f (x) =				2		(e		− e		) .
													2

228

Линейныеуравнения

y = Axex + Be−x,

y′ = −Aex + Axex − Be−x ,

y′′ = 2 Ae x + Axe x − Be− x ;

2Ae

+ Axe

+ Be

−x

− 3Ae

+ 3Be

−x

2Axe

+ 2Be

−x

− e

−x

;

− A =

− x

A = −

, B = −

;

y =

−

6B = −

376 (4276).

2 y′′ + 5 y′ =

f (x) , если

f (x)

равна:

Решение

1) f (x) = 5x2 − 2x −1.

2r2 + 5r = 0

; r = 0 ,

r = −

; y* = c + c

e−5x / 2 ; y = x( Ax 2 + Bx +

+ C) = Ax3 + Bx2 + Cx , y′ = 3Ax2 + 2Bx + C, y′′ = 6 Ax + 2B;

15A = 5,

12 Ax +

4B +15Ax

+10Bx + 5C = 5x

− 2x −1; 12 A +10B = −2,

5C +

4B = −1

B = −

, C =

;

−

x .

f (x) = ex .

y = Aex , y′ = Aex , y′′ = Aex ; 2Aex + 5Aex = ex

A = 1 ; y =

ex .

f (x) = 29cos x .

y = Acos x + Bsin x ,

y′ = − Asin x + B cos x ,

y′′ = − Acos x − B sin x ;

2(−Acos x − Bsin x) − 5Asin x + 5Bcos x = 29cos x

;

2 A + 5B = 29,

− 2B − 5A =

B = −

A , − 2 A −

A = 29 ;

A = −2 ,

B = 5 ;

y = 5sin x − 2cos x .

229

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

	f (x) = cos2												1
4)							x или				f (x) =			(1 + cos 2x) .
4)							x или				f (x) =		2	(1 + cos 2x) .
													2
y = Ax + Bcos2x + Csin2x ,											y′ = A − 2Bsin 2x + 2C cos 2x ,
y′′ = −4B cos 2x − 4C sin 2x ;											2(−4Bcos 2x − 4C sin 2x) + 5A −10Bsin 2x +
											− 8B +10C =				1
																	,
				1			1								2		,			1			5
+10 C cos 2x =				1		+	1	cos 2x ;			− 8C −10B =				2				A =	1			5
				2			2								0,						, C = −				B ,
															0,					10	, C = −		4		B ,
											5A =	1								10			4
											5A =	2
												2
− 8B −	25	B =	1		,	B = −			1	,	C =	5		; y =		1		x +	5	sin 2x −		1		cos 2x .
− 8B −	2	B =	2		,	B = −				,	C =			; y =	10			x +	164	sin 2x −				cos 2x .
	2		2					41			164				10				164		41
5)	f (x) = 0,1 e−2,5x − 25 sin 2,5x .
2 y′′ − 5 y′ = 0,1 e−2,5 x − 25 sin 2,5x ;													y = Axe−2,5 + B cos 2,5x + C sin 2,5x ,

y′ = Ae−2,5 − 2,5Ae−2,5 x − 2,5B sin 2,5x + 2,5C cos 2,5x , y′′ = −5Ae−2,5+

+6,25Axe−2,5− 6,25Bcos 2,5x − 6,25C sin 2,5x −10Ae−2,5+12,5Axe−2,5 ;

−12,5Bcos 2,5x −12,5C sin 2,5x + 5Ae−2,5 −12,5Axe−2,5 −12,5Bsin 2,5x +

− 5A = 0,01,
+12,5C cos 2,5x = 0,1e−2,5 − 25sin 2,5x ; −12,5B +12,5C = 0,

−12,5C −12,5B = −25

A = −0,02 , B = C = 1 ; y = cos 2,5x + sin 2,5x − 0,02e−2,5x . 6) f (x) = 29xsin x .

y= ( Ax + B) cos x + (Cx + D)sin x , y′ = − Acos x − ( Ax + B) sin x +

+C sin x + (Cx + D) cos x , y′′ = −2 Asin x − ( Ax + B) cos x + 2C cos x −

−(Cx + D)sin x ; − 4sin x − (2 Ax + 2B) cos x + 4C cos x − (2Cx +

+2D)sin x + 5Acos x − (5Ax + 5B)sin x + 5C sin x + (5Cx + 5D) cos x =

230

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3223 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб3Kurs_lektsiy.doc
#
01.04.20251.8 Mб1Kurs_lektsiy_z_literaturi_II_semestr.doc
#
15.02.2015979.17 Кб22Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1184Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб51Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
01.05.2025127.01 Кб0Lab1.docx
#
01.05.20252.72 Mб0Lab12.doc
#
14.02.2015755.2 Кб44Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб48Lab2_KL_metod.doc