Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1095

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Линейныеуравнения

340 (4240). y′′ −

y′ +

2 y

= 0 .

x2 +1

Решение

Одно частое решение:

= х, где

p(x) =

− 2x

x2 + 1

∫

ln (1 + x2 ) dx

∫

1 + x2

Второе: y2 = x

1 + x2

= x

dx =

= x

−

+ x = x

−1 .

= х2 – 1, находим общее решение:

Зная частные решения у

= х и у

y = c x + c

(x2 −1) .

341 (4241). Найтиобщеерешениеуравнения x3 y′′′ − 3x2 y′′ + 6xy′ − 6 y = 0 , зная частные решения у1 = х и у2 = х2.

Решение

Подборомнаходим, чтоу3 = х3. Дляпроверкилинейнойнезависимости составляем вронскиан:

x2 x3

= x (12x2 − 6x2 )−1 (6x3 − 2x3 )=

W =

2x 3x2

y′

2 6x

y′′

=10x

≠ 0

;

y = c x + c

x2 + c x3 .

В задачах 342 (4242)–344 (4244) найти общее решение неоднородных уравнений.

342 (4242). x2 y′′ − xy′ + y = 4x3 .

211

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Решение

Одно частное решение соответствующего однородного уравнения

у1 = х. Введемзамену: y = y1 ∫ z dx , спомощьюкоторойпонижаемпоря-

докуравнения:

y = x∫ z dx , y′ = ∫ z dx + xz , y′′ = 2z + xz′ .

Подставим эти значения у, y', у" в исходное уравнение:

2x2 z + x3 z′ − x ∫ z dx − x2 z + x∫ z dx = 4x3 ; x2 z + x3z′ = 4x3 xz′ + z =

= 4x

z′ +

z = 4;

z = UV ; z′ = U ′V + UV ′; U

′V +UV ′ +

1 UV

= 4 ;

V ,

U ′V +U V

′ +

= 4 ;

= −

; lnV = − ln x

V =

;

= 4, dU = 4x dx; U = 2x2

+ c1, z = 2x + c1 / x;

= x(x

2 + c ln

)= x3 + x (c

y = x 2x +

+ c

+ c ln

∫

343 (4243). y′′ − x x−1 y′ + x1−1 y = x −1.

Решение

Одно частное решение соответствующего однородного дифференциальногоуравненияу1 = х. Другоечастноерешениеоднородногоуравненияу2 = ех, причем yl иу2 – линейнонезависимые решения. Поэтомуобщее решение соответствующего однородного уравнения у* = с1х + с2ех.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что у = – (х2 + 1) есть частноерешениенеоднородногоуравнения.

Общее решение y = c1x + c2ex − x2 −1. Его можно найти также по методу Лагранжа из системы уравнений:

212

Линейныеуравнения

	c′x + c′ e		x		= 0,
	c′x + c′ e				= 0,		∆ = ex (x −1) , ∆ c′											= −(x −1)ex , ∆ c′	= x(x −1) ;
	1	2		= x −1			∆ = ex (x −1) , ∆ c′											= −(x −1)ex , ∆ c′	= x(x −1) ;
	c′	+ c′ ex		= x −1												1		2
	1	2
c′ = −1 , c (x) = −x + c ,								′	= xe					− x	, c		2	= −e−x (x +1) + c	4	;	y = (−x +
	1	1					3	c2	= xe								2		4
+ c		) x + (c		4	− e− x(1+x)) e x = c					3		x + c			4	e x	− x2 − x − 1 = (c −		1) x + c			4	e− x− x2	−1 .
	3			4						3					4			3				4
		Обозначая с				3	– 1 = с ,		с		4		= с , получим y = c x + c							2	ex − x2 −1 .
						3		1			4			2				1		2

344(4244). (3x + 2x2 )y′′ − 6 (1 + x) y′ + 6 y = 6 .

Решение

Два частных решения неоднородного дифференциального уравнения: у1 = –х; у2 = 1. Соответствующее однородное уравнение имеет решение у3 = у2 – у1 или у3 = x + 1 [13]. Общее решение ищем в виде y =

= y1 + y3 z илиу= –х+ (х+1) z, откудаy' = 1 + (x +1) z' + z, у" = (x + 1) z" + 2z'.

Подставляяполученныевыражениявисходноеуравнение, получим:

(3x + 2x

)(1 + x) z

′′

− [6(1

+ x)

−

2(3x + 2x

)]z

′

= 0

z′′

6 (1 + x)

z′ =

3x + 2x2 −

−

(ln z′)′ =

6 + 6x + 6x + 6x2 − 6x − 4x2

(ln z′)′ =

2x2 + 6x + 6

;

+ x

x(3 + 2x)(1 + x)

2x2 + 6x + 6

; 2x2 + 6x + 6 = 3A + 2 Ax + 3Ax +

x(3 + 2x)(1 + x)

3 + 2x

+ x

2 A + B +

2C = 2,

A = 2,

+ 2 Ax

+ Bx + Bx

+ 3Cx

+ 2Cx

+ B +

3C = 6,

B + 2C = −2,

; x

3A = 6

B + 3C = −4

′

C = −2, B = 2 ; ln z = 2 ln

3 + 2x

− ln

1 + x

ln c1 ;

z′ = c′

x 3 + 2x

= c′

x2 (3 + 2x)

= c′

2x −

1 +

;

(x +1)

(1 + x)

(x +1)

213

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

x2 − x −

(x(x2

−1)−1)− c′

z = c′

+ c′

y = −x + c′

(x +1) или

(x +1)

y = c x3

+ c

(x +1) − x .

345 (4245). Уравнение (l + х2) у" + 2ху' – 2у = 4х2 + 2 допускает частное решение у = х2. Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее ус-

ловиям y

x = −1 = 0 ,

y′

x = −1 = 0 .

Решение

Одно частное решение соответствует однородному уравнению у1 = х,

другое ищем по формуле y2 = y1 ∫e

−

∫

p( x) dx dx

или

−

∫

2 x

dx dx

= x e

1+x

= x

−

dx = x −

−

∫

∫ (1 + x2)x2

∫

1 + x2

= −1

− x arctg x .

− arctg x

Общеерешениеуравнения:

y′ = c

y = c x + c

+ x arctg x) + x

+ c

arctg x +

+ 2x ;

+ x2

− c1 + c2

1 +

= 0,

= c

1 +

+1;

= 2,

= 3 +

c + c

−

− 2 = 0

;

+ x

y = 3x + 2 + x

+ 2arctg x

214

Линейныеуравнения

346 (4246). Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения у" – (1 + х2) у = 0, удовлетворяющего начальным условиям y x = 0 = −2 , y′ x = 0 = 2 .

Решение

y = y(0) + y′(0)x +

y′′(0)

y′′′(0)

y(IV) (0)

y(V) (0)

+ ... ;

y′′(0) = −2 ; y′′′ = 2xy + (1 + x2 ) y′ , y′′′(0) = 2 ; y(IV ) = 2xy′ + 2 y + 2xy′ +

+ (1 + x2 ) y′′ = 4xy′ + 2 y + (1 + x2 ) y′′ , y(IV ) = −(4 + 2) = −6; y(V ) = 6 y′ +

+ 6xy′′ + (1 + x2 ) y′′′ , y(V )(0) = 14 ;	y = −2 + 2x − x2 +	x3	−	x4	+	7	x5 + ... .
						60
	3		4

347 (4247). Найти девять первых членов разложения в степенной ряд решениядифференциальногоуравненияу" = х2у– у', удовлетворяющего

начальным условиям y

x = 0 =1 ,

y′

x = 0 = 0 .

Решение

′′

0 ; y

′′′

= 2xy + x

′

− y

′′

′′′

(IV)

= 4xy

′

+ 2 y + x

′′

− y

′′′

y (0) =

(0) = 0 ; y

y(IV )(0) = 2;

y(V ) = 6 y′ + 6xy′′ + x2 y′′′ − y(IV),

y(V )(0) = −2 ;

y(VI) = 12 y′′ +

+ 8xy′′′ + x2 y(IV ) − y(V ) ,

y(VI )(0) = 2 ; y(VII ) = 20 y′′′ −10xy(IV ) + x2 y(V ) −

− y(VI) ,

y(VII )(0) = −2 ; y(VIII ) = 30 y(IV ) −12xy(V ) + x2 y(VI ) − y(VII ),

y(VII )(0) = 62

; y =1 +

2x4

2x5

2x6

2x7

62x8

+ ... .

348 (4248). Записать в виде степенного ряда частное решение уравне-

ния у" – ху' + у – 1; y x = 0 = 0 , y′ x = 0 = 0 .

215

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Решение

y′′(0) =1; y′′′ = xy′′ ,

y′′′(0) = 0 ;

y(IV ) = y′′ + xy′′′ , y(IV )(0) = 1 ;

y(V ) = 2 y′′′ + xy(IV ),

y(V )(0) = 0 ; y(VI ) = 3y(IV ) + xy(V ) ,

y(VI )(0) = 3 ;

y(VII ) = 4 y(V ) + xy(VI ) , y(VII )(0) = 0 ;

y =

3x6

5x8

+ ... +

(2n −1) x2n + 2

+ ...

, n =1, 2, ...

(2n + 2)!

349 (4249). Записать в виде степенного ряда общее решение уравнения у" = у ех. (Ограничиться шестью первыми членами.)

Решение

y = c + c x + c

+ c x3 + c

x4 + c x5 + ... ; y′ = c

+ 2 c

x +

3 c

+ 4 c

3 + 5 c

x4 + ... ;

y′′ = 2 c

+ 3 2 c

x + 4 3 c

x2 + 5

4 c x3

+ 6 5 c x4

+ ... ;

=1 + x +

+ ... ;

2 c

+ 3 2 c x +

+ 4 3 c

x2 + 5

4 c

+ 6

5 c

x4 + 7

6 c

= c

+ c x + c

+ c

x5 + c

+ c x2

+ c

3 + c x

4 + c

x2 +

x3 +

x4 +

+ c

Приравняемкоэффициентыприодинаковыхстепеняхслеваисправа:

2 c	2	= c	0	c	2	=	c0	; 3 2 c	3	= c + c	0	c =	c1	+	c0	; 4 3 c	4	= c	2	+ c +

						2				1		3	6	6						1

; 5 4 c = c + c +

c =

Тогда

y = c

...

+ c

+ ... .

6 12 24

12 30

216

Линейныеуравнения

350 (4250). Записать в виде степенного ряда общее решение уравнения у" + ху' – х2у = 0. (Ограничиться шестью первыми членами.)

Решение

y = c				0		+ c x + c				2	x2 + c x3			+ c	4	x4				+ c		5	x		5 + ... ; y′ = c							+ 2 c				2	x + 3 c			x2 +
				0			1			2		3			4							5									1					2			3
+ 4 c			4			x	3 + 5 c			x4 + ... ; y′′ = 2 c									2		+ 3 2 c					3	x + 4 3 c					4	x2		+ 5 4 c				5	x3 + ...;
			4					5											2							3						4							5
2 c	2	+ 3					2 c x		+		4 3 c	4	x2	+ 5 4 c x3 +											6 5 c			6	x4	+ 7		6 c		7	x5 + c x +
	2						3					4								5								6						7				1
+ 2 c		2			x2		+ 3 c	3	x3 + 4 c			4	x4	+ 5 c			5	x		5 − c				0	x2 − c x3					− c	2	x4 − c x5						= 0		2 c	2	=
		2						3				4					5							0				1			2					3					2

= 0

= 0 ; 3

2 c + c = 0

c = −

; 4 3 c

− c = 0

;

5 4 c

3 c

− c

= 0

−

3 c ) =

;

6 4 c

40 1

+ 4 c

− c

= 0

= −

4 c0

= −

;

7 6 c

+ 5 c − c

= 0;

15 12

270

y = c

+ ...

+ c

x −

+ ... .

Уравнения с постоянными коэффициентами

Взадачах351 (4251)–361 (4261) найтиобщиерешенияуравнений.

351 (4251). y′′ + y′ − 2 y = 0 .

Решение

Характеристическое уравнение: r2 + r − 2 = 0 ; r1 =1, r2 = −2 ; y = c1ex + c2e−2 x .

217

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

352(4252). y′′ − 9 y = 0 .

Решение

r2 − 9 = 0	; r = 3 ,	r = −3 ;	y = c e3x + c		e−3x .
	1	2	1	2

353(4253). y′′ − 4 y′ = 0 .

Решение

r2 − 4r = 0	; r = 4 ,	r = 0 ;	y = c e4x + c	2	.
	1	2	1	2

354(4254). y′′ − 2 y′ − y = 0 .

Решение

r2 − 2r −1 = 0 ;	r =1	± 1+1	=1 ±	2 ;	y = c e(1 + 2 )x + c	2	e(1 − 2 )x .
	1,2				1	2

355(4255). 3y′′ − 2 y′ − 8 y = 0 .

Решение

3r2 − 2r − 8 = 0 ; r = 1 ± 1 + 24			;	r = 2		,	r = −	4	;	y = c e2 x + c		e−4 x / 3 .
3r2 − 2r − 8 = 0 ; r = 1 ± 1 + 24			;	r = 2		,	r = −		;	y = c e2 x + c		e−4 x / 3 .
	1,2	3		1			2	3		1	2


356 (4256). y′′ + y = 0 .
Решение
r2 +1 = 0 ; r	= ± i ;	y = c cos x + c		2	sin x .
1,2		1		2

357(4257). y′′ + 6 y′ +13y = 0 .

Решение

r2 + 6r +13 = 0 ;	r = −3 ±	9 −13 = −3 ± 2 i ;	y = e−3x (c cos 2x +
	1,2		1
+ c2 sin 2x) .

218

Линейныеуравнения

358(4258). 4 y′′ − 8 y′ + 5 y = 0 .

Решение

4r	2	− 8r + 5 = 0 ;			r =	4 ± 16 − 20	=	4 ± 2 i	=1 ±	1	i ; y = e	x	1	x +
4r		− 8r + 5 = 0 ;			r =		=		=1 ±		i ; y = e	c1 cos		x +
					1,2	4		4		2			2
						4		4		2			2
			1
			1
+ c2 sin				x .
+ c2 sin			2	x .
			2

359(4259). y′′ − 2 y′ + y = 0.

Решение

r2 − 2r +1 = 0 ;		r = 1;					y = c ex + c						2		xex = ex (c				+ c	2	x).
		1,2									1		2			1				2
360 (4260). 4	d	2 x	− 20		dx				+ 25x =			0 .
360 (4260). 4	dt2		− 20		dt				+ 25x =			0 .
	dt2				dt
Решение
4r2 − 20r + 25 = 0 ;				r	= 10 + 100 −100 = 5 ;													x =		(c		+ c	t)e2,5t .
				1,2							4					2					1	2

										2				2										1
										2	15° cos			2										1
361 (4261). 2 y′′ + y′ + 2sin																15°y = 0	или 2 y′′ + y′ +								y = 0	.
361 (4261). 2 y′′ + y′ + 2sin																15°y = 0	или 2 y′′ + y′ +							2	y = 0	.
																								2
Решение
2r2 + r + 1 = 0 ;		r		= −		1		;			y = (c	+ c x)e−0,25x .
2r2 + r + 1 = 0 ;		r		= −				;			y = (c	+ c x)e−0,25x .
2		1,2			4						1					1

В задачах 362 (4262)–364 (4264) найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

362 (4262). y′′ − 4 y′ + 3y = 0 ; y x = 0 = 6 , y′ x = 0 =10 .

219

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Решение

− 4r + 3 = 0 ; r1 = 3 , r2 =1 ;

y = c e3x + c ex ,

+ c

= 6,

y′ = 3 c e3x

+ c ex

3 c1 + c2 = 10

c1 = 2 , c2 = 4 .

Частное решение:

y = 2e3x + 4ex.

363 (4263). y′′ + 4 y′ + 29 y = 0 ; y

x =

= 0 , y′

x = 0

=15 .

Решение

r2 + 4r + 29 =

0 ; r

= −2 ±

4 − 29 = −2 ± 5 i ;

y = e

−2 x (c cos 5x +

1,2

+ c

sin 5x);

y′ = −2 e−2 x

(c cos 5x + c

sin 5x)+ e−2 x 5

(− c cos 5x +

+ c2 sin 5x);

c1 = 0,

=15

с2 = 3 .

c + 5 c

Частное решение:

y = 3 e−2 x sin 5x .

y′

364 (4264).

4 y′′ + 4 y′ + y = 0;

x = 0 = 2,

x = 0 = 0 .

Решение

4r2 + 4r +1 =

0 ; r = −

; y = (c + c

x) e− x / 2 ; y′ = −

1 c e−x / 2

−

1,2

−x / 2

= 2,

−

c2e

+ c2e

;

с1 = 2

, c2 =1.

−

c1 + c2 = 0

Частное решение:

y = ex / 2 (2 + x) .

365 (4265). Дано частное решение некоторого линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами у1 = еmx. Дискриминант соответствующего характеристического уравнения ра-

220

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 3222 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1095Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб26Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc