Kuznecov_reshebnik

Из (2) следует y =

Ce−1/ 2 p2

.

p

Решение

Из задачи 238 (4138) имеем

LM

=

y

= y 1 + y′2 . Поднормаль LN = NM tg β

=

= y tg (π − α) = − y tg α = – yy';

LN

= −yy′;

M

LM + NL = kx yy′ + y 1 + y′2

= kx ;

α

y2 (1 + y′2 )= y2 y′2 − 2 yy′kx + k 2 x2

y2

=

β

O

L

N

x

Обозначим y2 = w . Тогда 2 yy′ = w′ ,

w = −w′kx + k 2 x2 ,

w = uv ,

′

′

2

2

dv

−1/ k

w′ = u′v + v′u , u(v + v kx)= −u vkx + k

x

;

dx kx = −v

v = x

;

k

du

x−1/ k + 1 = k 2 x2

du = x1/ k + 1kdx

u =

k 2 x1/ k + 2

+ C ;

2k + 1

dx

y2 = Cx−1/ k +

k 2 x2

.

2k +1

Решение

Уравнение нормали ML имеет вид Y − y = −

1

( X − x); Y = 0 y =

y′

=

1

(X − x) X = yy′ + x; X = 0

Y = y +

x

; X 2 + Y 2 = a2; (yy′ + x)2 +

y′

y′

y dα

dy

tg α+

dy tg α +

2

α

+ dx = a cos α dα – и заменим dx на

tg α

:

cos

= a cos

2

α sin α,

dv

= −v tg α

v = cosα;

du

= asin α cosα

dα

dα

u =

a

sin2 α+ C ;

2

a

2

y = cos α

C +

sin

α .

(3)

2

a

2

x = sin α a − C −

sin

α .

2

S = Ct − C 2b,

C =

t

;

S =

t2

−

t2

S =

t 2

. Обозначим

1

= a ;

O = t − 2Cb

2b

2b

4b

4b

4b

x2

y2

Семейство эллипсов

+

= 1 , где b2 – параметр. Продифферен-

a2

b2

2x

+

2 yy′

= 0;

(1)

b2 =

y2a2

.

(2)

a2

b2

a2 − x2

Подставим (2) в (1):

x2

+

y (a2

− x2 )y′

= 0

y′ =

xy

.

a2

y

2a2

x2

− a2

1

Заменив y′ на −

, получимдифференциальноеуравнениесемей-

y′

ства ортогональных траекторий: −

1

=

xy

y dy =

a2

− x2

dx

y′

x2 − a2

x

y2

= a2 ln (Cx)−

x2

, или x2

+ y2 = 2a2 ln

Cx

.

2

2

243 (4143). Параболам y2 = 4(x – a).

Решение

Дифференциальное уравнение семейства парабол 2 yy′ = 4 или

yy

′

= 2. Заменив y′

1

на − y′

, получимдифференциальноеуравнениесе-

мейства ортогональных траекторий: −

y

= 2

dy

= −

1

dx

ln

C y

=

y′

y

2

1

= −

1

x и y = Ce−1/ 2x .

2

y

x2 + y2

y

x2 + y2

′

2xy

y

x − y′ = a, но a =

2x

. Тогда x − y′ =

2x

y

= x

2 − y2

, x = u,

y′ = u′x + u ; u'x + u =

2u

u'x(1− u

2 )= u(1 + u

2 ),

(1− u2 )du

=

dx

;

1 − u2

u(1 + u2 )

x

1 − u

2

A

Bu + C

A + B = −1,

=

+

; 1− u2

= A + Au2

+ Bu2

+ Cu ;

C = 0,

u(1 + u

)

u

1 + u2

2

A = 1

C(1+ u2 )

B = −2 ; ln

x

= ln

u

− ln

, x =

u

x =

y

C(1 + u2 )

y2

xC

1 +

2

x

245 (4145). Циссоидам (2a − x)y2 = x3 .

Решение

− y2 + 2(2a −

Продифференцируем исходное выражение по х:

− x)yy′ = 3x2 . Заменив y′

на −

1

, получим семейство ортогональных

y′

траекторий:

− y2 − 2(2a − x)

y

= 3x2

y′(y2 + 3x2 )= 2(x − 2a)y .

(1)

y′

2a =

x(x2 + y2 )

Из исходного уравнения найдем параметр

и под-

y2

ставим его в (1):

2

2

x(x2 + y2 )

2

2

2x

3

y

′

+ 3x )= 2 x −

y

′

(y

+ 3x )= −

= u

2

;

,

y (y

y

y

y

x

y′ = u′x + u , (u′x + u)(u2 + 3)=

− 2

xu′u(u2 + 3)= −(u4 + 3u2 + 2);

u

C1 = u2 +1

C12

=

(y2 + x2 )2 x2

; y2 + x2 = C(y2 + 2x2 )

(C = C 2 ).

x

u2 + 2

x2

x4 (y2 + 2x2 )

1

у

(y − a)2 = 2 px .

(1)

Дифференцируя(1) пох, получим 2(y − a)y′ = 2 p .

O

х

Заменив y

′

1

на − y′

, получимдифференциальное

уравнениеортогональныхтраекторий: − y − a

= p .

y′

Из (1)

y − a = ± 2 px ;

тогда m

2 px = p dy = m

2x dx ;

y′

p

dy

=

y

. Но x − a = ±

r 2 − y2 . Тогда

dx = ±

r2 − y2

dy

x =

dx

x

− a

y

∫

r2 − y2

y = r sin t,

cos2 t dt

dt

= C

±

dy =

= C

± r

= C ± r

−

y

∫

sin t

∫ sin t

dy = r cost dt

∫

t

2

x2 − y2

−

sin t dt

= C ± r ln

tg

2

+ cos t ; cos t

=

1 − sin t =

r

;

tg

t

=

1 − cost

=

r − r2 − y2

x = r ln

r −

r

2 − y2

+ r2

− y2

– урав-

2

sin t

y

;

y

248 (4148). Найти семейство траекторий, пересекающих под углом

α = 60° линии x2 = 2a (y − x

3 ).

Решение

yy

Положим tg α = k ,

tg ϕ

= dy

, tg ψ =

dyT

;

α

dx

тогда

dx

dy

dyT

− k

ϕ

ψ

=

dx

(1)

x

dx

+ k

dyT

1

dx

или

dy

=

dyT

+ k

dx

.

(2)

dx

dyT

1 − k

dx

2x = 2a (y′ − 3);

x2

(3)

2a =

y − x 3 .

(4)

Подставим (4) в (3): 2 =

2(y′ −

3 )

y′ =

2 y − x

3 . Заменим

y′ на

y − x

3

x

y′ + 3

=

2 y − 3x

y′ =

3x − y ,

y

= u ,

y′ = u′x + u ; u′x + u =

1− 3 y′

x

x

x − 3 y

= 3 − u

(

3 u

)

du

= dx

;

1

lnC

−

1

ln ( 3 u2 − 2u + 3)= ln

x

;

1 −

1− 3 u

3 u2 − 2u +

3

x 2

1

2

lnC

= ln x2

3 y

2

− 2 y +

3

C

= 3(x2

+ y2 )− 2xy ;

2

1

x

x

1

xy =

3 (x2

+ y2 )= C .

2

Решение