Kuznecov_reshebnik
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Национальныйуниверситеткораблестроения
имени адмирала Макарова
А. Н. Кузнецов
РЕШЕБНИК ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ "Дифференциальныеуравнения"
Рекомендовано Министерством образования и науки Украины в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
Николаев 2006
УДК 517.91 (075.8) ББК 22.1
К 89
Рекомендовано Министерством образования и науки Украины в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
лист№14/18.2–1895 от08.08.2005.
Рецензенты:
доктор технических наук, профессор А.А. Мочалов; доктор физико-математических наук, профессор И.А. Муленко
Кузнецов А.Н.
К 89 Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения". – Николаев: НУК, 2006. – 312 с.
ISBN 966–321–068–0
Содержатся решения около 450 задач по теме "Дифференциальные уравнения" известного "Сборника задач по курсу математического анализа" автора Г.Н. Бермана.
Предназначен для студентов-иностранцев, молодых преподавателей и всех тех, кто интересуется методами решения задач по дифференциальнымуравнениям.
УДК517.91 (075.8) ББК 22.1
©Кузнецов А.Н., 2006
©Издательство НУК, 2006
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дифференциальные уравнения в курсе математики и в ее приложениях занимают особо важное место. С их помощью решаются многие задачи геометрии, механики, физики и техники. Поэтому на практических занятиях должно быть уделено достаточно времени составлению дифференциальных уравнений, особенно инженерно-технических задач, выработке умений и навыков решения таких задач.
Данное пособие ставит своей целью помочь студенту в решении задачподифференциальнымуравнениямизнаиболеепопулярного"Сборника задач по математическому анализу" Г.Н. Бермана, а молодому преподавателю выбрать задачи, наиболее подходящие для данной группы студентов и их специальности. Разумеется, нельзя обходиться толькооднимзадачником. Вконцепособияприводитсясписокнаиболеераспространеннойлитературыподанномувопросу.
Важную и трудоемкую работу по рецензированию пособия проделала доцент кафедры Т.А. Юрченко. Ей принадлежит решение задачи 336 (4236) и указанные вторые способы решения в ряде других задач. Решение задачи 250 (4150) представил доцент Л.Л. Вербицкий, задачу 428 (4328) – старший преподаватель А.В. Варшамов, 443 (4343) – старший преподаватель М.Б. Бондаренко.
Большую помощь при подготовке рукописи к печати оказали старшие преподаватели А.Г. Иванова и Н.А. Руденко.
Всемназваннымлицамавторприноситсвоюискреннююблагодарность.
3
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
§ 1. УРАВНЕНИЯПЕРВОГОПОРЯДКА
Уравнения с разделяющимися переменными
В задачах 1 (3901)–12 (3910) найти общие решения дифференциальныхуравнений.
1 (3901). (xy2 + x)dx + (y – x2y)dy = 0.
Решение
x(y2 +1)dx + y(1− x2 )dy = |
0 |
|
|
|
x |
y |
= 0; ∫ |
|
x dx |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx + |
|
dy |
|
+ |
|||||||||||||||||
1− x2 |
y2 +1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
1− x2 |
|||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
y dy |
= ln c |
− |
1 |
|
− x2 |
|
+ |
1 |
ln (y2 +1)= ln c |
(c > 0); |
|||||||||||||
|
|
ln |
1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∫ y2 +1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ln |
y2 +1 |
= ln c2 |
|
y2 +1 = ± c2 |
(1 − x2 ) |
y 2 +1 = c |
(1 − x2 ) (c = ± c2 ). |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 − x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (3902). xyy ′ = 1 – x2.
Решение
xy |
dy |
= 1 − x2 |
|
|
y dy = |
1 − x2 |
|
dx; |
∫ |
y dy = |
∫ |
1 − x2 |
dx + c1 |
|
y2 |
||||||||||||
dx |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= ln |
x |
− |
|
|
+ |
|
|
ln c c |
> 0, c1 |
= |
|
|
ln c ; x |
|
+ y |
|
= ln c x |
|
. |
|
|||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 (3903) yy′ = |
1− 2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y2 |
dy |
=1− 2x |
|
y2dy = (1− 2x)dx ; ∫ y dy = ∫ (1 − 2x)dx + c1 |
|||||||||||||||||||||||
dx |
|
||||||||||||||||||||||||||
= x − x2 + c ; y3 |
= 3x − 3x2 + c (c = 3 c1 ) |
|
y = 3 c + 3x − 3x2 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
y3 =
3
4
Уравнения первого порядка
4 (3904). y′ tg x – y = a.
Решение
dy |
dy |
|
dx |
|
∫ |
|
dy |
= ∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
tg x − y = a |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ c1; ln |
|
y + a |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
dx |
y + a |
tg x |
y + a |
tg x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ln |
|
sin x |
|
+ ln c0 (ln c0 = c1, c0 > 0); |
|
y + a |
|
= c0 |
|
sin x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
y = c sin x − a (c = ± c0 ).
5 (3905). xy′ + y = y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
dx |
∫ |
|
|
|
dy |
|
|
∫ |
dx |
|
|
∫ |
dy |
||||||||||||||||||||
x |
|
+ y = y2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ c1 |
|
|
− |
||||||||||||||||||||||||
dx |
|
|
y2 − y |
|
|
x |
y (y −1) |
x |
|
|
y −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
∫ |
dy |
= |
∫ |
dx |
|
+ c ; ln |
|
y −1 |
|
− ln |
|
y |
|
= ln |
|
x |
|
+ ln c (c = ln c , c > 0); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
||||||||||||
|
y −1 |
|
|
= c0 |
|
x |
|
|
|
|
y = |
|
|
1 |
|
|
|
|
(c = ± c0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
+ cx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6 (3906). y′ + |
|
1 − y2 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
dy + |
1− y2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
= − |
|
dx |
|
|
+ c |
; arcsin x + arcsin y = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
∫ 1− y2 |
|
|
|
|
|
∫ |
1− x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− y |
2 |
+ y |
|
1− x |
2 |
= arcsin c; |
|||||||||||||
= arcsin c (arcsin c = c1); arcsin x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 − y 2 + y 1 − x2 = c.
5
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
|
|
|
Примечание. Пусть arcsin y + arcsin x = ϕ . Тогда sin ϕ |
|
= sin (arcsin y + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ arcsin x) = sin (acsin y) cos (arcsin x) + sin (arcsin x) cos (arcsin y) = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= y |
1− x |
2 |
+ x |
1− y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1− x |
2 |
|
+ x |
|
1− y |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ϕ = arcsin |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 (3907). |
|
1 − y2 |
|
dx + y |
|
|
1 − x2 dy = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y dy + |
|
dx |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
y dy + |
|
|
|
dx |
|
= c |
|
; − 1 − y 2 + |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 − y2 |
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
∫ 1 − y2 |
|
∫ |
|
|
1 − x2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
+ arcsin x = c ; |
|
1− y2 |
= arcsin x + c |
|
(c = −c |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−s |
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8 (3908). e |
|
1 |
+ |
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−s |
|
|
−s ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−sds |
|
|
|
|
e−s −1 = z |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
e |
|
|
+ e |
|
|
|
|
=1 |
|
|
dt + |
|
|
|
|
|
ds = 0; ∫dt + ∫ |
|
= c1; |
|
− e−s ds = dz |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
e−s −1 |
e−s −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dt = |
∫ |
dz |
+ c ; |
t = ln |
|
z |
|
+ ln |
|
c |
|
|
(c = ln |
|
c |
|
); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t = ln |
|
c(1− e−s ) |
|
et = c(1− e−s ) (при s > 0, c > 0 и s < 0, c < 0). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 (3909). y′ = 10 x + y.
Решение
dy |
=10x 10 y |
|
dy |
=10x dx; ∫10− y dy =∫10x dx + c1 |
− |
10− y |
= |
10x |
+ c1; |
dx |
|
y |
ln10 |
ln10 |
|||||
|
10 |
|
|
|
|
10x +10− y = c , где с = −с1 ln10.
6
Уравнения первого порядка
10 (3910). y′ +
Решение
|
x − y |
|
dy = sin |
|
|
2 |
||
|
sin |
x + y |
= sin |
x − y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− sin |
x + y |
|
|
y |
|
x |
|
dy |
|
|
||||
|
|
dx |
dy = −2sin |
|
cos |
|
dx ; |
|
|
= |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2sin |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
d |
tg |
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
x |
||||||
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= − cos |
|
dx |
∫ |
|
|
|
|
|
= −∫ cos |
|
dx + c; ln |
|
tg |
|
= c − 2sin |
|
. |
|||
2 |
tg |
|
y |
|
2 |
4 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 (3911). Зависимость между скоростью v снаряда и пройденным путем l в канале орудия устанавливается в баллистике следующим урав-
нением: v = |
al n |
, где v = |
dl |
и n < 1. Найти зависимость между време- |
|
b + l n |
dt |
||||
|
|
|
нем t движения снаряда и пройденным расстоянием l по каналу.
Решение
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
dl |
|
|
|
al |
n |
|
|
n |
|
|||
v = |
al |
|
|
, где |
v = dl и n < 1; |
= |
|
|
|
|
dt = |
(b + l )dl |
|
∫dt = |
||||||||
b + l |
n |
dt |
|
b + l |
n |
n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
al |
|
||||||||
= ∫ |
b + ln |
|
|
|
b |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dl + c; t = |
|
+ |
|
+ c . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
aln |
|
al n−1(1 − n) |
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При t = 0 |
l = 0 |
c = 0 и t |
= |
|
|
|
+ bl |
1−n |
|
||||||||||||
|
1 l |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
1− n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 (3912). Если х – количество иодисто-водородной кислоты HI, раз-
dx
ложившейсякмоменту времениt, тоскоростьразложения dt определя-
|
dx |
= k |
|
1− x 2 |
− k |
|
|
x |
2 |
||
ется дифференциальным уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
, где k , v |
||
dt |
v |
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
v |
1 |
и k2 – постоянные. Проинтегрировать это уравнение.
7
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
Решение
dx |
|
|
|
1 − x 2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|||||
|
= k |
|
|
|
|
|
− k |
|
|
|
|
|
|
; |
||
dt |
|
|
v |
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
v |
|
||||||
= v2 ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
+ c. |
|||
k |
(1 |
− x)2 |
− k |
2 |
x2 |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2dx |
|
= dt |
∫dt = |
|
2 |
− k2 x |
2 |
||
k1(1− x) |
|
|
|
Разложимподынтегральнуюфункциюнапростейшиедроби:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1(1 − x)2 − k2 x2 = |
( |
k (1 − x)− k |
2 |
x)( |
k |
(1 − x)+ k |
2 |
x)= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
A |
|
|
+ |
|
B |
|
|
|
|
|
; |
A k1 − A k1 x + A k2 x + |
|||||||||
k1 (1− x)− |
|
|
(1 − x)+ |
|
k2 x |
||||||||||||||||||
|
|
k2 x |
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A + B) |
k =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ B k1 − B k2 x − B k1 |
x = 1; |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
− (A + B) k |
+ (A − B) k |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A + B = |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 − k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A = |
1 k2 |
+ |
k1 |
; |
|
B = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A − B = 1 |
|
2 |
k1 k2 |
|
|
2 |
k1k2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, t = v2 |
1 |
ln |
k |
(1− x)+ |
|
k |
|
x − |
1 |
|
ln |
|
k |
(1− x)− |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
k1k2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
k1k2 |
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
k2 x + c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 (1 − x)+ k2 x |
|
|||||||
|
При t = 0 |
x = 0, c = 0 и t = 2 |
v2 |
|
ln |
|
|||||||||||||||||
|
|
k k |
2 |
k |
(1 − x)− |
k |
2 |
x . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 13 (3913)–16 (3916) найти частные решения дифференциальныхуравнений, удовлетворяющиеданнымусловиям.
13 (3913). y′sin x = y ln y; y x = π / 2 = l.
8
Уравнения первого порядка
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
d (ln y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
dy |
sin x = y ln y |
dy |
= |
dx |
; |
|
= |
|
dx |
+ c ; ln |
|
ln y |
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
dx |
y ln y |
|
|
sin x |
∫ ln y |
∫ sin x |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
+ ln |
|
c |
|
,гдеln |
|
c |
|
= c ; ln y = c tg |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив начальные условия, получим c = 1.
|
x |
; y = etg |
x |
||||
Итак, ln y = tg |
2 |
. |
|||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
14 (3914). y′ |
= |
1 |
+ y2 |
|
; y |
|
x = 0 |
=1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dy |
= |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
dy |
= |
|
|
dx |
|
|
+ c |
; |
arctg y = arctg x + arctg c × |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫1 + y2 |
∫1 + y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + y2 |
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
× (arctg c = c1 ); arctg y − arctg x = arctg c; |
tg (arctg y − arctg x)= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= tg (arctg c); |
|
|
|
tg (arctg y)− tg (arctg x) |
|
|
= c |
|
|
y − x |
|
= c. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ tg (arctg y) tg (arctg x) |
1+ xy |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Используем начальные условия: с = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Итак, y − x = 1 + xy |
|
y = |
|
1 + x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 (3915). sin y cos x dy = cos y sin x dx; |
|
|
y |
|
x = 0 |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin y |
dy |
= |
sin x |
dx ∫ |
sin y |
dy = ∫ |
sin x |
dx; ln |
|
cos x |
|
|
0x = ln |
|
cos y |
|
|
yπ |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos y |
|
|
cos x |
|
|
|
π cos y |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
cos y |
|
|
= ln |
|
|
2; cos x = |
2 cos y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
16 (3916). y − xy′ = b (1 + x2 y′); |
y |
|||||||
Решение |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
dx |
|
y |
||
|
′ |
|
|
|
||||
y − b = xy |
(1 |
+ bx); ∫ x (1 |
+ bx) = ∫ |
|||||
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
x = 1 =1.
dy |
; |
1 |
= |
A |
+ |
|
B |
; |
y − b |
x (1+ bx) |
x |
|
1+ bx |
1 = A + Abx + Bx |
Ab + B = 0 |
B = −b, |
|
dx |
|
x |
b dx |
|
y |
dy |
; |
||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
||
A =1 A =1; |
|
∫ |
x |
∫ bx +1 |
∫ |
y − b |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
[ln х − ln bx +1 ]1x = ln y − b 1y; ln x − ln bx +1 + ln b +1 = ln y − b −
− ln |
|
1− b |
|
; ln |
|
x(1 + b)(1 − b) |
|
= ln |
|
y − b |
|
|
x (1 − b2 ) |
= y − b; y = |
x + b |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
bx +1 |
|
|
|
bx +1 |
|
bx +1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 (3917). Найти линию, проходящую через точку (2; 3) и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1-й способ. По условию ВМ = МС . |
Тогда |
NC = ON = x. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Из ∆ |
MNC |
y = x tg (π − α )= −x tgα |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
dy |
|
|||||||||||||||
|
|
= – xy |
y = −x dx , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
у |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
dx |
y |
dy |
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В . |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
= −∫ |
|
; ln |
y |
|
3 = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
y |
x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
.М(х,у) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= −ln |
|
x |
|
2 |
ln |
|
xy |
|
= ln 6 |
|
xy = 6 |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
у |
|
|
. |
α |
|
|
2-й способ. Уравнение касательной ВС Y – y = |
||||||||||||||||||||||||||
О |
х |
N |
C |
|
х |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= y′ (X – x), где X и Y – текущие координаты |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
касательной. Точка С (2x; 0) принадлежит (ВС) |
– у = у′х. |
Далее решение такое же, как и в способе 1.
10