Kuznecov_reshebnik

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

− cos x + C ,

− sin x + Cx + C .

− cos x + C ,

− sin x + Cx + C .

.pdf

Скачиваний:

1096

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Уравнения первого порядка (продолжение)

Пусть p = ctg ϕ		2				1	−V0 / а
	1+ p		= cosec ϕ ; y = C	sin ϕ	ctg ϕ +		;
	1+ p		= cosec ϕ ; y = C	sin ϕ	ctg ϕ +		;
			1			sin ϕ
						sin ϕ

		a
	p +
x = y	p +	V0
		V0

	2
1 + p	2
1 + p		= y ctg ϕ

+	a	1
	V	sin ϕ
	0

= C		sin ϕ
= C	1	sin ϕ	ctg ϕ +
	1

−V0 / а

cos ϕ +1

2cos

2ϕ

ctg

ϕ +

;

ctg

ϕ +

sin ϕ

sin

sin ϕ

2sin

cos

= ctg

;

= b .

1/ b

Итак,

x = C1

(cos ϕ + b)

; y = C1 sin ϕ tg

Взадачах 251 (4151)–254 (4154) найтиэвольвенты линий.

251 (4151). Окружности x2 + y2 = R2 .

Решение

Эвольвентой окружности называется кривая, описываемая точкой бесконечной прямой, когда она катится без скольжения поокружности(базис).

1. Рассмотрим вначале ту из эвольвент окружности, котораяпроходитчерезточкуN. ЕслирадиусокружностиR, то, учитывая, что

CM0 = CN = Rt, легко получить уравнение эвольвентыокружности:

y
		C		T
		C	M	Q	t
		t	0	Q	t
		K		)
	t			M (x, y)
O	t	L N P		α	x
O		L N P		α	x

OP = x0	= OL + LP = R cos t + Rt sin t,	(*)
		(*)
PM 0 = y0 = LC − KC = Rsin t − Rt cos t.

Пусть М – произвольная точка касательной к окружности и рассто-

151

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

яние M0 M = C. Учитывая, что

x = x0	+ M 0Q = C sin t + R cos t + Rt sin t,	(1)
		(1)
y = y0 − MQ = −C cos t + Rsin t − Rt cos t,

идифференцируя(1), имеем

x′	= C cost + Rt cos t,
t		(2)
yt′		(2)
yt′	= C sin t + Rt sin t.

Из (2) следует, что в точке М угловой коэффициент касательной

к эвольвенте k = tg α k = yt′ = tg t tg α = tg t, т. е. касательная МТ

xt′

кэвольвентеокружностипараллельнарадиусуОС, проведенномувточку касания производящей прямой с базисом.

Иначе: эвольвентыявляютсяортогональнымитраекториямисемейства касательных. Последнее справедливо для эвольвент всех кривых.

2. Эвольвенты – это семейство ортогональных траекторий для семейства касательных к эволюте. Уравнения семейства касательных

y − y

x = R cost,

= y′ , а уравнения эвольвент

. Обозначим y = Rsin t

x − x

y′

y′x = −

xt′

= tg t ,

y′x

yt′

;

x − x

= −tgt или

R cost − x

= −tg t

xt′

y − y

yt′

Rsin t − y

R cos t − x = tg t(y − Rsin t);

− Rsin t − x′ =

− Rsin t)+

cos2 t

+ tg t(y′ − R cos t),

x′

yt′

;

− Rsin t −

y′

(y − Rsin t)+

tg t

cos2 t

′

Rsin t

+ tg t(y′ − Rcost)

(tg t + ctg t)+ y cos2 t

= cos2 t + Rsin t − Rsin t ;

y′ + y tg t =		Rsin2 t
			cost

dv	= −tg t dt		v =
v

		′		′			Rsin2 t
; y = uv;		u v + u(v			+ v tg t)=			; v′ + vtg t = 0
							cost
cost ;	du	cost =	Rsin2 t			; u = R∫ tg2t dt =
	dt		cost

152

Уравнения первого порядка (продолжение)

		1
= R					−1 dt = R (tg t − t) + C ; y = C cost + Rsin t − Rt cost . Далее
= R
	∫	cos	2 t


xt′	= yt′ ctg t = ctg t (− C sin t + R cost − R cost + Rt sin t)= − C cost +
+ Rt cost ;				x = −C sin t + Rt sin t + R cost .

252 (4152). Цепнойлинии y = a ch ax .

Решение

1. Проведем в точке С цепной линии касательную и рассмотрим ту из эвольвент, которая описывается точкой М0

этой касательной, причем СМ0 = CN. Выведем некоторые вспомогательные

равенства:

y′ = sh ax , dS = 1 + sh2 ax dx = ch ax dx , tg α = sh ax , S = CN = a sh ax = a tg α,

a = yx = y cos α.
ch	a

y		C
		C
	M
N	M0 α		α
a	M0 α		α
a
O	L	P	x

Опустим из точки Р на касательную перпендикуляр РМ0. Из

∆ M 0CP CM 0	= CP sin α = y sin α =	asin α		, т. е. точ-
		asin α	= a tg α = S = CN
		cos α	= a tg α = S = CN
		cos α

каМ0 принадлежитэвольвентецепнойлинии. Далее M0P = CM0 ctg α = = a tg α ctg α = a . Пусть M0 (x0, y0), C (x, y), тогда x0 = OP − LP = x −

tgα

a sh

− asin α = x − a

= x −

= x − a th

;

1 + tg

2α

2 x

1+ sh

ch a

y0 = a cos α =

1 + tg2α

2 x

+ sh

ch a

153

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Пусть M (x, y) – произвольная точка касательной, а М0 М = c. Тог-

да x = c cos α + x

+ x

− a th

;

y = csin α+ y

= c th

ch х/а

Обозначим

= t, x = at. Заменяя x и y

на х и у, получим уравне-

(t − th t);

ние эвольвенты:

x =

+ a

y = c th t +

ch t

2. Аналогично (251 (4151)) имеем:

y = a ch t,

− x

y′

x′

= −

;

−

x′

y′

a sh t

sh t

x = at

x − x

или

at − x

(at − x)sh t = a ch t − y ;

sh t

a ch t − y

sh t

y − y

(a − x′)sh t + (at − x) ch t = a sh t − y′ ;

y′ = −

x′

; (a − x′)sh t + (at −

sh t

− x)ch t = a sh t +

x′

+ x ch t = a (sh t + t ch t − sh t)

+ sh t

sh t

x′ + x th t = at th t ; x = uv , u′v + u(v′ + v th t)= at th t ; v′ + v th t

sh t

u = a∫t sh t dt =

= − th td t v =

;

= at

ch t

= a(t ch t − sh t)+ C ; x = at − a th t +			C	;	y′ = −	x′	= −	a sh t
			ch t					a sh t
						sh t		ch2t
						sh t		ch2t
	a
y =	a	+ C th t .
y =	ch t	+ C th t .
	ch t

253(4153). Эвольвенты окружности

x= a (cos t + t sin t), y = a (sin t − t cos t).

+ chC2t ;

(1)

154

Уравнения первого порядка (продолжение)

Решение

Это та из эвольвент окружности, которая проходит через точку N

(см. задачу 251 (4151)).

Касательные к эвольвенте окружности (1) будут являться нормалями к эвольвентам эвольвенты окружности. Найдем угловой коэффициент касательной к эвольвенте окружности:

xt′ = at cos t ,	yt′ = at sin t , k = tg α =	yt′	= tg t .
		xt′

Эвольвентаокружности(1) поотношениюксвоейэвольвентеявляется эволютой, и ее координаты должны удовлетворять следующей си-

стеме [9, гл. IV, § 6]:


x = x −	y′(x′2	+ y′2 )	; y = y +	x′(x′2 + y′2 )		.	(2)
	x′y′′ − x′′y′			′ ′′	′′ ′
				x y	+ x y

Здесь под x и y понимаем координаты точек эвольвенты окружности, а под х и у – координаты эвольвенты эвольвенты окружности. Последниенаминужнонайти.

Из (2)

x − x

y′

y′ = −x′ctg t,

= −

Но

= − ctg t , значит,

x − x = ctg t(y − y)

y − y

x′

или

′

= −x ctg t,

(3)

a cos t + asin t − x

= ctg t (asin t − at cos t − y).

Решаем систему (3):

asin t − at cos t − y = tg t(a cos t + at sin t − x).

Дифференцируемпоследнееуравнениепоt:

a cost − a cost + at sin t − y′ =

(a cost + at sin t − x)+ tg t (− asin t +

cos2 t

+ asin t + at cost − x′); y′ = −x′ctg t ,

x′

cost

+ x = acost + at sin t , x = uv ,

sin t

155

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

′

;

′

cost

′

cost

;

cost

+ u

+ v

= a cost + at sin t

v′

+ v =

= u v + v u

u v

sin t

cos2 t

sin t

sin 2 t

= 0

v = cost ;

= a cos t

+ at sin t

;

du = a

+ at

;

sin t

cos t

cos

u = −a ln

cost

+ a

1− cos2 t

dt + C

= − a ln

cost

−

at2

+ a

t dt

+ C

;

∫

cos2 t

∫ cos2 t

t = u ,

= dt,

dv =

= tg t ;

u = −a ln

cost

−

at2

cos

+ a

t tg t −

∫

tg t dt

+ C

= at tg t −

at2

+ C

; x = uv = at sin t −

− cos t

− C

x = a (cost + t sin t)

Представим: C

= a − C

− cost

+ C

at2

+ C

− at cos t = sin t

at2

+ C

;

x′ = −asin t + asin t + at cos t + sin t

a 2

′

+ C ;

y = −C∫cost dt −

∫ t

cost dt =

= −x ctg t = − cos t

(t2 sin t + 2t cost − 2sin t) = a (sin t − t cost)− sin t

= −C sin t −

+ C .

254 (4154). Полукубической параболы y = 3t2, x = −2t3.

156

Уравнения первого порядка (продолжение)

Решение

Это – уравнения полукубической параболы, которая является эволютой по отношению к своей эвольвенте. Координаты точек эволюты удовлетворяютсистемеуравнений(2) иззадачи253 (4153), откуданаходим

x − x

= −

y′

(*)

y − y

x′

Здесь х и у – координаты точек эвольвенты; x′ = −6t2;

y′ = 6t ;

y′

= −

1 = k . Угловойкоэффициент эвольвенты tg ϕ =

yt′

= −

t .

x′

Из (*)

− 2t3 − x

= −t t3 − x = yt. Дифференцируем последнее

3t2 y

		1		t3
равенство по t	y′ +		y = 3		;	y = uv ,	u′v + u v′ +
		+ t2		+ t 2
	1		1

1
	v	=
1 + t2	v	=
1 + t2

	t3		v′ +	t		v =	1		du = 3	t3
= 3		;			v = 0			;		dt .
	+ t2			+ t2			1 + t2
1			1							1+ t2

Интегрируя последнее равенство [12, табл. 19], получим:

u = (1 + t 2 )3 − 3 1 + t 2 − C; y = uv = t2 − 2 − C ; y′ = 2t +						Ct	;
				1 + t 2		(1 + t 2 )3
x′ =	y′		C
		= 2 +	(1 + t 2 )3 .
	t	= 2 +	(1 + t 2 )3 .
Интегрируя последнее равенство, получаем x = 2t + Ct						. Заме-
					1 + t2
ним t = tg ϕ			x = 2tg ϕ + C sin ϕ ;	y = tg 2ϕ − 2 − C cos ϕ . Вновь заменяя
ϕ на t, получим x = 2tg t + C sin t ;				y = tg2t − 2 − C cost .

157

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

§ 3. УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО И ВЫСШЕГО ПОРЯДКА. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Взадачах255 (4155)–282 (4182) найтиобщиерешенияуравнений.

255(4155). y′′ = x + sin x .

Решение

256(4156). y′′ = arctg x .

Решение

y′ =

dx =

arctg x dx = x arctg x −

arctg x = u, du =

∫

∫ 1 + x

1 + x

∫

(1 + x2 )+ C ;

dx = dv,

x = v = x arctg x −

1 ln

y =

x arctg x dx −

arctg x = u,

xdx = dv,

ln(1+ x2 )= u,

dv = dx,

+ x

;

− 2 ∫ln(1

)dx + C1x + C2; du =

, v =

du =

dx, v = x

1+ x

y =

arctg x − −

x2dx

−

x ln (1 + x2 )+

x2dx

+ C x + C

2 ∫ x2 +1

∫1 + x2

arctg x

(x2 −1)−

x ln (x2 +1)+ C x + C

257 (4157).

y′′ = ln x .

158

Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...

Решение

y′ = ∫ln x dx = x ln x − ∫ dx + C1 =			dx
	ln x = u,	du =		,	= x ln x − x + C1 ;
	ln x = u,	du =	x	,
		v = x	x
	dv = dx,	v = x

ln x = u,

du =

y = −∫ x dx + ∫ x ln x dx + C1x + C2

x dx = dv,

v =

∫

ln x −

x dx −

+ C1x + C2

ln x

−

+ C1x + C2 .

258(4158). xy′′ = y′ .

Решение

Положим y′ = u

y′′ = u′, xu′ = u,

= ln

u = Cx;

y = C

+ C

или y = C2 x

+ C1

259 (4159). y′′ = y′ + x .

Решение

= u′v + uv′ ; u′v + u(v′ − v)= x ,

y′ = y ,

y′

= y′′

y′ − y = x , y = uv ,

y′

′

− v = 0

= dx ,

, du = x e

−x

dx ; u

= ∫ xe

−x

v = e

= x

dx + C

u = x,

= dx,

∫

e−xdx + C1

= −e−x (x +1) + C ;

= −xe−x

e−xdx = dv , v

= −e−x

= −x −1 + Ce− x ; y = −

− x + C

e−x + C (C

= −C ) .

159

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

260 (4160). y′′ =

y′

+ x .

Решение

y′ = w , y′′ = w′ ,

′

, w = uv , w′ = u′v + v′u ,

′

+ x

−

u v + u

= x v′ −

= 0

v = x , du = dx , u = x + C , w = x2 + Cx ,

y′ = x2 + Cx

y =

+ C x2 + C

261(4161). (1 + x2 )y′′ + (y′)2 +1 = 0 .

Решение

y′ = z , y′′ = z′ , (1 + x2 )z′ + z2 +1 = 0 , −

−arctg z =

+ z2

+ x2

= arctg x − arctg C , arctg z = arctg C − arctg x

arctg z = arctg

C − x

1 + Cx

C − x

1−

1 − C x

y = ∫

1 − C x

C =

z = 1+ Cx или z =

+ x

z =

C + x

;

+ x

− C1(C1 + x)+1 + C12

= ∫

dx = (1 + C12 )ln

C1 + x

− C1x + C2 .

C1 + x

y′

262 (4162). xy′′ = y′ln

Решение

y′′ =

y′

. Обозначим

y′

= u , y′ = xu

y′

= xu , u + u′x = u lnu ,

160

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3216 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1096Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб26Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc