Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1096

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 325 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Уравнения первого порядка

Аналогично, применив подстановку x = UV, получим V = y ,

U = −	a2	+ C , x = Cy −	a2	.
U = −	y2	+ C , x = Cy −	y	.
	y2		y
Таким образом, x = Cy ±					a2
Таким образом, x = Cy ±					y	.

74 (3974). Точка массой, равной m, движется прямолинейно; на нее действуетсила, пропорциональнаявремени(коэффициентпропорциональности равен k1), протекающему от момента, когда скорость равнялась нулю. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости (коэффициент пропорциональности равен k). Найти зависимость скорости от времени.

Решение

Поусловию

mW = F + R + P ,

где F = k1ti ; R = −kV ( i -орт).

Проектируем (1) на ось х-ов:

і R

mWx = Fx + Rx + Px ,

где Wx = dVdtx , Fx = k1t , Px = 0 , Rx = −kVx , Vx = V . Итак, m dVdt = k1t − kV , V = pq , V ′ = p′q + pq′ ,

(1)

		V

	F
			x
M P			x
M P

mp′q + mpq′ =

= k1t − kpq

′

+ kq) = k1t ,

mq′ = −kq , m

= −kq ,

mp q + p(mq

−

q = e

, m

= k t ,

p =

e m

t dt ,

m ∫

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

U1 = t, dU1 = dt,
						k
dV			= e				t dt, V		=
dV			= e		m		t dt, V		=
	1					1

	m			k				k
−	m	+		k		C e− m t			.
−		+				C e− m t			.
	k			k1
	k			k1

m emk t ;

p =

t e

−

+ C ; V =

t −

	mk		k
При t = 0 V = 0 C =	1	; V =	1	t
	k 2		k

	m		m		k
−		+		e−	m	t .
	k
			k

75 (3975). Точкамассой, равной m, движется прямолинейно; на нее действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего с момента, когдаскоростьбылаV0 (коэффициентпропорциональностиравенk). Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное произведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности равен k1). Найти зависимость скорости от времени.

Решение

;

= kt3 i ,

= − k

; mW

= F +

По условию mW

+ R + P ,

= k t3, R

= − k Vt, P = 0.

Итак, m

= k t3 − k1V t , V = pq ,

V ′ = p′q + pq′ , mp′q + p (mq′ + k1q t)= k t3,

m dqq = − k1t dt

Обозначим

p = mk ∫t3eat2 dt

q = − k1 t2 . m 2

= a. Тогда q =

at2 = z,		=
		=
dz = 2 at dt


e−at 2; m			dp		e−at2			= kt3 ;

			dt
k		z dz						k
	∫ez					=			∫ ez z dz =
m		a		2a			2a2m

Уравнения первого порядка

z = U1, dz = dU1,

k z e

k e

k t

at2

k e

at2

= e

dz, V1 = e

−

+ C =

−

+ C ; V =

2a2m

2am

dV1

2a2m

kt2

−

+ Ce−at2 .

2am

2a2m

При t = 0 V = V

V = −

+ C

C = V

= V

2km

2a2m

k 2

= V + b , где b

2km

k 2

2a −1)= (V

+ b)e−at2 + b (at2 −1)

Итак,

V =

+ b)e−at2 +

2a2m

76 (3976). Начальная температура тела θ 0°С равна температуре окружающей среды. Тело получает тепло от нагревательного прибора (скорость подачи тепла является заданной функцией времени: cϕ (t), где c – постоянная теплоемкость тела). Кроме того, тело отдает тепло окружающей среде (скорость охлаждения пропорциональна разности между температурами тела и среды). Найти зависимость температуры тела от времени, отсчитываемого от начала опыта.

Решение

dθ

= c ϕ (t) − k(θ − θ 0 ); θ

= UV, θ ' = U' V + UV', U' V + UV' + UVk =

= c ϕ (t) + θ 0 k; V' + Vk = 0,

= − k dt , ln

= −k

∫

dt V = e – kt

;

e−kt = c ϕ (t) + θ 0 k

U = c∫ ϕ (t) ekt dt + θ 0k ∫ekt dt = c∫ϕ (t) ekt dt +

+ θ 0ekt + с1; θ = UV = сe−kt ∫t

ϕ (t) ekt dt + θ 0 + c1e−kt.

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

При t = 0 θ = θ 0 c1 = 0 ; θ − θ 0 = ce−kt ∫t		ϕ (t) ekt dt.
0

Решить задачи 77 (3977)–78 (3978), учитывая, что если переменный электрический ток i = і (t) течет по проводнику с коэффициентом индуктивностиL исопротивлениемR, топадениенапряжениявдольпро-

водника будет равно	L	di	+ Ri .
		dt

77 (3977). Разностьпотенциаловназажимахкатушкиравномернопадает от E0 = 2 В до E1 = 1 В в течение 10 с. Каков будет ток в конце десятой

секунды, если в начале опыта он был 16 3 A? Сопротивление катушки 0,12 Ом, коэффициентиндуктивности0,1 Гн.

Решение

Законпадениянапряжениявдольпроводникаимеетвид E = L dtdi Ri,

E = E(t) , E = E0 + kt. Используем начальное условие: 1 = 2 + k 10 k = − 0,1.

	di		di		R		1	(2	− 0,1 t); R = 0,12 Ом;
Итак, 2 − 0,1 t = L		+ Ri		+		i =
	dt		dt				L
					L

L = 0,1 Гн. Следовательно, i' + 1,2 i = 20 – ti = UV i' = U' V + V' U, U' V +

+ U(V' + 1,2V) = 20 – t; V

′

= −1,2 dt

−1,2t

+ 1,2 V = 0

V = e

; U ′e

= 20 − t U = ∫ (20 − t)e1,2t dt + C ; [20 − t = U1,

dV1 = e1,2t dt,

dU1 = – dt,

e1,2t ];

U =

20 − t

e1,2t +

e1,2t

+ C ;

i =

20 − t

+ Ce−1,2t.

1,2

1,22

1,2

1,44

При t = 0

i =16

C = − 0,6 ;

i = 20 − t +

+ 0,6 e−1,2t .

1,44

1,2

Уравнения первого порядка

При t = 10 с i = 110,2 + 1,144 − 0,6 e−12 = 9,03 a .

78 (3978). Найти ток в катушке в момент t, если сопротивление ее R, коэффициентиндуктивностиL, начальныйток i0 = 0, электродвижущая сила меняется по закону E = E0 sin ω t.

Решение
E0 sin ω t = L di	+ Ri ; i = UV, i' = U' V + V' U;						LU' V + U(LV' + RV) =
dt
= E0 sin ω t; LV ′ + RV = 0		−	R	t			−	R	t	U =
= E0 sin ω t; LV ′ + RV = 0		V = e	L ;		E0 sin	ω	t = LU ′e	L		U =

= sin ω

dU1 = ω

cosω t dt,

∫sin ω

dt =

t e L

t dt, V =

= e

Lω

∫e

L ω

sin ω

t −

cos ω

t dt

sin ω

t −

2 = cosω t,

dU2 = −ω

sin ω

L ω

−

∫e

sin ω

t dt

;

t dt,

= e

∫e

t dt =

t −

sin ω

cos ω

R2 + L2ω

E0 R

ω L

U =

t sin

t −

cos ω

;

i =

R2 + L2ω

(Rsin ω t − ω

t)+

e−

tC .

L cos ω

		E0	L		R	t
=		E0	L	e	L	t	×
=		L	R	e			×

	R	t
		t		t −
e L		cos ω		t −

t dt,

;

t + C ;

		E0		×
R	2	2	2	×
R		+ L w

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

При t = 0 i = 0

C =

ω L2

+ L

−

i =

L e

+ R sin ω t − ω

Lcos ω

+ L

Разные задачи

(уравнения с разделяющимися переменными, однородныеилинейные)

79 (3979). y′ =

+ xy + y

Решение

y′ =1+

= U, y' = xU' + U;

xU ′ + U = 1 +U +U

= 1 + U 2

; arctg U = ln

C x

x =

earctg U,

= C,

1 + U 2

arctg

x = Ce

x .

80 (3980). x2 dy + (3 – 2xy) dx = 0.

Решение

x2y' + 3 – 2 xy = 0, y = UV,

y' = U' V + V' U; x2U' V + x2UV' – 2xUV +

+ 3 = 0 x2 U' V + U (V' x2 – 2xV) + 3 = 0, V' x2 – 2xV = 0

= 2dx

= ln x2 V

= x2, x4

+ 3

= 0 dU = −

3 dx

U =

+ C

, y = Cx2

Уравнения первого порядка

81 (3981). x(x2 +1)y′ + y = x (1 + x2 )2 .

Решение

′

+ x (1 + x2 )= 1 + x

, y = UV,

= U

V + V

U ; U

′V

+ V ′U + x (1 + x2 )=

=1 + x2

U ′V +U

V ′ +

=1 + x2, V ′ +

= 0

x (1 + x2 )

dV 1 d (x2 +1)

= −

x (1 + x2 )

−

∫

− ∫

2 +1

x2 +1

ln (x2 +1)− ln x V = x x

+1 ;

dUdx

x x +1 = 1 + x2 dU =

= x 1 + x2 dx , U = ∫ x 1+ x2 dx = 12 ∫(1+ x2 )1/ 2 d (1+ x2 )=

(1 + x2 )

= UV =

(1 + x2 )2

1 + x2

+ C ;

82 (3982). y′ =

y +1

Решение

y +1

= dx

y +1

= ln

; y = Cx −1 .

y +

83 (3983).

y′ =

1 + y2

+ x2 )

xy(1

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Решение

1 + y2

y dy

−

;

xy (1 + x2 )

x (1 + x2 )

∫1 + y2

1 + y2

∫

+ x2

1 ln (1+ y2 )= ln

C x

− 1 ln (1+ x2 );

1 + y2 = x C1

(1 + x2 )(1 +

1 + x2

+ y2 )= Cx2 , где C = C12 .

84 (3984). (8 y +10x) dx + (5y + 7x) dy = 0 .

Решение

8y +10x

+10

y′ = −

;

y′ = −

; y = xU, y′ = xU ′ + U ; xU ′ +U =

5y + 7x

+ 7

= −

8U +10

(5U + 7) = − 8U −10 − 5U 2 − 7U ;

x dU (5U + 7) =

5U + 7

= − 5U 2 −15U −10

−

5U + 7

dU =

U 2 + 3U + 2

U +

(2U + 3) 1

−

(

+ 3U + 2

)

= −

;

∫

2 10

∫

−

U 2 + 3U + 2

∫

1 1

−

+ 3U

U +

1 2

−U −

−

U + 2

10 U + 2 = ln

1 ln U 2 + 3U + 2 +

= ln

U 2 + 3U + 2

;

U +1

Уравнения первого порядка

y2 + 3y + 2 10

+ 2 = C1 (y2 +

3xy + 2x2 )5

y + 2x

= C10

;

x2 x

y + x

[(y2 + xy)+ (2xy + 2x2 )]5

y + 2x

= C

, где C

= C10 ; [y ( y + x) + 2x ( y +

y + x

+ x)]5

y + 2x

= C2 ( y + 2x)5 ( y + x)5

y + 2x

= C2; ( y + x)4 ( y + 2x)6 =

y + x

= C2 ( y + x)2 ( y + 2x)3 = C , где C = C2 .

85 (3985). x3 y′ = y ( y2 + x2 ) .

Решение

y 3

′

y′ =

;

= U

Тогда y′

= U ′ x + U ;

U x + U

= U

+ U

U 3

C x = e−

или x = Ce−

−

= ln C

2 y2

, где C =

2U 2

86 (3986).

xy′ − y

= tg

Решение

y′ −

= tg

;

= U

y′ = xU ′ + U ; xU ′ +U −U = tg U

x dU

= tg U

;

sinU

= ln

sin

= Cx .

tg U

87 (3987). x

− y cos

dx + x cos

= 0 .

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Решение

1 −

cos

+ cos

= 0 ,

=U ,

y′ = U′x +U ; 1 − U cos U + cos U ×

x x

′

(U x + U ) = 0

cos UdU

= −

;

sinU + ln

= C

sin

+ ln

= C .

88 (3988). y′ = e2 x − e x y.

Решение

y = UV , y′ = U ′V + V ′U ; U ′V + V ′U + exUV = e2 x ; U ′V +U (V ′ +

+ exV ) = e2 x ; V ′ +Vex = 0

= −exdx

= −ex

V = e−e ;

U ′e−ex = e2x dU = e2 xeex dx ; U = ∫e2 xeex dx = ∫ zez dz = zez −

= z, x = ln z,

z = U1, dU1 = dz,

− ∫e

= ez (z

−1) + C =

dz + C =

dz = dV1, V1

= e

= eex (ex −1) + C ; y = UV = ex −1 + Ce−ex .

89 (3989).

x2 − xy + y2

2 y2 − xy

Решение

(2 y2 − xy) + (x2 − y2 )

x2 − y2

= U , x′ = yu′ + u ;

2 y2 − xy

yU ′ +U =1 + U 2 −1

U ′ y(2 −U ) = 2U 2 − 3U +1

;

2 −U

dU =

2U 2 − 3U +1

2 −U

= dy

(2 −U ) dU

= 2 dy ;

2 −U

A = 2 ,

U −1

U −

(U −1) U

−

(U −1) U −

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 325 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1096Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб26Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc