Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1096

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3224 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Линейныеуравнения

− 4 A − 2D − 5B + 5C = 0,

= 29xsin x ;

− 2C − 5A = 29,

C =

A , −

− 5A = 29

− 2B + 4C + 5A + 5D = 0,

− 2 A + 5C = 0

− 2D − 5B = −10,

185

A = −5

, C = −2

;

5D − 2B

= 28

B = −

, D =

;

185

y = −

5x −

cos x − 2x −

sin x .

f (x) = 100 x e− x cos x .

y = e− x [( Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x],

y′ = −e− x [( Ax + B) cos x +

+(Cx + D) sin x]+ e− x [Acos x − ( Ax + B)sin x + C sin x + (Cx + D) cos x], y ″ = e − x[( Ax + B) cos x + (Cx + D)sin x]− e−x [Acos x − ( Ax + B)sin x +

+C sin x + (Cx + D)cos x] + e−x [− Asin x − Asin x − ( Ax + B) cos x +

+C cos x + C cos x + (Cx + D)(−sin x)] = e− x [( Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x]−

−2e−x [Acos x − ( Ax + B) sin x + C sin x + (Cx + D) cos x]+

+ e−x [− 2 Asin x − ( Ax + B) cos x + 2C cos x − (Cx + D)sin x].

Подставляя y ′ и y′′ в исходное дифференциальное уравнение,

получим A = −20,

B = −1, C = 10, D = 18;

y = ex[(10x +18)sin x − (20x +1) cos x] .

5x / 2

−5x / 2

8) f (x) = 3 ch

или f (x) =

+ e

) .

y = Ae5x / 2 + Bxe−5x / 2 ,

y′ = 5 Ae5x / 2

−

5 Be−5x / 2 x + Be−5x / 2 ,

231

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

y′′ =	25 Ae5x / 2 − 10 Be−5x / 2 +										25 Be−5x / 2 x						;	25	Ae5x / 2			−10Be−5x / 2 +
y′′ =	25 Ae5x / 2 − 10 Be−5x / 2 +										25 Be−5x / 2 x						;		Ae5x / 2			−10Be−5x / 2 +
	4					2						4					2
+ 25 Be−5x / 2 + 25 Ae5x / 2 −										25 Be−5x / 2 x + 5Be−5x / 2 =											3	(e5x / 2 + e−5x / 2 );
+ 25 Be−5x / 2 + 25 Ae5x / 2 −										25 Be−5x / 2 x + 5Be−5x / 2 =												(e5x / 2 + e−5x / 2 );
2					2					2										2
25A =			3
				,		3				3				3	1					−5x / 2
			2	,	A =	3				3				3	1		5x / 2			−5x / 2
		3	2		A =		,	B =			;		y =			e			− xe			.
5B =		3				50			10					10	5
	2

377 (4277). y′′ − 4 y′ + 4 y = f (x) , если

f (x) равна:

Решение

y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 ; r2 − 4r − 4 = 0

, r = 2 ; y* = e2x

+ c

x) .

1,2

1) f (x) =1.

y = A , y′ = 0 , y′′ = 0 ; 4A =1

A = 1 ;

y = e2 x (c + c

x) +

2) f (x) = e−x .

y = Ae− x , y′ = − Ae− x , y′′ = Ae− x ; A + 4 A + 4 A =1

9 A =1; y =

e−x .

3) f (x) = 3e2 x .

y = Ax2e2 x , y′ = 2 Axe2x + 2 Ax2e2x , y′′ = 8Axe2 x + 2 Ae2 x + 4 Ax2e2 x ;

8Ax + 2A + 4Ax2 − 8Ax − 8Ax2 + 4Ax2 = 3 9A =	3	;	y =	3	x2e2 x .
8Ax + 2A + 4Ax2 − 8Ax − 8Ax2 + 4Ax2 = 3 9A =	2	;	y =	2	x2e2 x .
	2			2

4) f (x) = 2 (sin 2x + x) .

y = Ax + B + C sin 2x + cos 2x , y′ = A + 2C cos 2x − 2D sin 2x ,

y′′ = −4C sin 2x − 4D cos 2x ; − 4C sin 2x − 4D cos 2x − 4 A − 8C cos 2x + + 8Dsin 2x + 4 Ax + 4B + 4C sin 2x + 4D cos 2x = 2sin 2x + 2x;

232

Линейныеуравнения

x0				− 4 A + 4B = 0,
x0				− 4 A + 4B = 0,
1				4 A = 2,								1				1			1
x				4 A = 2,							A =	1	,	B	=	1	, C = 0 ,	D =	1	;
cos 2x				− 4D − 8C +			4D =
												2				2			4
										0,		2				2			4
sin 2x				− 4C + 8D +			4C =			2
		1			1			1
	y =		cos 2x +			x +			.

		4					2
		4		2			2
														1
		5)		f (x) = sin x cos 2x							или f (x) =				(sin 3x + sin x) .
		5)		f (x) = sin x cos 2x							или f (x) =			2	(sin 3x + sin x) .
														2
	y = Asin 3x + Bcos3x + C sin x + Dcos x ,														y′ = 3Acos 3x − 3B sin 3x +

+C cos x − Dsin x , y′′ = −9 Asin 3x − 9B cos 3x − C sin x − D cos x;

−9 Asin 3x − 9B cos 3x − C sin x − D cos x −12 Acos 3x +12B sin 3x −

−4C cos x + 4D sin x + 4 Asin 3x + 4B cos 3x + 4C sin x + 4D cos x =

								sin 3x		− 5A +12B =				1	,
														1

														2
	1				1									2					2		3
=	1	sin 3x		−	1	sin x ;		cos3x		− 5B +12A = 0,							D	= −	2	, C = −	3	,
										− 5B +12A = 0,					1
	2				2														25		50
								cos x		3C +			4D = −			,
								cos x		3C +			4D = −		2	,
								sin x		− 3D −			4C = 0		2
								sin x		− 3D −			4C = 0
			5				6
				,	B =			; y = −	1			5
									1			5
A = −											−		sin 3x + 6 cos 3x					−
			338				169		169			2

−501 (3sin x + 4 cos x) .

6)f ( x) = sin 3 x .

sin3 x =	1	(3sin x − sin 3x) ; y = Asin x + Bcos x + C sin 3x + Dcos3x ,
	4

y′ = Acos x − B sin x + 3C cos 3x + 3D sin 3x , y′′ = − Asin x − B cos x −

233

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

−9C sin 3x − 9Dcos 3x ; − Asin x − B cos x − 9C sin 3x − 9D cos 3x −

−4 Acos x + 4B sin x −12C cos 3x +12D sin 3x + 4 Asin x + 4B cos x +

													sin x			3A + 4B =			3		,
																			3

								1												4
+ 4C sin 3x + 4Dcos3x =								1	(3sin x − sin 3x) ;				cos x			3B − 4 A =			0,
																						1
								4
													sin 3x			− 5C +12D = −							,
													sin 3x			− 5C +12D = −						4	,
													cos3x									4
													cos3x			− 5D −12C = 0
3		9				, C =		5		, D = −	12	= −	3		3			(3sin x +
3		9						5			12		3		3
B =		, A =												;	y =
	25			100			676				676		196
	25			100			676				676		196				100
+ 4 cos x)+			1		(5sin 3x −12 cos 3x) .
			1

		676

7)		f (x) = 8 (x2 + e2 x + sin 2x).
y = Ax2 + Bx + C + Dx2e2 x + M sin 2x + N cos 2x ,																y′ = 2 Ax + B +
+ 2Dx2e2 x + 2Dxe2 x + 2M cos 2x − 2N sin 2x , y′′ = 2 A + 4Dx2e2 x +

+8Dxe2x + 2De2x + 4M sin 2x − 4N cos 2x ; 2 A + 2De2x − 8Ax − 4B −

−8M cos2x + 8N sin 2x + 4Ax2 + 4Bx + 4C = 8(x2 + e2 x + sin 2x);

4 A = 8,

− 8A + 4B = 0,

2 A − 4B + 4C = 0,

A = 2 , B = 4 , C

= 3 , D = 4 , N = 1 , M = 0 ;

2D = 8,

sin 2x

8N = 8,

cos 2x

− 8M = 0

y = 2x2 + 4x + 3 + 4x2e2 x + cos 2x .

−2x

f (x) = sh 2x

или

f (x) =

− e

) .

234

Линейныеуравнения

y = Ax2e2x + Be−2 x , y′ = 2 Ae2 x x2 + 8Axe2 x + 4Be−2 x + 2 Ae2 x ,

y′′ = 2 A + 4De2 x + 4Dxe2 x − 4M sin 2x − 4N cos 2x ; 4 Ae2 x x2+ 8Axe2 x+

+ 4Be−2x+ 2 Ae2 x− 8 Ax2e2x− 8Axe2x+ 8Be−2 x + 4 Ax2e2 x+ 4Be−2 x =

			(e2x − e−2x );												e		2x			2A =		1	,
																	2x					1
		1																										1							1
																						2
=																						2	1			A =			,		B = −						;
		2													e		−2 x		16B = −				1					4						32
		2													e				16B = −									4						32
				1																			2
								2		2 x				1		−2 x							2
								2		2 x				1		−2 x
	y =						x		e				−		e			.
	y =						x		e				−	8	e			.
				4										8
																											1		x				−x
			9)				f (x) = sh x										+ sin x или							f (x) =				(e			− e			)+ sin x .
			9)				f (x) = sh x										+ sin x или							f (x) =			2	(e			− e			)+ sin x .
																											2
	y = Aex + Be−x + C sin x + D cos x ,																								y′ = Aex − Be− x + C cos x − D sin x ,
	y′′ = Aex + Be− x − C sin x − D cos x ;																									Aex + Be−x − C sin x − Dcos x −
− 4Aex + 4Be−x − 4C cos x + 4Dsin x + 4Aex + 4Be−x =																																							1	(e2x − e−2x );
																																							2
ex						A =			1		,
									1

									2
									2		1										1				1							3							4				1
											1										1				1							3							4				1
e−x					B = −							,								A =		, B		= −			,	C =					,	D =						;		y =	ex	−
sin x											2										2				18							25						25					2
					3C +					4D =1,


cos x					3D − 4C = 0
		1			−x						1


−			e					+					(3sin x + 4 cos x).
−		9	e					+		25			(3sin x + 4 cos x).
		9								25
															x															x			1			x − 1					−x + 1
			10)					f (x) = e									– sh (x −1) или									f (x)		= e				−		(e					− e				) .
			10)					f (x) = e									– sh (x −1) или									f (x)		= e				−	2	(e					− e				) .
																																	2

235

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

y = Ae x + Be x − 1 + Ce − x + 1 , y′ = Aex + Bex − 1 − Ce−x +1 , y′′ = Bex − 1 + + Ce− x + 1 + Aex ; Aex + Bex −1 + Ce−x +1 − 4Aex − 4Bex −1 + 4Ce−x +1 +

);

A = 1,

+ 4Ae

+ 4Be

x − 1

+ 4Ce

−x + 1

= e

−

x −1

− e

−x + 1

−1

B = −

−x+1

9C =

C =

; y = ex −

ex − 1

e− x + 1 .

378 (4278). y′′ + y = f ( x), если

f (x)

равна:

Решение

y′′ + y = 0; r2 +1 = 0 ,

r = ±i ;

y* = c cos x + c

sin x .

1,2

1) f (x) = 2x3 − x + 2 .

y = Ax3 + Bx2 + Cx + D , y′ = 3Ax2 + 2Bx + C , y′′ = 6Ax + 2B ;

A = 2,

B = 0,

6Ax + 2B + Ax

+ Bx

+ Cx + D = 2x

− x + 2 ;

6 A + C = −1,

D + 2B = 2

B = 0 , C = −13 , D = 2 ; y = 2x3 −13x + 2 . 2) f (x) = −8 cos 3x.

y = Acos3x + Bsin 3x , y′ = −3Asin 3x + 3B cos 3x , y′′ = −9 Acos 3x − 9B sin 3x ; − 9 Acos 3x − 9Bsin 3x + Acos 3x + B sin 3x = −8cos 3x ;

− 8A = −8, A =1, B = 0 ; y = cos 3x .

− 8B = 0

A = 2,

−

3) f (x) = cos x .

y = ( Acos x + B sin x) x , y′ = Acos x + B sin x + (− Asin x + B cos x) x ,

236

Линейныеуравнения

y′′ = (− Asin x + B cos x) 2 + (− Acos x − B sin x) x ;	2(− Asin x + Bcos x) −
− ( Acos x + B sin x) x + ( Acos x + B sin x) x = cos x	A = 0 , B =	1	;
		2

y = 12 x sin x .

4) f (x) = sin x − 2e− x .

y= ( Asin x + B cos x) x + Ce− x, y′ = Asin x + B cos x + ( Acos x −

−Bsin x) x − Ce− x , y′′ = 2( Acos x − Bsin x) + ( Asin x − B cos x) x + Ce− x ;

2 ( Acos x − B sin x) + (− Acos x − B cos x)x + Ce−x + ( Acos x + B cos x)x +

− x

−x

cos x

2 A = 0,

+ Ce

= sin x − 2e

; sin x

− B = 1,

A = 0, B = −

, C = −1

;

−x

2C = −2

y = −

x cos x − e− x .

			1
5)	f (x) = cos x cos2x	или f (x) =
5)	f (x) = cos x cos2x	или f (x) =	2
			2

y= ( Acos3x + Bsin 3x + (C cos x + Dsin x)

+C cos x + D sin x + (−C sin x + D cos x) x ,

(cos3x cos x) .

x, y′ = −3Asin 3x + 3B cos 3x +

y′′ = −9 Acos 3x − 9B sin 3x +

+2(−C sin x + D cos x) + (−C cos x − D sin x) x ; − 9Acos3x − 9Bsin 3x +

+2(−C sin x + Dcos x) − (C cos x + Dsin x) x + Acos3x + B sin 3x + (C cos x +

											cos3x		− 8A =		1
															1
																,
															2	,
			1					1			sin 3x		− 8B =		2			1
+ Dsin x) x =			1	cos3x +				1	cos x	;	sin 3x		− 8B =		0,		A = −	1	,	B = 0 ,
											sin x		− 2C = 0,
			2					2										16
			2					2										16
											cos x		2D =	1
											cos x		2D =
														2
		1				1				1				2
		1				1				1
C = 0 ,	D =		;		y =		xsin x −				cos 3x	.
C = 0 ,	D =	4	;		y =	4	xsin x −			4	cos 3x	.
		4				4				4

237

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

6) f (x) = 24sin	4		или f (x) = 24(sin	2	2
6) f (x) = 24sin		x	или f (x) = 24(sin		x)	.

	2	2		2		1 + cos 4x
f (x) = 24 (sin		x) = 6 (1 − cos 2x)			= 6 1 −2cos 2x +		=
						2

= 9 −12cos 2x + 3cos 4x ;			y = A + Bcos 2x + C sin 2x + Dcos 4x + Lsin 4x ,
y′ = −2Bsin 2x − 2C cos 2x − 4Dsin 4x − 4L cos 4x ,						y′′ = −4B cos 2x −

−4C sin 2x −16D cos 4x −16Lsin 4x ; − 4B cos 2x − 4C sin 2x −16D cos 4x −

−16Lsin 4x + A + B cos 2x + C sin 2x + D cos 4x + Lsin 4x = 9 −12 cos 2x +

		A = 9,
		− 3B = −12,
+ 3cos 4x ; − 3C = 0,			A = 9 ,		B	= 4, C = 0, D = −0,2, L = 0;
+ 3cos 4x ; − 3C = 0,			A = 9 ,		B	= 4, C = 0, D = −0,2, L = 0;
		−15D = 3,
		−15L = 0
		−15L = 0
	y = 9 + 4 cos 2x − 0,2 cos 4x .
						x	−x
				1		x	−x
7)		f (x) = ch x или f (x) =		1	(e	+ e	) .
7)		f (x) = ch x или f (x) =		2	(e	+ e	) .
				2

y = Aex + Be− x , y′ = Aex − Be− x , y′′ = Aex + Be− x ; Aex + Be−x + Aex +

	1	(ex + e−x )		1		1		1	e	x	+ e	−x
+ Be−x			A =		, B =		; y =

2			4		4			2			2

= 0,5 ch x.

379 (4279). 5 y′′ − 6 y′ + 5 y =							f (x) , если			f (x)
Решение
5 y′′ − 6 y′ + 5 y = 0 ; 5r2 − 6r +								5 = 0	, r	= 3 ±
									1,2
	3x / 5		4				4
y* = e		c cos		x + c		sin		x .
y* = e		c cos	5	x + c		sin	5	x .
		1	5		2		5

равна:

9 − 25	=	3	±	4 i ;
5		5		5

238

Линейныеуравнения

1) f (x) = 5e3x / 5.
y = Ae3x / 5 ,	y′ =	3 Ae3x / 5	,	y′′ =	9	Ae3x / 5 ;	9	A −	18		A + 5A = 5	A =	25	;
					25		5			5			16
		5

y= 1625 e3x / 5 .

2)f (x) = sin 54 x .

							4							4							′			4							4					4				4							16			4
y = Asin 5 x + Bcos 5 x, y																					′	= 5 Acos 5 x − 5 B sin 5 x,																						y′′ = − 25 Asin 5 x −
y = Asin 5 x + Bcos 5 x, y																						= 5 Acos 5 x − 5 B sin 5 x,																						y′′ = − 25 Asin 5 x −
−	16		Bcos						4		x ; −		16		Asin					4		x −				16			Bcos				4		x −		24		Acos					4	x +	24		Bsin	4		x +
−	25		Bcos						5		x ; −				Asin							x −							Bcos				5		x −		5		Acos					5	x +	5		Bsin	5		x +
	25								5				5					5									5						5				5							5		5			5
																														sin			4		x		9						24

					4											4									4													A +						B =1,
																																	5

+ 5Asin								x				+ 5Bcos						x = sin										x;									5			5							A =


					5											5									5					cos			4		x		9	B −				24		A = 0
																																	5				5			5
		15				5							40
=				=						,		B =					;		y =				15					sin		4		x +		40			cos			4	x.
=				=						,		B =					;		y =				15					sin		4		x +		40			cos			4	x.
	219				73								219									219								5			219							5

3) f (x) = e2x + 2x3 − x + 2 .

y = Ae2x + Bx3 + Cx2 + Dx + E , y′ = 2 Ae2 x + 3Bx2 + 2Cx + D ,

y′′ = 4 Ae2 x + 6Bx + 2C ; 20 Ae2 x + 30Bx +10C −12 Ae2 x −18Bx2 −

−12Cx − 6D + 5Ae2 x + 5Bx3 + 5Cx2 + 5Dx + 5E = e2 x + 2x3 − x + 2 ;

e2x		13A =1,
x	3	5B = 2,
x		5B = 2,											1					2				36				107
x2		−18B + 5C = 0,									A =			, B =						, C =				,	D =		,

													13				5									125
x1		30B −12C + 5D = −1,											13				5					25				125
x	0	− 6D + 5E = 2
x		− 6D + 5E = 2
E = −			908			1		2 x		1		3		36		2			107				908
			908			1		2 x		1		3		36		2			107				908
					; y =		e		+		2x		+		x		+				x −				.
			125	5	; y =	13	e		+	5	2x		+	5	x		+			25	x −		125		.
			125	5		13				5				5						25			125

239

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

4) f (x) = e3x / 5 cos x .

y= e3x / 5 (Bcos x + C sin x) , y′ = 35 e3x / 5 (Bcos x + C sin x) +

+e3x / 5 (−Bsin x − C cos x) , y′′ = 65 e3x / 5 (−Bsin x − C cos x) +

+259 e3x / 5 (B cos x + C sin x) + e3x / 5 (−B cos x + C sin x) ; 6e3x / 5 (−Bsin x −

−C cos x) + 95 e3x / 5 (Bcos x + C sin x) + 5e3x / 5 (−Bcos x + C sin x) −

−185 e3x / 5(Bcos x + C sin x) − 6e3x / 5(−Bsin x − C cos x) + 5e3x / 5(Bcos x +

3x / 5

cos x

−

B =1,

+ C sin x) = e3x / 5cos x ;

B = −

, C = 0 ;

e3x / 5 sin x

−

C = 0

y = −

3x / 5

cos x .

			5)		f (x) = e3x / 5 sin										4		x .
			5)		f (x) = e3x / 5 sin												x .
														5
				3x / 5					4										4						y′ =	3				3x / 5							4								4
y = e						Acos				x + Bsin										x		x		,				e					Acos						x + Bsin								x	x +
y = e						Acos			5	x + Bsin									5	x		x		,		5		e					Acos				5		x + Bsin						5		x	x +
									5										5							5											5								5
		3x / 5						4								4							3x / 5			4						4				4							4
+ e					Acos				x	+ Bsin									x	+ e					−				Asin					x +				Bcos						x		x,
								5								5										5						5				5							5
y′′				9		3x / 5						4									4					3				3x / 5				4							4
		=			e			Acos						x + Bsin									x		x +		e						−		Asin							x +
		=		25	e			Acos				5		x + Bsin							5		x		x +	5	e						−	5	Asin						5	x +
				25								5									5					5								5							5
	4					4				3			3x / 5									4								4				3		3x / 5									4
+			B cos				x	x +			e							Acos						x + Bsin							x	+			e					;		Acos					x	+
+	5		B cos			5	x	x +		5	e							Acos				5		x + Bsin						5	x	+		5	e					;		Acos			5		x	+
	5					5				5												5								5				5											5

240

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 3224 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1096Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб26Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc