Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1265 вузов, 4638 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf
Скачиваний:
1100
Добавлен:
15.02.2015
Размер:
4.95 Mб
Скачать
☆

Системы дифференциальных уравнений

Используем начальные условия: t = 0 x = 0,14 (м),

x′ = 0; y = 0,04 (м);

y′ = 0 . Подставляем их в (3):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,042 + 0,008 = C1 1 + C2

0,

C1 = 0,05; C2 = 0 .

 

 

0 = 2C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит, 0,3x + 0,2 y = 0,05 ch 2t

y = 0,25 ch 2t −1,5x .

 

 

Подставляем у в первое уравнение системы (1′), разделив предва-

рительно обе части его на 0,03:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x′′ = 4x − 80 (x − 0,25 ch 2t +1,5x − 0,1)

x′′ +196x′ = 20 ch 2t + 8 . (4)

Характеристическое уравнение для соответствующего однородно-

гоуравнения: r2 +196 = 0, r = ± 14 i .

 

 

 

 

 

 

 

 

1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общеерешениеоднородногоуравнения: x* = D cos14 t + D

2

sin14 t .

 

 

1

 

 

 

 

Частные решения ищем в виде x = A ch 2t + B ,

x′ = 2A sh 2t ,

x′′ = 4 A ch 2t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляем эти решения в (4):

 

 

 

 

 

 

 

 

4A ch 2t +196A ch 2t +196B = 20 ch 2t + 8

A

1

; B =

2

; x = x * +x =

 

 

 

 

10

 

49

 

 

 

=D1 cos 14t + D2 sin 14t + 101 ch 2t + 492 ; x′ =14(−D1 sin 14t + D2 cos 14t) +

+15 sh 2t .

Используем начальные условия:

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,14 = D1

+

 

 

 

+

 

 

,

D2 = 0, D1

= −

0,04

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

49

 

49

 

 

 

 

 

 

0 =14D2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

1

ch 2t −

0,04

cos 14t +

 

2

 

(м) =10 ch 2t −

4

cos 14t +

200

(см) ;

10

49

 

49

49

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

301

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

 

 

 

 

 

 

0,04

 

 

 

2

 

 

0,06

 

y = 0,25 ch2t −1,5 0,1 ch 2t −

 

 

cos 14t +

 

 

=0,1 ch 2t +

 

cos 14t −

49

 

49

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

3

(м) = 10 ch 2t +

6

cos 14t −

300

(см) .

 

 

 

 

 

49

49

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

445 (4345). Скоростьростакультурымикроорганизмовпропорциональнаихколичествуиколичествупитательныхвеществ(коэффициентпропорциональностиравенk). Скоростьубыванияпитательныхвеществпропорциональна наличному количеству микроорганизмов (коэффициент пропорциональностиравенk1). ВначалеопытавсосудеимелосьA0 микроорганизмов и B0 питательных веществ. Найти зависимость количества A микроорганизмов и количества B питательных веществ от времени ( k > 0, k1 > 0).

Решение

Составляемсистемудифференциальныхуравнений:

 

dA

 

= k( A B),

 

dt

 

 

 

 

 

 

dB

 

= −k1 A.

 

dt

 

 

 

 

Начальные условия: A t = 0 = A0 ; B t = 0= B0 .

После деления почленно первого уравнения системы на второе получим:

dA

= −

k

B

dA = −

k

B dB ;

A = −

k

dB

k

k

k

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

Используем начальные условия:

A = −

k

 

B2

+ C

C = A +

k

 

 

 

0

k1

2

1

1

0

k1

 

 

 

 

Итак,

B2 + C1 . 2

B02 .

 

k

(B2

− B2 )=

k

 

B2

 

2k

 

 

− B2

 

 

A = A +

 

 

 

 

+

1

A

 

 

.

 

 

 

0

2k1

0

 

 

 

0

 

k

0

 

 

 

 

 

 

2k1

 

 

 

 

 

 

302

во второе уравнение системы и разделив

Системы дифференциальных уравнений

Обозначим α = B2

+ 2k1

A . Тогда

0

k

0

 

 

A =

k

(α 2 − B2 ).

(1)

2k

 

1

 

 

Подставляя значение А переменные, получим

2

B

dB

t

 

 

1

 

 

 

 

 

 

B − α

 

 

 

 

 

α − B

 

α − B0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B + α

 

 

 

 

 

 

 

α kt

 

 

∫

 

= ∫ dt

t =

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

e

 

 

k

B2 − d 2

kα

 

 

B0 − α

 

 

 

α + B

α + B0

 

 

B

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

B0 + α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = α

1

− β eα

kt

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ β eα

kt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим это значение В в (1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kα

2

 

 

 

 

1 − β

e

α kt

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A =

 

 

1

−

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k1

 

 

 

 

1 + β

e

α kt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

446 (4346). Допустим, что бактерии размножаются со скоростью, пропорциональнойихналичномуколичеству(коэффициентпропорциональностиравенa), новтожевремявырабатываютяд, истребляющийихсо скоростью, пропорциональнойколичествуядаиколичествубактерий(коэффициентпропорциональностиравенb). Далее, допустим, чтоскорость выработкиядапропорциональнаналичномуколичествубактерий(коэффициентпропорциональностиравенc). Числобактерийсначалавозрастает до некоторого наибольшего значения, а значит, убывает, стремясь к нулю. Показать, что для любого момента t число N бактерий дается формулой

N = ( kt 4M−kt )2 ,

e + e

где M – наибольшее число бактерий и время t измеряется от того момента, когда N = M; k – некоторая постоянная.

303

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Решение

Пусть N – количество бактерий в момент времени t. Условию задачи соответствует следующая система дифференциальных уравнений:

 

dN

= aN

− bNT ,

 

 

 

dt

 

 

(1)

 

dT

 

= cN.

 

 

dt

 

 

 

 

Разделив обе части первого уравнения системы (1) на соответству-

ющие части второго, получим дифференциальное уравнение dNdT = ac −

−

b

T

N =

a

−

b

 

T 2

+ C.

 

 

 

 

 

c

 

c c

2

1

Учитывая, что при N = 0 величина T = 0, получим C1 = 0. Итак,

 

 

N =

 

a

T

−

b

 

T 2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

c

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если обозначить

a

= m,

 

b

 

= n , то

 

 

 

 

 

 

 

c

2c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N = mT − nT 2 .

 

 

 

 

 

Преобразовав (2) к виду

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

N =

 

 

 

 

 

− n T

−

 

 

4n

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nmax = M =

m2

=

a

2

 

.

 

 

 

4n

2bc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запишем (2) иначе: T 2 −

m

T +

N

 

= 0. Тогда

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T =

 

m

 

±

 

 

 

m2

−

N

.

 

 

 

 

 

2n

 

 

4n2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

2

, имеем

(3)

Подставляяэтозначение T впервоеуравнениесистемы(1), получим

dN

= aN −

bm

N mbN

m2

−

N

.

(4)

dt

2n

4n2

n

 

 

 

 

 

304

Системы дифференциальных уравнений

После подстановки в (4) значения m и n учетом (3), получим

dN

= m aN 1−

N

 

aN =

bm

N; bN

m2

−

N

= bN

M

1

−

N

=

dt

M

 

2n

 

4n2

n

n

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

N

 

 

a

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2cnN

1 −

= c

1 −

 

= a 1 −

N

 

 

 

 

 

 

 

2n

M

c

M

M .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделимпеременныевпоследнемдифференциальномуравнении:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dN

N = m a dt ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

1 −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dN

 

 

 

 

 

1 −

N = t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Mt dt

 

 

 

 

 

1

− t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dN = −2Mt dt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln

 

 

 

.

 

∫

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫M (1 − t

2

)t

1

+ t

 

N

1 −

 

 

N = M (1 − t

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

ln

1− t

= m at + C2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая, что при t = 0 N = M, получаем, что при t = 0 и C2 = 0.

 

Тогда ln

 

1 − t

= m at

 

1 − t

= em at

 

t =

e± at / 2 − em at

 

= ± th

at

;

 

 

 

1 + t

 

e±at / 2 + emat / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

at

 

 

 

 

 

 

 

2

at

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

4M

 

 

1 −

 

 

= ± th

 

 

N = M 1 − th

 

 

или N

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

M

2

 

 

2

ch2 at

 

 

(eat / 2 + e−at / 2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначив

a

= k , окончательно имеем N =

4M

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

(ekt + e−kt )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

447 (4347). Два цилиндра, основания которых лежат в одной плоскости, соединенывнизукапиллярнойтрубкой, наполненыжидкостьюдоразной

305

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

высоты (H1 и H2). Через трубку в единицу времени протекает объем жидкости, пропорциональный разности высот, т. е. равный α (h1 – h2), гдеα – коэффициентпропорциональности. Найтизаконизменениявысоты жидкости в сосудах над капиллярной трубкой. Поперечное сечение сосудов S1 и S2.

Решение

 

 

 

S2

 

 

 

 

 

 

S1

t)

 

 

 

(

 

 

 

 

 

1

 

 

(t)

 

t()

h

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

V

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h (t) 2

Обозначимh1(t) иh2(t) – переменныевысотыжидкостейвсооб-

щающихся сосудах; v1(t) и v2(t) – скоростипротеканияпопервомуи

второму цилиндрам. Тогда

h1(0) = H1; h2 (0) = H2 . (1)

Система дифференциальных уравнений:

 

 

 

 

 

 

− α (h − h ) = S h&

,

 

 

 

dh

 

dh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1 1

 

h&

=

1

;

h&

=

2

.

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α (h1 − h2 ) = S2h&2

 

 

1

 

dt

2

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1h&1

 

 

 

 

S1h&&1

 

 

S S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h2 =

 

 

 

+ h1

,

h&2 =

 

+ h&1 ;

 

 

1

2

h&&1 + S2h&1 = α h1 − S1h&1 − α h1

 

 

α

 

α

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h&&1 + α

 

S1 + S2

h&1 = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1S2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Характеристическоеуравнение:

r 2 + α

S1 + S2

r = 0

; r = 0 ,

r = −α

S1 + S2

 

 

 

S1S2

1

2

S1S2

 

 

 

−α

h1(t) = C1 + C2e

h&1(t) = −α S1 + S2 e−α S1S2

;

S1 +S2

t

 

 

 

 

S1S2

;

 

(3)

 

 

 

 

 

 

S1 +S2

t

 

 

 

S1S2

 

C2 .

(4)

 

 

 

 

 

306

Системы дифференциальных уравнений

Из первого уравнения системы (2) имеем

 

 

&

 

α (H1 − H2 )

 

 

h1

(t) = −

 

.

(5)

S1

 

 

 

 

Подставляем начальные условия (1) и (5) в (3) и (4):

 

H

 

= C + C

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1 − H2

 

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2 =

 

S2

 

 

−

α (H1 − H2 )

= − α

 

S1 + S2

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

S + S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

S1

 

 

 

 

 

 

 

S1S2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1S1 + H2S2

 

 

 

H1 − H2

 

 

 

−α

S1 +S2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h (t) =

 

+

 

S

2

e

 

S1S2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

S1 + S2

 

 

 

S1 + S2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H1S1 + H2 S2

 

 

 

H1 − H2

 

 

 

−α

S1 +S2

t

 

 

 

 

h (t) =

−

 

S e

 

S1S2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

S1S2

 

 

 

S1 + S2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1 = H1S1 + H2S2 . S1 + S2

Список литературы

1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.

–СПб.: Профессия, 2002. – 432 с

2.Бермант А.Ф. Курс математического анализа: В 2 т. – М.:

ГИФМЛ, 1958. – Т. 2. – 358 с.

3.Гутер Р.С., Янпольский А.Р. Дифференциальные уравнения. – М.: Высшаяшкола, 1976. – 504 с.

4.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математи-

кавупражнениях изадачах: В2 ч. – М.: Высшая школа, 1980. – Ч. 2. – 364 с.

5.КамкеЭ. Справочникпообыкновеннымдифференциальнымурав-

нениям. – М.: ГИФМЛ, 1981. – 704 с.

6.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике:

В 4 ч. – Харьков: Изд-во ХГУ, 1974. – Ч. 3. – 374 с.

7.Кузнецов А.Н, Касянчук А.В. Методические указания к решениюзадачподифференциальнымуравнениямиихприменениям. – Николаев: НКИ, 1988. – 52 с.

8.ПавліщевВ.І., ПоповаН.І. Диференціальнірівняння. – Миколаїв:

УДМТУ, 2002. – 44 с.

9.ПискуновН.С. Дифференциальноеиинтегральноеисчислениядля втузов: В 2 т. – М.: Наука, 1972. – Т. 2. – 576 с.

10.ПономаревК.К. Составлениеирешениедифференциальныхурав- ненийинженерно-техническихзадач.- М.: Учпедгиз, 1962. – 182 с.

11.Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Диф-

ференциальныеуравнения. Примерыизадачи. – К.: Вищашкола, 1984. – 406 с.

12.Смолянский Н.Г. Таблицы неопределенных интегралов. –

М.: Изд-вофиз.-мат. лит., 1963. – 112 с.

13.СтепановВ.В. Курсдифференциальныхуравнений. – М.: Физ-

матгиз, 1959. – 468 с.

308

СОДЕРЖАНИЕ

 

Предисловие......................................................................................

3

§ 1. Уравнения первого порядка ......................................................

4

Уравнениясразделяющимисяпеременными(4). Однородные

 

уравнения(20). Линейныеуравнения(30).Разныезадачи(уравне-

 

ния с разделяющимися переменными, однородные илиней-

 

ные) (46). Другие примеры уравнений первого порядка(75).

 

Уравнения в полных дифференциалах (88). Интегрирующий

 

множитель(93). Разныезадачи(99).

 

§ 2. Уравненияпервогопорядка(продолжение) .................................

116

Поленаправлений. Изоклины(116). Приближенноеинтегриро-

 

вание дифференциальных уравнений (118). Особыерешения.

 

Уравнения КлероиЛагранжа(127). Ортогональные иизого-

 

нальные траекториииэвольвенты(143).

 

§ 3. Уравнениявторогоивысшегопорядка. Частныеслучаиурав-

 

ненийвторогопорядка........................................................................

158

Частныеслучаиуравненийболеевысокихпорядков(187). При-

 

ближенныерешения(192).

 

§ 4. Линейные уравнения .................................................................

201

Уравнения спостоянными коэффициентами(217). Уравнения

 

высшихпорядков(263).

 

§ 5. Системыдифференциальныхуравнений..................................

273

Список литературы .........................................................................

308

УДК 517.91 (075.8) ББК 22.1

Кузнецов А.М.

К89 Розв'язникзадачзтеми"Диференціальнірівняння". – Миколаїв:

НУК, 2006. – 312 с.

Наведенірозв'язаннябіля450 задачзтеми"Диференціальнірівняння" відомого"Сборниказадачпокурсуматематическогоанализа" автора Г.М. Бермана.

Призначенийдлястудентів-іноземців, молодихвикладачівівсіхтих, хтоцікавитьсяметодамирозв'язаннязадачздиференціальнихрівнянь.

Навчальне видання

КУЗНЕЦОВ Альберт Миколайович

Розв'язникзадачзтеми"Диференціальнірівняння"

Навчальнийпосібник

(російською мовою)

Редактор В.М. Крохіна

Комп’ютернаправка та верстка В.Г. Мазанко Коректор М.O. Паненко

Свідоцтво про внесення суб'єкта видавничої справи до Державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції

ДК № 2506 від 25.05.2006 р.

Підписано до друку 08.12.06. Папір офсетний. Формат 60×84/16.

Друк офсетний. Гарнітура "Таймс". Ум. друк. арк. 18,0. Обл.-вид. арк. 19,3. Тираж 150 прим. Вид. № 30. Зам. № 131. Ціна договірна

ВидавецьівиготівникНаціональнийуніверситеткораблебудування, 54002, м. Миколаїв, вул. Скороходова, 5

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности