Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1108

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3229 30 31 32 > Следующая >>>

Системы дифференциальных уравнений

Ищем частное решение в виде:

= Atet + Bte−t ;

′ = ( Aet − Be−t )t + Aet

+ Be−t ;

″ = ( Aet

+ Be−t ) t +

+ 2( Aet − Be−t ) .

Подставляем

′,

″ в (1):

t Aet + t Be–t + 2 Aet – 2 Be–t – A tet + B te–t = et + e–t

A =

, B =

Общее решение:

x = x* +

= c et + c

e−t

+ t sh t ;

y =

= c et

−

− c2e−t + sh t + t ch t .

= 2 y

− 5x + e

426 (4326).

= x − 6 y + e

−2t

Решение

Продифференцируемпервоеуравнениесистемы:

d 2 x

= 2 y′ − 5x′ + et

d 2 x

= 2x −12y + 2e−2t

− 5x′ + et .

dt2

dt 2

Подставим в него y =

+ 5x − e

d 2 x

= 2x − 6

− 30x + 6et + 2e−2t − 5x′ + et

d 2 x

+11

+ 28x =

dt 2

dt2

= 2e−2t + 7et .

Соответствующее однородное уравнение:

d 2 x

+ 28x

= 0 .

dt2

Характеристическое уравнение: k2 + 11k + 28 = 0; k1 = – 4; k2 = – 7;

x* = c1e– 4 t + c2e– 7 t.

281

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Для f1(x) = 2e– 2 t ищем частное решение в виде

= Ae−2t,

x′

= −2Ae−2t

x″

= 4 Ae−2t

4A − 22A + 28A = 2

A = 1 .

Для f

(x) = 7et ищем частное решение в виде

= Bet,

′

= Bet,

x″ = Bet; B + 11B + 28B = 7

B =

; x = c e−4 t + c

e−7 t +

e−2 t +

et .

4c1e

−4 t

+ 7c2e

−7 t

−2 t

−4 t

Тогда

= −

−

;

y =

−

4 c1e

−

−7 t

−2 t

−4 t

−7 t

−2 t

− 7c2e

−

+ 5c1e

+ 5c2e

+ e

− e

;

y =

c e−4 t − c

e−7 t +

e−2 t +

et .

yzy′ = x

y′ =

427 (4327).

z′ = x

z′ =

Решение

Разделим первое уравнение на второе:

zy′

и ln

c y

= ln

z = c y .

yz′

dx y

dx z

Подставляем в первое уравнение z = c1 y:

c y2 y′ = x	c y2dy = x dx ,	c	y3	=	x2	+ c		, но c y = z, тогда
			3
1	1	1		2			2	1

zy2 − 32 x2 = c2 .

282

x2 + c1

Системы дифференциальных уравнений

y′ =

x + y

428 (4328).

x − y

z′ =

Решение

′

x + y

′

+ y,

y′z + z′y = 2x,

(zy)′ = 2x,

x − y

z′

z′y = x − y

z′ =

= x2 + c

y =

x2 + c1

′

= y −1

z′ = x2 + c

−1.

Второеуравнениесистемыестьлинейноедифференциальноеуравнение: z = uv , z′ = u′v + uv′ . Тогда

u′v + uv′ −

u′v + u v′ −

uvx

= −1,

v′ −

= 0,

x2 + c1

∫

= ∫

x dx

+ c1

= −1

u′v = −1;

+ c1

v =

x2 + c

; du

= −

u = − ln x + x2 + c + c

;

+ c1

x2 + c

y =

; z =

+ c1

− ln x + x

+ c1

c2 − ln x + x

+ c1

283

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

429 (4329).

′

= y,

xzz′ + x

+ y

= 0.

Решение

= y

y = c x . Подставляем y во второе уравнение си-

стемы:

2c2

= −x2 (1

+ c2 )

z dz = −x(1 + c2 ) dx

= −

dx ;

2 + y2 + z2 = c

. (Здесь учли, что xc

= y.)

y′ =

2xy

− y

− z

430 (4330).

2xz

z′ =

− y

− z

Решение

Разделим второе уравнение системы на первое:

z = c1 y .

Из первого уравнения системы имеем (делим правую часть почлен-

но на x2) y′ =

, где

u =

. Заменим

z = c1 y ,

ux = y ,

1 − u 2

(1 + c2 )

y′ = u′x + u , u′x + u =

u′x + u − u2u′x

(1 + c

2 )−

2 (1 + c

2 )

1 − u

′

[1 − u2

(1 + c2 )] du

− u

+ c1 )= 2u;

u x [1 − u

(1 + c1

)= u[1 + u

+ c1

)];

[1 + u2 (1 + c2 )]u

284

Системы дифференциальных уравнений

;

1− u2 (1 + c12 ) =

Bu + C

;

1 − u 2 (1 + c2 )

= A +

1 + u2 (1 +c2 )

[1 + u2 (1 + c2 )]u

A(1 + c2 )+ B = − (1 + c

2 ),

+ A(1 + c

2 ) u2 + Bu2 + Cu ; u1

C = 0,

A = 1, B =

A =1

d [1+ u2 (1+ c2 )]

uc2

= −2(1+ c1

), C = 0; ∫

∫

−∫

1+ u2 (1+ c12 )

; ln

= ln

1 +

u (1 + c12 )

x =

uc2

;

x =

yc2

;

+ y

+ z

= c2 y.

1 + u2 (1 + c12 )

2 (1+ c1

)

− y)

z = y′(z

431 (4331).

= z′(z

− y)2 .

Решение

z dz = y dy

; y2 − z2 = c

или

y =

+ z2 .

Из второго уравнения системы имеем

c1 + z

−

c + z

. Разделяем переменные:

c1 + z

z −

dz ;

dx =

dz ;

dx =

∫

− 2z + c + z2

c1 + z

z c

+ z2

z c + z2

−

1 ln x + c

− z

2 +

285

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

+ c1 ln x + c + z2
+ c1 ln x + c + z2		+ c0		x = z c	+ z 2 − z 2 + c	, x = yz − y2	+ c + c0	;
2	1		2	1	2		1232
2							−c2
							−c2

yz − y2 − x = c2 .


	4	dx		−	dy	+ 3x = sin t,

432 (4332).		dt			dt
432 (4332).	dx
	dx		+ y = cos t.
	dt		+ y = cos t.
	dt

Решение

d 2 x

= −sint

;

= 4

+ 3x

− sin t ;

d 2 x

+ 4

+ 3 x =

dt2

r2 + 4r + 3 = 0 ,

= −3

, r

= −1 ; x

= c e−3t + c

e−t

;

y = cos t −

= cost + 3c e−3t

+ c

e−t .

d 2 y

= x,

dt2

433 (4333).

d 2 x

= y.

Решение

d 4 x

d 2 y

;

4 y

= x

d 4 x

;

−1

= 0

, r = ± i;

dt4

dt 2

dt 4

− x = 0

r1 =1

r2 = −1

3,4

x = c et + c

e−t

+ c

cost + c

sin t ;

= c et − c

e−t − c sin t

+ c cost ;

d 2 x

= y = c et + c

e−t − c

cos t − c

sin t .

dt 2

286

Системы дифференциальных уравнений

	d 2 x		+		dy		+ x = et ,

		2
434 (4334).	dt	2			dt
434 (4334).	dt				dt
	dx	+		d 2 y			=1.
	dt	+		dt		2	=1.
	dt			dt

Решение

Продифференцируемпервоеуравнениесистемыпоt:


				d 3x		+	d 2 y	+	dx
				dt3		+	dt2	+	dt
				dt3			dt2		dt
Подставим в полученное уравнение
стемы:	d 3 x	= et −1	d 2 x		= et − t + c0
стемы:		= et −1			= et − t + c0
	dt3		dt 2					1
	dt3		dt 2

= et .

dxdt из второго уравнения си-

dx	= et −	t 2	+ c0t + c	2

dt	2		1

x = et −

+ c t 2

+ c

Из первого уравнения системы имеем:

= et − x ,

d 2 x

= et − et +

dt 2

− c t 2 − c

t − c − et + t − 2c =

− c t 2

− (c

−1)t − (c + 2c ) − et

t 4

t 2

− et + c

y =

−

t3 − (c

−1)

− (c

2c )t

435 (4335).

z − y

x − z

y − x

Решение

Приравнивая первое и третье соотношения, по правилу производныхпропорцийимеем

dx + dz =	dy	d (x + z) = −dy	и	x + y + z = c .

z − x	x − z			1

287

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Вторую интегрируемую комбинацию образовываем так:

dx − dy − dz

′

2(z − y)

= z − y или d (x − y − z) = dx

x − y − z = x

+ c

Третьякомбинация:

dy − dz − dx

или d ( y − z − x) = dy2

y − z − x = y2 + c′′ .

2(x − y)

Четвертая комбинация:

dz − dx − dy

или d (z − x − y) = dz2

z − x − y = z2 + c′′′ .

2(x − y)

y − x

Итак,

x − y − z = x2 + c′,

y − z − x = y2 + c′′,

−(x + y + z) = x2

+ y2 + z2

+ c .

z − x − y = z

+ c′′′

14243

Окончательно:

x2 + y2 + z2 = c

= −c − c ) ; x + y + z = c

;

x2 + y2 + z2 = c2 .

В задачах 436 (4336)–439 (4339) найти частные решения систем дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

	dy	=	y2 − yz			,		y

	dx		x2		− yz

436 (4336).	dz		z(x + y)
		=					,	z
	dx		x	2	− yz

x = 0

=1;

=−1.

288

Системы дифференциальных уравнений

Решение

− yz

y( y − z)

z(x

+ y)

x2 − yz y2

− yz

z(x + y)

− yz

Составляемпроизводнуюпропорцию:

dx − dy

d (x − y)

x2 − y2

z (x + y)

(x − y) (x + y)

z (x + y)

x − y

Интегрируем: ln

x − y

= ln

+ ln

x − y = cz .

Используемначальноеусловие:

0 −1 = −1c , c = 1 . Поэтому z = x − y .

Подставляем z в первое уравнение системы:

y2 − (x − y) y

y2 − xy + y2

2 y2 − xy

(: x

)= 2

−

− y(x − y)

− xy + y

+ y

− xy

1 +

−

Обозначим

= U ,

y = Ux ,

y′ = U ′ x + U . Тогда U ′ x +U =

2U 2 −U

U ′ x +U +U ′ xU 2 +U 3 −U ′ xU −U 2 = 2U 2 −U ;

1 +U 2 −U

′

x(1 + U

−U ) = 3U

− 2U −U

; dx x(U

−U +1) = −U (U

− 3U + 2) ;

dU (U 2 −U +1)

;

U 2 −U −1

;

−U (U 2 −

−U (U −

1)(U − 2)

−1

U − 2

3U + 2)

−U +U −1 = A(U −1) (U − 2) + BU (U − 2) + C(U −1)U ;

U = 0 : U = 1: U = 2 :

−1 = 2A		1			3		U −1
		1			3		U −1
−1 = −B	A = −		, B = 1,	C = −		; x =		;
−1 = −B	A = −	2	, B = 1,	C = −	2	; x =	U (U − 2)3	;
		2			2		U (U − 2)3
− 3 = 2C

289

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

;

( y − 2x)3

( y − x)2

y ( y − 2x)

x U (U

− 2)

= (U − 1)

= ( y − x)2 .

dx = 1 −

= 1 ;

437 (4337).

t = 1

= x

+ y

−1 +

, y

= −

t = 1

Решение

Ищем решения в виде:

x = At;

y = Bt

dx = A

;

= B ;

A = 1 − 2A,

A =

, B =

t + y −1 +

B = At + Bt −1 + 2 A

При t =1

y = −

B =

−

−1 +

B = −

x =

t; y = −

t .

= z

+ y

− x,

438 (4338).

= z

+ x

− y,

t = 0 =1,

t = 0 = z

t = 0 = 0 .

= x

+ y

+ z,

Решение

Характеристическоеуравнение:

−1 − k

= 0

1 + 2k + k 2 − k − 2k 2 − k 3 +1 +1 +1 + k +

−1 − k

1 − k

+1+ k −1+ k = 0 ;

k 3 + k 2 − 4k − 4 = 0 ; (k − 2)(k + 2)(k +1) = 0

k1 = −2, k2 = −1, k3 = 2 .

290

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3229 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1108Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб27Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc