Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1108

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3228 29 30 31 32 > Следующая >>>

Линейныеуравнения

y′ = ( Aex − Be− x ) x2 + 2( Aex + Be− x ) x + C cos x − D sin x , y′′ = ( Aex + + Be−x ) x2 + 4 ( Aex − Be− x ) + 2 ( Aex + Be− x ) − C sin x + D cos x ,

y′′′ = ( Aex − Be− x ) x2 + 6 ( Aex − Be− x ) + 6 ( Aex + Be− x ) − C cos x + D sin x .

Аналогичнонаходим y(IV) :

y(IV) = ( Aex + Be− x ) x2 + 8( Aex − Be− x ) +12 ( Aex + Be− x ) + C sin x +

+ D cos x − 2 ( Aex + Be−x ) x2 − 8( Aex − Be−x ) + 2C cos x + 2Dsin x −

− 4 ( Aex + Be− x ) + ( Aex + Be− x ) x2 + C sin x + D cos x = 8(ex + e− x ) +

+ 4 (sin x + cos x) A =1, B =1, C =1, D =1; y = y * + y = (c + c	2	x +
1

+ x2 ) ex + (c + c

x + x2 ) ex + sin x + cos x .

421 (4321). y′′′ + 2 y′′ + y′ + 2e−2x = 0 ;

x = 0 = 2 ,

y′

x = 0 =1,

y′′

Решение

r3 + 2r2 + r = 0 ;

r(r 2 + 2r +1) = 0 ; r = 0 , r = −1 ;

y* = c + (c

2,3

+ c3 x) e−x , y = Ae−2x ,

y′ = −2 Ae−2x ,

y′′ = 4 Ae−2 x ,

y′′′ = −8 Ae−2 x;

− 8A + 8A − 2 A = −2

A = 1; y = e−2 x , y = y * + y , y = c + (c

+ c3 ) e−x + e−2x , y′ = c3e− x − (c2 + c3 ) e− x − 2e−2 x , y′′ = −2c3e− x +

x = 0 =1 .

(c2 +

−x

c + c

= 0,

+ c

=1,

+ c3 ) e

+ 4e

;

c3 − c2 − 2 = 1,

− c2 + c3 = 3, c3

− 2c + c

+ 4 = 1

− 2c

= −3

c = 4 ;	y = 4 − 3e−x + e−2 x .
1

422 (4322). y′′′ − y′ = 3(2 − x2 ) ; y		x = 0	= y′	x = 0	= y′′	x = 0
422 (4322). y′′′ − y′ = 3(2 − x2 ) ; y			= y′		= y′′

=0, c2 = −3 ,

=1 .

271

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Решение

r3 − r = 0 ; r = 0 ,	r =1 ,	r = −1	; y* = c + c	2	ex + c	e− x ; y = ( Ax2 + Bx +
1	2	3	1	2	3
+ C)x = Ax3 + Bx2 + Cx ,		y′ = 3Ax2 + 2Bx + C , y′′ = 6 Ax + 2B ,					y′′′ = 6 A ;
6A − 3Ax2 − 2Bx − C = 6 − 3x2			A = 1, B = 0		, C = 0 ; y = x3 ,		y = c +
							1

+ c2ex + c3e− x + x3 , y′ = c1 + c2e−x − c3e−x + 3x2 , y′′ = c2ex + c3e− x + 6x;

c1			+ c2	+ c3	= 1,		= 1 , c = 0	, c = 0 ; y = ex + x3 .
	c	2	− c	=1,	c	2	= 1 , c = 0	, c = 0 ; y = ex + x3 .
		2	3			2	3	1
	c	2	+ c	= 1


			3

423(4323). Решить уравнение Эйлера x3 y′′′ + xy′ − y = 0 .

Решение

Полагаем x = et

t = ln

1 ;

= dy

1 ;

2 y

d 2 y 1

d 3 y

d 3 y 1

d 2 y

−

;

−

dx2

dt2

dx3

dt3

dt2

d 2 y

d 3 y

d 2 y

−

+ 2

dt2

dt3

dt2

Подставляем y′′′,

y′

и у в исходное дифференциальное уравнение:

y′′′− 3y

′′ + 2 y′

+ y′

− y = 0

, y′′′− 3y′′ + 3y′ − y = 0 ; r3 − 3r2 + 3r −1 = 0 ;

r =1,

r2 − 2r

+ 1 = 0 ; r = 1,

r2 − 2r

+ 1 = 0 , r

= 1 ; y

= c et

+ c tet +

2,3

+ c t2et = x(c

+ c

+ c ln2

) .

272

Системы дифференциальных уравнений

§ 5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

= y − 7x,

424.1 (4324.1).

+ 2x + 5y = 0.

Решение

= y − 7x,

d 2 x

− 7

d 2 x

= −2x − 5 y − 7

+ 2x + 5 y = 0

= −2x

− 5y;

y =

+ 7x

= −2x − 5

− 35x − 7

;

d 2 x

+12

+ 37x = 0

; r 2 +12r + 37 =

dt2

r = −6 ±

36 − 37 = −6 ± i ;

x = e−6t (c

cost + c

sin t) ;

1,2

dx = − 6e−6 t (c cos t + c

sin t) + e−6 t (−c

sin t + c

cos t) ;

y = e−6t (−6c cos t −

sin t − c

sin t + c

cos t + 7c cos t

+ 7c

sin

y = e−6t [(c

+ c ) cos t + (c

− c )sin t] .

= 2x

+ y,

424.2 (4324.2).

= 3x + 4 y.

d 2 x = dt2

0 ,

273

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

				Решение
		dx		= 2x + y,

		dt
		dt
		dy		= 3x + 4 y
		dt		= 3x + 4 y
		dt

d 2 x

= 2

+ 3x + 4 y = 2

+ 3x + 4

− 8x ;

dt 2

d 2 x

− 6

+ 5x = 0 ; r

2 − 6r + 5 = 0 , r = 1, r = 5 ; x = c et

+ c

e5t ;

dt2

dx = c et + 5c

e5t ; y = dx − 2x = c et + 5c

e5t − 2c et

− 2c

e5t ;

y = −c et + 3c

e5t .

= x − 3y,

424.3 (4324.3).

= 3x + y.

Решение

= x

− 3y,

d 2 x

− 3

− 9x

− 3y =

− 9x +

− x ;

dt 2

= 3x + y

d 2 x

− 2

+10x = 0 ;

r 2 − 2r +10 = 0

, r

= ± 3i ; x = et (c cos3t +

dt2

1,2

dx = et (c

cos3t + c

sin 3t) + et

(−3c sin 3t + 3c

cos3t);

+ c

sin 3t) ;

et (3c sin 3t − 3c

y = et (c sin 3t − c

y =

x −

cos3t) ;

cos3t) .

274

Системы дифференциальных уравнений

	dx
		= x − y + z,
	dt	= x − y + z,
	dt
424.4 (4324.4).	dy
		= x + y − z,
	dt	= x + y − z,
	dt
	dz	= 2x − y.
	dt	= 2x − y.

Решение

Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Составляем для нее характеристическое уравнение:

1 − k	−1	1	= 0 k 3 − 2k 2 − k + 2 = 0 или (k −1)(k +1)(k − 2)= 0;
1 − k	−1	1
1	1 − k	−1
2	−1	− k

k1 =1, k2 = −1, k3 = 2 .

Частные решения данной системы ищем в виде:

x = α ek1t , x = α							2		ek2t , x = α				3	ek3t ;
1	1		2							3
y = β ek1t , y					2	= β	2		ek2t , y = β				3		ek3t ;
1	1										3
z = γ ek1t		,	z	2		= γ	2	ek2t ,		z	3	= γ	3	ek3t .
1	1

а) k1 = 1:

Система уравнений для определения α 1, β 1 и γ 1

− β 1 + γ 1 = 0,

α 1 − γ 1 = 0,

α 1 = β 1 = γ 1 .

2α 1 − β 1 − γ 1 = 0

Пусть α

= β

= γ

= 1. Тогда

= et , y

= et , z

= et .

б) k2 = –1:

2α 2 − β 2 + γ 2

= 0,

α 2 + 2β 2 − γ 2

β 2 = −3α 2 ; γ 2 = −5α 2 .

= 0,

2α 2 − β 2 + γ 2 = 0

(1)

имеет вид:

275

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Пусть α

2 = 1. Тогда β

2 = –3, γ 2 = –5 и x2 = et , y2 = −3et , z2 = −5et .

в) k3 = 2:

− α 3 − β 3 + γ 3 = 0,

α 3 − β 3 − γ 3 = 0,

= γ

3; β 3 = 0 .

2α 3 − β 3 − 2γ 3 =

Пустьα

= γ

= 1. Тогда x

= e2t , y = 0, z

= e2t . Окончательно имеем

x(t) = c et + c

e−t

+ c e2 t; y(t) = c et − 3c

e−t ;

z(t)

= c et

− 5c

e−t

+ c e2t .

= x − 2 y − z,

= −x + y + z,

424.5 (4324.5).

= x − z.

Решение

= x − 2 y

− z,

1 − k

− 2

−1

= −x + y

+ z,

−1 1 − k

= 0 k

− k

− 2k = 0

k1 = 0,

−1 − k

= x − z

k2 = –1, k3 = 2.

Частные решения ищем в виде (1) задачи 424.4 (4324.4).

а) k1 = 0:

α 1 − 2β 1 − γ 1 = 0,

− α 1 + β 1 + γ 1 = 0,

α 1 − γ 1 = 0.

276

Системы дифференциальных уравнений

Пусть α 1 = γ 1 = 1, β 1 = 0. Тогда x1 = e0 =1, y1 = 0, z1 = e0 .

б) k2 = –1:

2α 2 − 2β 2 − γ 2 = 0,

α 2

= 0 .

− α 2 + 2β 2 + γ 2 = 0,

α 2 = 0

Пусть β

2 = 1, γ 2 = –2. Тогда x2 = 0,

y2 = e−t ,

z3 = −2e−t .

в) k3 = 2:

− α 3 − 2β 3 − γ 3 = 0,

− α 3 − β 3 + γ 3 = 0,

α 3 − 3γ 3 = 0.

Пусть α

= 3, β

= –2, γ

= 1. Тогда

x = 3e2 t

= 2e2 t ,

= e2 t .

x(t) = c + 3c e2 t ;

y(t) = c

e−t − 2c e2 t

;

z(t) = c − 2c

e− t + c e2 t .

= 3x − y + z,

424.6 (4324.6).

= x + y + z,

= 4x − y + 4z.

Решение

= 3x − y

+ z,

3 − k

−1

= x + y + z,

1 − k

= 0 k1 =1, k2 = 2, k3 = 5 .

−1

4 − k

= 4x − y + 4z

277

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Частные решения ищем в виде (1) задачи 424.4 (4324.4).

а) k1 = 1:

2α 1 − β + γ 1 = 0,

α 1 + γ 1 = 0,

= β

= – γ .

4α 1 − β 1 + 3γ 1 = 0

Пусть α

= 1, β

= 1, γ

= –1. Тогда x

= et ,

= et , z

= −et .

б) k2 = 2:

α 2 − β 2 + γ 2 = 0,

γ 2 = 3α 2 .

4α 2 − β 2 + 2γ 2 =

Пусть α

2 = 1, β

2 = –2, γ 2 = –3. Тогда x2 = e2 t , y2 = −2e2 t , z2 = −3e2 t .

в) k3 = 5:

− 2α 3 − β 3 + γ 3 = 0,

α 3 − 4β 3 + γ 3 = 0,

3 = β 3 , γ 3 = 3α 3 .

4α 3 − β 3 − γ 3 = 0

Пусть α

= 1, β

= 1, γ

= 3. Тогда x

= e5 t ,

= e5t ,

= 3e5t .

x(t) = c et + c

e2t + c e5t

; y(t) = c et

− 2c

e2t − 3c e5t ;

z(t) = −c et

− 3c

e2t + 3c e5t .

+ y,

424.7 (4324.7).

= x + 3y − z,

(корнихарактеристическогоуравнения

r = 2, r

= 3 ± i ).

= 2 y

+ 3z − x

2,3

278

Системы дифференциальных уравнений

	Решение
dx	= 2x + y,

dt				2 − k	1	0
dt				2 − k	1	0
dy	= x + 3y	− z,		1	3 − k	−1	= 0 k1 = 2, k2,3 = 3 ± i .

dt
dt				−1	2	3 − k
dz	= 2 y + 3z		− x
dz
dt

Частные решения ищем в виде (1) задачи 424.4 (4324.4).

а) k1 = 2:

β 1 = 0,
α 1 + β 1 − γ 1 =		0,		β 1 = 0, α 1 = γ 1 .
α 1 + β 1 − γ 1 =		0,		β 1 = 0, α 1 = γ 1 .

α 1 + 2β 1 + γ 1 = 0
Пусть α	1	= γ	1	= 1. Тогда x = e2 t ,		y	= 0, z = e2 t .
	1		1		1	1		1

б) k2 = 3 + i:

(−1 + i) α 2 + β 2	= 0,
α 2 + iβ 2 − γ 2 =	0,	β 2 = (1 + i) α	2 , γ 2 = α	2 − i β 2 = α 2 − i (1 + i) α 2 =


− α 2 + 2β 2 − iγ 2 = 0

= (2 − i) α 2 .

Пусть α 2 = 1. Тогда β 2 = 1 + i, γ 2 = 2 – i; x2 = e(3+i) t ,

y2 = (1 + i) e(3+i) t , z2 = (2 − i).e(3+i) t

ПрименяяформулыЭйлера, получим:

x = e3t(cos t + i sin t), y

= (1 + i) e3t (cos t + i sin t), z

= (2 – i) e3t (cos t +

+ i sin t) или x

= e3t cos t + i e3t sin t; y

e3t (cos t + sin t) + i e3t (cos t +

+ sin t); z = e3t

(2cos t + sin t) – i e3t (cos t – 2sin t).

в) k2 = 3 – i:

(−1 + i) α 3 + β 3

= 0,

α 3 + iβ 3 − γ 3 =

β 3 = (1 – i) α 3,

γ 3

= α 3 + i β 3

= α 3 + i α 3 + α 3 =

− α 3 + 2β 3 + i γ 3 = 0

= (2 + i) α 3.

279

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Пусть α 3 = 1. Тогда β 3 = 1 – i; γ 3 = 2 + i; x3 = e(3 − i) t;

y	3	= (1 − i)e(3 − i) t ;	z	3	= (2	+ i)e(3 − i) t или x = e3t (cost − i sin t) ;
	3			3			3
y3 = (1 − i)e3t (cos t − i sin t); z3 = (2 + i) e3t (cos t − i sin t) , или
x		= e3t cost − ie3t	sin t ; y			3	= e3t (cost − sin t) − ie3t (cost + sin t) ;
3						3

z3 = e3t (2 cos t + sin t) + ie3t (cos t − 2sin t) .

За системы частных решений в случаях б) и в) можно отдельно взять действительные части и отдельно мнимые части, а именно:

x2 = e3t cos t,

y2 = e3t (cos t − sin t), z2 = e3t (2 cos t + sin t),

Тогда

x3 = e3t y3 = e3t z3 = e3t

sin t;

(cos t + sin t); (cos t − 2sin t).

x(t) = c e2 t		+ e3t		(c		2	cos t + c sin t);								y(t) = e3t [(c				2	+ c	)cost + (c	− c	2	)sin t];
1						2						3							2	3	3		2

	z(t) = c e2 t	+ e3t		[(2c				2	− c		3	) cos t + (c			2	− 2c	3	) sin t].
1								2			3				2		3

			dx		= y,

425 (4325).			dt
425 (4325).			dy
			dy		= x + e					t	+ e		−t	.
			dt		= x + e						+ e			.
			dt

Решение

Продифференцируемпервоеуравнениесистемы:

d 2 x	=	dy
dt 2		dt

d 2 x	− x = et + e−t.	(1)
dt2

Соответствующее однородное уравнение: d 2 x − x = 0 dt2

стическое уравнение: k2 – 1 = 0, k1,2 = ±1. Общее решение уравнения: x* = c1et + c2e–t.

. Характери-

однородного

280

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3228 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1108Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб27Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc