Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1108

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3226 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Линейныеуравнения

389 (4289). x2 y′′ − 9xy′ + 21y = 0 .
		Решение
		Положим y = xr		y′ = rxr−1 y′′ = r (r −1) xr−2; r(r −1) xr − 9rxr +
+ 21xr = 0; xr (r			2 −10r + 21)= 0; r2 −10r + 21 = 0;			r = 7, r = 3;		y = x7,
			(c + c		x4 ).	1	2	1
y	2	= x3; y = x3	(c + c	2	x4 ).
	2		1	2

390(4290). x2 y′′ + xy′ + y = x .

Решение

Положим x = e

t = ln

−t

= e

−t dy

. Тогда

= e

;

= dt

;

d 2 y

−t

−t d

−t dy

−2t

d 2 y

= e

−

Подставляем значения x, y, y′, y′′

в исходное дифференциальное

уравнение:

e2te−2t ( yt′′ − yt′) + ete−t yt′ + y = et

y′′ + y = et .

Характеристическое уравнение:

r2 +1 = 0,

= ± i;

y* = c cost

1,2

+ c2 sin t;

y = Aet , y′ = Aet, y′′ = Aet

A =

Итак,

y = c

cos t

+ c

sin t +

et = c

cos 1n

+ c

sin1n

x .

391 (4291). y′′ −

y′

Решение

′′

′

− y x + y = 2x .

251

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Положим x = et . Тогда (см. задачу 390 (4290))

y′x = e−t yt′ ,

y′′ = e−2t ( y

′′ − y′); e−2t e

2t ( y′′ − y′) − et e−t y′ + y = 2et

y′′ − 2 y′ + y = 2et;

r 2 − 2r +1 = 0 ;

r = 1 ;

y = (c

+ c

t) et ,

= Aett2 ,

′ = At 2et + 2 At et ,

1,2

″ = 4 Atet

+ At 2et + 2 Aet; 4 At + At2 + 2 A − 2 At 2 − 4 At + At 2 = 2

A =1;

y = (c

+ c

t) et

+ ett2 = (c + c

) x + x 1n 2

или

y = x [c

+ c

+1n 2 x ].

392(4292). x2 y′′ − 2xy′ + 2 y + x − 2x3 = 0.

Решение

Положим x = et, y′

= e−t y′,

y′′ = e−2t ( y′′

− y′′); y′′ − y′

− 2 y

′ + 2 y =

= 2e3t − et

yt′′ − 3yt′ + 2 y = 2e3t − et .

Характеристическое уравнение: r2 − 3r + 2 = 0 ; r

= 3 ±

9 − 2 =

1,2

1 ; r = 2, r =

y* = c e2t + c

et,

= Ae3t

+ Btet,

′

= 3Ae3t

+ Bet

+ Btet ,

″ = 9 Ae3t + 2Bet

+ Btet;

9 Ae3t + 2Bet + Btet − 9 Ae3t

−

− 3Bet − 3Btet

+ 2 Ae3t + 2Btet =

2e3t − et A = 1,

B = 1; y = c e

2t + c

+ e3t + tet = c x2 + c

x + x3 + x ln

393 (4293). Если ось вала турбины расположена горизонтально и если центр тяжести диска, насаженного на вал, не лежит на оси, то прогиб у оси вала (см. рисунок) при его вращении удовлетворяет уравнению

		d 2 y		1		2		2
			+		− ω		y = g cos ω t + ω		e, где m –
у		dt2	+	mα	− ω		y = g cos ω t + ω		e, где m –
у		dt2		mα
е	масса диска; α						– постоянное число, завися-
О	щееотродазакрепленияконцовАиВ; ω – угло-

252

Линейныеуравнения

вая скорость вращения; е – эксцентриситет центра тяжести диска. Найтиобщийинтегралэтогоуравнения.

Решение

Случай 1. Характеристическое уравнение

− ω

= 0

k = ± ω

−

mα

Общее решение однородного дифференциального уравнения при

ω 2 >

имеет вид y* = c ekt + c

e−kt , где k 2 = ω 2 −

mα

Частное решение ищем в виде:

= A + Bcos ω t + C sin ω

t ,

′ = −Bω

sin ω t + Cω

cosω

t ,

″

= −Bω

2 cos ω

t − Cω

2 sin ω

t ;

− Bω

2 cos ω

t − Cω

2 sin ω t +

−

mα

− Aω

− ω

B cosω

t +

− ω

C sin ω

= g cosω t + ω

mα

− Bω

− ω

= g,

mα

, C

0 , A = −

;

− Cω

− ω

= 0,

B = −

mα

ω 2

+ k 2

k 2

− ω

= ω

mα

y = c ekt + c

e−kt −

ω 2e

−

cos ω

t .

k 2

2 + k 2

Случай 2. ω

2 <

. Тогда k

= ± ki ,

k2 =

− ω 2 .

mα

1,2

mα

Общеерешениеоднородногоуравнения y* = c1 cos k t + c2 sin k t ;

253

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

A =

ω 2 R

, B =

, C = 0;

y = c

cos k t + c

sin k t +

cos ω t +

k 2

k 2 − ω 2

k 2 − ω

k 2

394 (4294). Материальная точка массы 1 г отталкивается вдоль прямой отнекоторогоцентрассилой, пропорциональнойеерасстояниюотэтого центра(коэффициентпропорциональностиравен4). Сопротивлениесредыпропорциональноскоростидвижения(коэффициентпропорциональности равен 3). В начале движения расстояние от центра равно 1 см, а скорость – нулю. Найти закон движения.

Решение

m = 1 г, V

t = 0 = 0,

k = 4,

t = 0 = 0.

R M

k1 = 3,

По второму закону Ньютона

= kOM

(k > 0) ,

mwx = Fx + Rx ,

Fx = kx = 4x ,

m&x&= 4x − 3x& ,

= −k1

= −3x .

x + 3x − 4x = 0 .

Rx = −k1Vx

Характеристическое уравнение: r2 + 3r − 4 = 0 ;

= 1, r = −4 ;

x = c1e

+ c2e

−4t

+ c2 =1,

(4et + e−4t ).

c =

, c

= 1 ;

x& = c et

− 4c

e−4t

c1 − 4c2 = 0

395 (4295). Частица массы 1 г движется по прямой к точке А под действием некоторой силы притяжения, пропорциональной расстоянию ее от точки А. На расстоянии 1 см действует сила 10–6 Н. Сопротивление средыпропорциональноскоростидвиженияиравно4 10–6 Нприскорости 1 cм/с. В момент t = 0 частица расположена на расстоянии 10 см от

254

Линейныеуравнения

точки А и скорость равна нулю. Найти зависимость расстояния от времени и вычислить это расстояние для t = 3 c (с точностью до 0,01 см).

Решение m = 1 г = 10–3 кг,

x = 0,01 м = 10–6 Н,

= 4 10–6 Н,

v = 0,01 м/c

t = 0 = 10 см = 0,1 м,

t = 0 = 0.

По второму закону Ньютона

= −k

(k > 0) , Fx = −kx ;

mWx = Fx + Rx + Px ,

= −k1V (k > 0) , Rx = −k1x&, Px = 0 , Wx = &x&;

mx = −0,1x − 0,4x .

−6

= k 0,01

k = 10

−4

;

4 10−6

= k 0,01

k = 4 10

−4

Дифференциальноеуравнениедвижения: 10

−3

= −10

−4

x − 4 10

−4

или 10x + 4x + x = 0 .

Характеристическое уравнение: 10r2 + 4r +1 = 0 , r1,2 = −0,2 ±

±0,245i ; x = e−0,2t (c1 cos0,245 t + c2 sin 0,245 t); V = dxdt =

=−0,2e−0,2t (c1 cos0,245 t + c2 sin 0,245 t) + e−0,2t (−0,245 cos 0,245 t +

+ 0,245 sin 0,245 t) ;	− 0,2c1 + 0,245c2 = 0,			c2 =	2	= 8,16	;

		c1	= 0		0,245

x = e−0,2t (10 cos 0,245 t + 8,16 sin 0,245 t) .

396 (4296). Материальная точка массы m движется по прямой из А в В поддействиемпостояннойсилыF. Сопротивлениесредыпропорционально расстоянию тела от В и в начальный момент (в точке А) равно f (f < F).

255

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Начальная скорость точки равна нулю. Сколько времени точка будет двигаться из А в В? (АВ = а.)

Решение

	V	mW = F + R + P , mWх = Fx + Rx + Рх,
A	B	mW = F + R + P , mWх = Fx + Rx + Рх,

= −k

= −k(

−

) ,

Rx = – k (a – x), Fx = F, Рх = 0.

При x = 0

= f , f = ka; Rx = −

− x);

(a − x);

mx = F −

F − f

− am =

mx = F − f + ax; x

f .

Характеристическое уравнение:

r2 −

0, r = ±

Общеерешениеоднородногоуравнения

−

+ c

x* = c e ma

ma .

Частное решение ищем в виде: х = А, x' = 0, x" = 0;

−

A =

F − f

A =

f − F

a .

Общеерешениенеоднородногодифференциальногоуравнения:

−

( f − F) a

...

−

... t

x = c e

+ c

x'=

c e

+ c

x t = 0

Используем начальные условия:

= 0,

t = 0 = 0;

= c1 − c2 ,

( f − F)

= 2c1 , c1 = ( f

− F )

;

= c + c

+ ( f − F)

2 f

x = a(F − f )

t + e−

a( f − F)

2 f

256

Линейныеуравнения

(F − f )

t + e−

f − F

При x = a

t = T

=1+

=1 ;

2 f

(F − f ) e

... T − e− ... T

e ... T − e− ... T

T = y ;

;

2 f

F − f

y2 +1

; y2 − 2F

+1 = 0 ; y =

F 2

−1 ;

F − f

(F − f )2

y =

2Ff − f

F +

f (2F − f )

;

F − f

T =

ln F + f (2F − f ) .

F − f

397 (4297). Тело массы 200 г подвешено на пружине и выведено из состоянияпокоявытягиваниемпружинына2 см, послечегоотпущено(без начальной скорости). Найти уравнение движения тела, считая, что сопротивлениесредыпропорциональноскоростидвижения. Еслителодвижется со скоростью 1 см/с, то среда оказывает сопротивление 10–3 Н; сила напряжения пружины при растяжении ее на 2 см равна 100 Н. Весом пружины пренебрегаем.

Решение

mW = F + R + P ,

mWх = Fx + Rx+ Px,

R = −kV , . Rx = –kVx = – kx,

F = c AM Fx = −c(x + λ ст) ,

Px..= 0,	.
mх = mg – c(x + λ	ст) – k х.

A		A	λ ст
	O	F
		R	x
положениеста-
тическогоравно-		M
	весия	Р
V	g
		x

257

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

В положении статического равновесия mg = c λ ст. По условию задачи

хt = 0 = 2 см,	R = 10–3 Н при V = 1 см/с = 0,01 м/с;
R = kV,	F = 100 Н при х = 2 см = 0,02 м;
Vt = 0 = 0,	k = R / V = 0,1 Н с/см;
F = c AM,	c = F / AM = 100 / 0,2 = 5000 Н/м.

m = 200 г = 0,2 кг.

Дифференциальноеуравнениедвижения: m&x&+ kx& + cx = 0 ;

0,2&x&+ 0,1x&+ 5000x = 0 или &x&+ 0,5x&+ 25000x = 0 .

Характеристическое уравнение: r2 + 0,05r + 25000 = 0 ; r1,2 =

= – 0,25 ± 0,0625 − 25000 = –0,25 ± 158,1 i.

Общее решение: x = e – 0,25t(c1 cos 158,1 t + c2 sin 158,1 t).

Используем начальные условия:

0,02 = c1,		c2 = 0,0000316 ;	x = e	−0,25 t	(0,02 cos158,1 t +
	0 = −0,25 c +158,1 c
		2
	1

+ 0,0000316 sin158,1 t) (м) .

398 (4298). Деревянныйцилиндрическийчурбанчик(S = 100 см2, h = 20 см, γ= 0,5 г/см3) полностью погружен в воду и отпущен без начальной скорости. Считая, что сила трения пропорциональна высоте погруженной части, выяснить, каковдолженбытькоэффициентпропорциональностиk, чтобы в результате первого подъема над поверхностью воды показалась ровно половина чурбанчика. Сколько времени (t1) будет продолжаться первый подъем? Каково будет уравнение движения при первом подъеме?

Решение

S = 100 см2;

h = 20 см;

Fв

уровеньводы

γ= 0,5 г/см3;

ц.т.

γ = 1 г/см3

(вода);

g = 1000 см/с2;

тр

258

Линейныеуравнения

– выталкивающая сила;

тр

– сила трения;

– вес чурбанчика.

Fв

, mW

= P

+ F

; F

= S(h – x)γ; Wx = х..;

тр

в х

тр х

в х

Fтр х= – k (h – x); Px = – P = – Shγ.

1) m&x&= m dV

= m

dV V ;

m dV V = −Shγ+ S(h − x)γ − k(h − x) .

(1)

− S γ

(h − x)2

h / 2

−

γ+

− S h γx + k

= 0;

S γ

− S h2

−

= 0

;

γ −

γ−

= 0;

γ −

γ =

k ;

k =

100

= 33

(г/см) .

2) Если X – глубина погруженной части, то X = h – x и дифферен-

циальноеуравнение(1) принимаетвид

mX&& + (Sγ − k) X = Shγ;

Shγ

100

200

Sh γ=1000

200

m =

=1 г;

Sγ− k =

100 −

; X

X =1000 .

Характеристическое уравнение: r2 + 200/3 = 0;

= ±

200 i .

1,2

Общеерешениеоднородногоуравнения: xt* = c1 cos 8,16 t +

+ c2 sin 8,16 t .

Частное решение ищем в общем виде:

= А,

′ = 0

A = 15 ;

X = 15 + c1 cos 8,16 t + c2 sin 8,16 t;

′ = 8,16(−c1 sin 8,16 t + c2 cos 8,16 t).

259

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Используем начальные условия: t = 0, X = 20, V = 0

20 =15 + c	,	c	= 5,	X = 5(3	+ cos 8,16 t) .
1		1		X = 5(3	+ cos 8,16 t) .
0 = c2		c2	= 0;

t1 – время первого подъема (X = 10 см); 10 = 15 + 5 cos 8,16 t1 1 = = cos 8,16 t1 8,16 t1 = π ; t1 = 3,14/8,16 = 0,38 c.

399 (4299). Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. В начальный момент времени на расстоянии а0 от оси внутри трубки находился шарик массы m. Считая, что в начальный момент скорость шарика относительно трубки равна нулю, найти закон движения шарика относительно трубки.

Решение

Движение шарика в трубке –

N W

относительное. УскорениеКорио-

лиса

Wc = 2ω

× Vr .

Уравнение относительного

Fcu

движениешарика:

(1)

= F + F u + F u ,

гдеWr – ускорениеотносительногодвижения; Fa – векторактивнойсилыиси-

лыреакции, вданномслучае

;

F u

– силаинерциипереносного

движения,

F u

;

F u

– силаинерцииКориолиса,

F u

= −mW

Спроектируем (1) на ось Ох:

− ω

x = 0.

(2)

mWrx = Fex = −mWex = mWe = mω

Характеристическое уравнение: r2 − ω

2 =

0, r = ±ω ; x = c eω

t +

(c1e

+ c2e

−ω

, x′ = ω

+ c2e

−ω

a = c1 + c2

c1 = c2 = a / 2;

); 0

= c

− c

x = a

eω

t + e−ω

260

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3226 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1108Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб27Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc