Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1096

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Уравнения первого порядка

170 (4070). y′ = y2 + x y − x2 . y2

Решение

−1 y

+ u −1

′

+ u

′

= x u

+ u

; x u

u u

, x = u ,

= −u

+ u

+ u −1 ;

−

u2du

;

−

−1)

(1 + u)

(u −1)

(1 + u)

(u −1)

− u2 = Au + A + Bu2 − B + Cu2 − 2 Cu + C ;

u −1

1 + u

B + C =1,

u′

A − 2C = 0,

A = −

B = −

C = −

; ln

+ C1 =

−

2 (u −1)

− B + C =

−

u −1

−

u +1

; 4 ln

+ C2

− 3 ln

u −1

− ln

u +1

;

u −1

x4 ( y − x)3

( y + x)

2 x

= C ;

2 x

+ 3 ln

y − x

+ ln

+ x

= C .

x − y

171 (4071). y′

(x + y)2

Решение

u2du

= dx ; ∫

(u2

+ a2 ) − a2

x + y = u , 1 + y′ = u′ , u′

−1 =

du =

+ u

+ a

101

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

= x + C1 ; ∫ du − a2 ∫	du	= x + C1	u − a arctg	u	= x + C1 ; x + y −
	u2 + a2			a

− a arctg	x + y		= x + C
	a
			1
		y
x + y = a tg			+ C .
		a

y − C1	= a arctg	x + y		x + y		y
			;		= tg		+ C ;
		a		a
						a
						a

172(4072). y′ ( y2 − x) = y .

Решение

y2 = z , 2 yy′ = z′ , y′ =

z′

(z − x) = y

z′ (z − x) = 2 z

z − x

2 y

2 z

= x′ ;

= u

, x′

= u + z u′ , 1 − u = 2 u + 2 z u′

1 − 3 u = 2 z u′ ,

z′x

2 du

ln z = −

ln 1 − 3u + ln C1

z =

1 − 3 u

(1 − 3u)

z3 =

C13

y6 =

C13 y4

(C3

= C2 ), y2 =

(y2 − 3 x)2

(1 − 3u) 2

(y2

− 3 x)2

y3 − 3 xy = C .

y2 − 3 x2

173 (4073).

2 x dx

dy = 0 .

Решение

2 x3

x′ +

−

3 x4

= u, x′y = u′ y + u; 2 u3 (u′ y + u) + u2 − 3 u4 = 0;

2 u du

−1

= ln

x2 − y2 = Cy3 .

u2 −1

102

Уравнения первого порядка

174 (4074). (2 y + xy3 )dx + (x + x2 y2 )dy = 0 .

Решение

P = 2 y + xy3 ; Q = x + x2 y2 ,

∂ P

= 2 + 3xy2 ,

∂ Q

=1 + 2xy2

∂ P

≠

∂ P

∂ y

∂ x

∂ y

ЕслиМ– интегрирующиймножитель, аданноеуравнениеестьурав-

нениевполныхдифференциалах, то

∂ u

= (2 y + xy3 )M ,

∂ u

= (x +

∂ x

∂ y

+ x2 y2 )M .

Пусть М = М(х). Тогда (см. задачу 156 (4056))

∂ P

−

∂ Q

∂ ln M

2 + 3xy2 −1 − 2xy2

∂ y

∂ x

ln M = ln x и

M = x ;

∂ x

x + x2 y2

∂u = 2 yx + x2 y3 , u = ∫(2 yx + x2 y3 )dx

∂x

∂ u	= x	2	+ x	3	y	2	+ ϕ	′
∂ y
								( y) .
	Но		∂ u	= x2			+ x3 y2 ϕ ′( y) = 0 , ϕ
			∂ y

+ ϕ ( y) ; u = yx2 +	x3 y3	+ ϕ ( y)

3

( y) = C1 .

Так как du = 0 , то u = C2

– общее решение. Значит, yx2 +

+ C

= C

3x2 y + x3 y3

= C (C = 3(C

− C )) .

175 (4075).

2xy + x2 y +

dx + (x2 + y2 ) dy = 0 .

Решение

Обозначим

x2 y +

= z

2xy + x2 y′ + y2 y′ = z′ ; 2xy + y′(x2 +

103

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

+ y2 ) = z′

(x2 + y2 )y′ = z′ − 2xy .

(1)

Подставим (1) в исходное уравнение:

2xy + z + z′ − 2xy

176 (4076). y′ =

Решение

1 + y = z, y′ = z′,

= 0

= −x; z = Ce

−x

или

= Ce

(1 + y)2

x ( y +1) − x2

z′ =

;

= u,

z′ = u′x + u,

u′x + u =

xz − x2

u −

u′xu + u2 − u′x − u = u2

u′x (u −1) = u

u −1

du =

= ∫

;

u − ln

= ln

+ C ;

1 + x

− ln

+ y

+ ln

1 +x y − ln 1 + y = C .

177(4077). x dy + y dx + y 2 ( x dy − y dx) = 0 .

Решение

y (1 − y2 ) dx + x (1+ y2 ) dy = 0	dx	=	(1 + y2 ) dy			;
	x		y ( y	2	−1)

;

∫

u −1

= ln

+ C;

1 + y2		=	A	+
y ( y2 −	1)		y

+ yB−1 + yC+1 ; 1 + y2 = Ay2 − A + By2 + By + Cy2 − Cy ;

A + B + C = B − C = 0,

− A = 1

1,		A = −1,
		B =1,
		B =1,
		C = 1;
		C = 1;

ln | x | + ln | C |= −ln | y | +ln | y −1| +ln | y +1|,

Cx =	y2 −1	или C xy = y2 −1.
Cx =	y	или C xy = y2 −1.

104

Уравнения первого порядка

178 (4078).

−

dy = 0 .

(x − y)2

Решение

∂ P

∂ Q

∂ u

P =

−

; Q =

−

;

−

u =

(x − y)2

∂ y

∂ x

(x − y)2

∂ u 2 y(x − y)+ y2

−

dx + ϕ ( y) = ln | x | +

+ ϕ ( y);

= ∫

− y

∂ y

(x − y)

′

2 yx − y2

′

2 yx − y2

+ ϕ

( y) = (x − y) 2

+ ϕ

( y);

(x − y)2 + ϕ ′ ( y) = (x − y)2 − y

2 yx

− y

ϕ (y)=

∫

ϕ ′ ( y) =

−

=1 −

1 −

(x − y)

= y − ln | y | +C

; u = ln | x | +

+ y − ln | y |= C; ln

x y

= C.

x − y

179 (4079). y′ = x

y +

xy .

x2 −1

Решение

y = z; y = z2, y′ = 2 zz′, 2 zz′ = xz +

x z2

2z′ = x +

, z = u v,

x2 −1

′

x uv

+ 2 uv

= x +

2 u′v + u 2v′ −

= x;

= u v

+ v u,

2 u v

−1

x2 −1

x dx

; v = 4 x2 − 1; 2 du 4

−1 = x

du =

x2 −1

105

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

=	4	x dx			1 4	(x2 −1)3 + C;	z =	1	(x2	−1) + C 4	x2 −1;
2	4	x	2	−1	3			3
2		x		−1

3 y = C 4 x2 −1 + x2 −1.

180(4080). y sin x + y′ cos x = 1.

Решение

y′ + y tg x =

, y = u v ,

y′ = u′ v + v′ u ; u′ v + v′ u + u v tg x =

cos x

′

sin x

v + u (v

+ v tg x) = cos x ;

v′ + v tg x = 0

v = − cos x ln | v | =

= ln | cos x | ,

v = cos x ;

u = tg x + C ;

y = sin x + C cos x .

cos2 x

181 (4081). y′ − y + y 2 cos x = 0 .

Решение

Это уравнение Бернулли. Разделим исходное уравнение на у2: y−2 y′ − y−1 + cos x = 0. Положим y −1= z z′ = − y −2 y′ и выполним соответствующее преобразование:

− z′ − z + cos x = 0 или z′ + z − cos x = 0 , z = uv ; u′v + v′u + uv − cos x = 0 ,

u′v + u (v′ + v) = cos x ; v′ + v = 0	dv	= −dx	v = e−x ; du e−x = cos x ,
	v		dx
u = ∫ ex cos x dx ; [ex = u1 , du1 = ex dx, dv1 = cos x dx, v1 = sin x];
∫ex cos x dx = ex sin x − ∫ex sin x dx ;		[e x = u2 , du2 = e x dx, dv2 =

= sin x dx, v2 = −cos x]; ∫ ex cos x dx = ex sin x + ex cos x − ∫ ex cos x dx

106

Уравнения первого порядка

u = ∫ e

(sin x + cos x) + C ;

cos x dx

z = 2 (sin x +

+ cos x + Ce−x ) = y−1 ;

y =

или

(sin x + cos x) + Ce−x

y =

2 ex

C + ex (sin x + cos x)

182 (4082).

y′ =

cos

sin y + tg2 x

y′sin

cos y = cos

sin y + tg2 x .

sin

cos y

Решение

Пусть sin y = z . Тогда cos y y′ = z′; z′ sin x = z cos x + tg2 x

z′ − z ctg x =

sin x

z = uv ,

z′ = u′v + v′u ,

u′v + u (v′ − v ctg x) =

sin x

;

cos x2

cos2 x

cos

v = sin x

;

sin x =

sin x

u = tg x + C ;

sin x

cos2 x

z = sin x tg x + C sin x = sin y

sin y

− tg x = C .

sin x

183 (4083). xy′ cos

= y cos

− x .

Решение

= u ,

y′ = u′x + u ,

x2u′ cos u + x u cos u = x u cos u − x cos u du =

= −

Cx = e−sin u

sin

sin u = −ln | Cx |;

x e

= C.

107

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

184 (4084). x cos

+ y sin

y dx +

x cos

− y sin

x dy = 0 .

Решение

xcos

+ ysin

+ xcos

− ysin

y′ = 0

;

= u ,

y = u x ,

y′ = u′ x + u ; u x cos u + u2 xsin u + x2u′cos u + x u cos u − u u′ x2 sin u −

− u2 xsin u = 0

2 u x cos u = u′ x2 (u sin u − cos u);

= 1

u sin u − cosu du;

∫

∫ − (d cosu) − ∫

;

ln | C1

x | =

u cosu

cos u

= − 1 ln | u cosu |

C x =

C2 x2

= 1

; C 2

x2 =

u cosu

y cos

x y cos

= C .

185 (4085). y′ =

− tg y.

cos y

Решение

y′ cos y = x − sin y. Обозначим sin y = z

y′cos y = z′. Тогда z′ + z = x,

z = u v , z′ = u′v + v′u , u′v + u (v′ + v)= x , v′ + v = 0

= −dx

v = e−x ;

= x ex

u =

∫

x ex dx = x ex

− ex + C ;

x = u , du = dx, ex dx =

= dv ,

v = ex

; z = x −1 + Ce−x ;

x −1 + Cex = sin y .

108

Уравнения первого порядка

186 (4086). y − y′ cos x = y2 cos x (1 − sin x).

Решение

y−1 − y−2

y′ cos x = cos x (1 − sin x) – уравнениеБернулли;

y−1 = z ,

− y−2 y′ = z′ ;

z + z′cos x = cos x (1 − sin x) ;

z = u v ,

z′ = u′ v + v′ u ,

u v

+ u′ v + v′ u =1 − sin x ;

u′ v + u v′ +

− sin x ;

v′

cos x

= −

ln | v |= − ln

;

v = ctg

cos x

1+ cos

+ x

− sin x

1− sin x

;

=1− sin x ; du = cos x dx ;

cos x

sin

+ x

u = sin x + C ;

y =

cos x

cos x (1 + sin x)

;

u v

(C + sin x)(1 − sin x)

(C + sin x)cos2 x

y =

sec x + tg x

C + sin x

x2 + y2

187 (4087). 2 yy′ = e( x2 + y2 ) / x +

−

2 x .

Решение

z / x

+ y = z

′

Обозначим x

2 x + 2 y y

= z

; z

= e

+ x ,

x = u ,

z = u x , z′ = u′ x + u ; u′ x + u = eu + u ;

x = eu ; e−u du

− e−u =

= ln | Cx | ; ln | C x |= −e ( x2 + y2 ) / x .

109

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

188 (4088). (1+ ex / y )dx + ex / y

1−

dy = 0 .

Решение

= u , x = y u ,

′

+ e

) (u′y + u) + e

− u)

= u y + u

u′ y + eu u′ y + u + u eu + eu − u eu = 0 ; u′y (1 + eu ) = −(u

1 + eu

du = −

; ∫

d (u + eu )

= −∫

u + eu

x / y

C = y

+ e

х/у

; C

= x + y e

= 0 ;

+ eu ) ;

u + eu = Cy ;

189 (4089). Найтилинию, укоторойподнормальвлюбойточкетакотносится к сумме абсциссы и ординаты, как ордината этой точки к ее абсциссе.

Решение

Уравнение нормали MN Y − y = −

(X − x).

y′

М(х, у)

Для точки N X = XN , Y = 0. Тогда XN = X +

+ xy',

PN = X N − X P = X + y y′ − x = yy′;

или

y y′

y′ =

x + y

или

x + y

P N

′

y′ =1 + x ,

x = u , y = u x ,

= u

x + u ,

u′ x + u = 1 + u

u′ x = 1 и du =

, u = ln

; y = xln

190 (4090). Найти линию, обладающую тем свойством, что отрезок касательной в любой ее точке, заключенный между осью Ox и прямой y = ax + b, делится точкой касания пополам.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1096Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб26Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc