Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1096

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3218 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...

= dx

= C dx ;

y − C

= C x + C′

y − C =

C1(y − C1 )

y − C1

= e

C′

C x

y = C + C

C x

– общее решение.

e 1

Дляполученияособогорешенияпродифференцируемуравнение(2)

по C1 и решим систему

= y − 2C1,

C1 =

p =

= dx;

= C y

− C2

C −

= x y =

− особое решение.

C − x

Ранееуравнение(1) делилина p2 ≠

0, ноеслир= 0, то y′ = 0 и y = C –

такжерешениедифференциальногоуравнения.

282 (4182). xy′′ −

(y′′)2

− y′ = 0.

Решение

y′ =

p , y′′ =

p′ ; xp′ −

4 p′2 − p = 0 – уравнение Клеро. Общее его реше-

ние Cx −

C 2

= p ;

= Cx −

y =

−

C 2 x

+ C2

y = C1x(x − C1 )+ C C1

Для получения особого решения составляем систему:

Cx −	C	2	− p = 0,
				x3

x − C = 0 3

Взадачах283 (4183)–288 (4188) решитьуравненияприпомощиподхо- дящей подстановки: yy'= p , (y')2 = p , xy'= p , yy' = p и т. д.C =1 , + C .2x2 − x2 ; y =y′ =4

171

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

283 (4183). xyy′′ + x (y′)2 = 3yy′.

Решение

x (yy′′ + y′2 )= 3yy′ ;

Положим yy′ = p . Тогда yy′′ + (y′)2 = p′

xp′ = 3 p

= 3

= ln

Cx3

p = Cx3, yy′ = Cx3,

y dy = Cx3dx ,

Cx4

+ C′ ,

= C x4 + 2C′

; y2 = C x4

+ C

, где

′

, C2 = 2C2 .

284 (4184). xy′′ = y′ (e y −1).

Решение

′

= p; y

′

+ xy

′′

′

p′ = e

y′

dp = e

dy, p

= e

+ C1 ,

= p , xy′′ + y′ = y′e

xy′ = e y + C1

;

e y

+ C

= z, e y = z

− C , y = ln (z − C ),

+ C1

; ln

C′ x

−

dz ;

C′ x

∫

C ∫

z − C

z(z − C

)

z − C

′C1

e y

= C3 x

(C3 = C2

);

e y + C

= C3 x

C C xC1

C xC1

1 3

= ln

− C xC1

C − xC1

− x

285 (4185).

yy′′ + (y′)2 = x .

			1
C	2	=	1	.
C		=		.
			C3
			C3

172

Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...

Решение

yy′ = p ; yy′′ + (y′)

= p′

p′ = x

p =

+ C′

; y

+ C′

y dy =

+ C′

+ C′x + C′ ;

y2 =

+ 2C′x + 2C′

y = x3 + C x + C

(C = 2C′

, C

= 2C′ ).

286 (4186). y′′ +

y′ −

= 0 .

Решение

′

− y

′

y x

x = u; u

= x − x2 , y = xu , y′ = xu′ + u, y′′ = xu′′ + 2u′,

xu′′ + 3u′ = 0, u′ = z, xz′ + 3z = 0

= −3

= ln

z =

;

= −

u = −

+ C

y = C x +

d 2 y

287 (4187).

−

− y

= 0 .

dx2

Решение

et + wet

x = et , y = wet

w =

;

+ w ;

dx2

d 2w

= e−t

;

e2t wet e−t

−

173

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

		t dw		t	t
−	e			+ e	w − e	w
			dt

2		d 2 w			dw		dw	2	dw
= 0	; w			+ w		=		,		= p ,
		dt	2		dt				dt
							dt

d 2 w

′

= p

, wp

+ wp = p

+ w

= p , p = uv , pw = u v + v u ;

dt2

wu′v + u(wv′ − v)+ w = 0 , wv′ − v = 0

dv = dw v = w ; w2 du

= −w ,

= −1

du = −

u = −ln

′w

; p = −wln C′w ,

= −wln C′w ;

− ∫

= ∫ dt + ln C2−1

−ln (ln w C1′)= t + ln C2−1 ;

ln (ln wC1′)−1 =

wln C′w

−1x)

(C −1x)

−1

= ln

ln w C′

′ = eC2 / x ; y = x C eC2 x

= C

C′

288 (4188). yy′′ = y′ (2

yy′ − y′).

Решение

yy′ = p , p′ = y′2 + yy′′ ; yy′′ + y′2 = 2 y′ yy′ , p′ = 2 y′ p , dp

= 2dy ;

2 y + C1′ = 2 p

y + C1 = p

p = (y + C1 )2 ; yy′ = (y + C1 )2

y dy

= dx x + C2 = ∫

(y + C1 )− C1

= ln

y + C1

;

(y + C

+ C

y + C1

x + C2 = ln

y + C1

+ C1

В задачах 289 (4189)–299 (4199) найти частные решения уравнений приуказанныхначальныхусловиях.

174

Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...

289 (4189). y′′(x2 +1)= 2xy′ ; y

x = 0 = 1 ,

y′

x = 0 = 3 .

Решение

y′ = u , y′′ = u′ , u′(x2 +1)= 2xu ,

u = (x2 +1)C , т. е.

2 +1

y′ = C (x2 +1), C = 3

; dy = 3 (x2 +1)dx

y = x3 + 3x + C

; C =1

y = x3 + 3x +1 .

290 (4190). xy′′ + x (y′)2 − y′ = 0 ;

x = 2 = 2 , y′

x = 2 = 1 .

Решение

Перепишем исходное уравнение так:

y′ − xy′′

= x . Левая его часть

(y′)2

′

есть

, значит,

= x .

y′

Интегрируя обе части последнего равенства, имеем:

+ C =

C = 0 ;

y = ln x2 + C

;

2 =

y′

= 2 − ln 4 и y = ln x2 − ln 4 + 2 или y = 2 + ln

291 (4191). y′′ =

y′

;

x = 2 = 0 ,

y′

x = 2 = 4 .

y′

Решение

y′′x − y′

y′ ′

y′

y′ ′

y′

= 1;

= p ;

y′

ln 4 + C C =

pp′ =1 p dp	=1
dx

175

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

y′

y′2

p dp = dx

+ C = x

C = 0;

= x, y′ = 2x

y = 2x5 2 + C ;

C = −16

y = 2 x2 2x − 16 .

292 (4192).

2 y′′ = 3y2 ;

x = −2

= 1, y′

x = −2

= −1.

Решение

p = y′ , y′′ = 2 p

= 3y2

2 p dp = 3y2dy; p2 = y3 + C ,

p =

= ± y3 + C

, y′ = ± y3 + C ,

y′

= −1:

−1 = − 1 + C

C = 0 .

а) dy

x = −2

= y3

x =

∫

y−3 / 2dy + C2

= −

+ C2 , − 2 = C2 − 2 ; C2 = 0 ;

x = −

y = 4

(это решение не подходит, так как не удовлетворяет

начальным условиям);

б) dy

= − y3

x = −

∫

y−3 / 2dy =

+ C2, − 2 = 2 + C2 ; C2 = − 4 ;

x = − 4 + 2

y =

(x + 4)2

293 (4193). yy′′ = ( y′)2 − ( y′)3 ;

x =1

=1, y′

x = 1

= −1.

Решение

y′ = p , y′′ = p

= p2 − p3

p (1 − p)

1 − p

176

Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...

= ln

y C

y′

= y C; −

= C;

y′

y − 2

− y′

y′ −1

y − 2

dy = dx, y − 2ln

= x + C ; 1 = 1 + C

C = 0

; y − x = 2ln

294 (4194). y3 y′′ = −1; y

x = 1

=1,

y′

x = 1

= 0 .

Решение

y′ = p, y′′ = p

, y3 p

= −1

p dp = −

;

2 y2

′

1 − y2

p =

y2 + C

, y

= y2 + C , 0 = 1 + C

C = −1; y′ =

y dy = dx , − 1 − y2 = x + C ;

C = 1;

1 − y2 = (x −1)2, 1 − y2 =

1 − y2

= x2 − 2x +1 ; y = 2x − x2 .
295 (4195). y4 − y3 y′′ =1;			y		x	= 0	=

Решение
y′ = p, y′′ = p	dp	, y4 − y3 p		dp		=1,
				dy
	dy

2	, y′	x = 0	=	2 .
		x = 0		2

y4 −1	dy = p dp	C + y2	+	1	= p2 ;

y3		1		y2

; y2

− 2 = p2

dy 2

− 2 y2 +1

C + 2

C = −2

;

y dy

= dx ,

y2 −1

= x + C2 , C2 = 0 ; y2 −1 = e2x

y = 1 + e2 x .

y2 −1

177

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

296 (4196). y′′ = e2 y ; y					x = 0	= 0 ,	y′	x = 0	= 1.
296 (4196). y′′ = e2 y ; y						= 0 ,	y′		= 1.
Решение
Решение
y′ = p, y′′ = p dp	,	p	dp	= e2 y, p dp = e2 y dy; p2 = e2 y + C1, C1 = 0 ,
y′ = p, y′′ = p dp	,	p	dy	= e2 y, p dp = e2 y dy; p2 = e2 y + C1, C1 = 0 ,
dy			dy

p = e y, e− y dy = dx , − e− y = x + C2 ; −1 = 0 + C2 , C2 = −1, − e− y = −1 + x ,

− y = ln 1− x ; y = −ln 1 − x .

297(4197). 2( y′)2 = y′′( y −1) ; y x = 1 = 2 , y′ x = 1 = −1 .

Решение

y′ = p , y′′ = p

;

2 p2

= p

( y −1) ; 2 p =

( y −1)

;

y −1

2 p

y −1

; 0 =

− C

; C = −1 ;

y −1 = − p , ( y −1)2 =

= − p

−

= ( y −1)2 ;

−

= dx ;

= x C2 ; C2 = 1

y =

1 + x

( y −1)2

y −

298 (4198). x4 y′′ = ( y − xy′)3 ;

=1,

y′

x = 1

=1 .

Решение

x = et ,

y = uet. Далее решение аналогично задаче 287 (4187):

−t

y′

+ u, y′′ = e

−t

; e

− e

= p ,

d 2u

= p

p dp

+ p = − p3

= −du

1 + p2

dt 2

arctg p = −(u + C )

p = −tg (u + C );

− u =

−

;

178

Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...

0 C

p =

= 0 ;

0 = −tg

+ C

1+ C =

= − p = −tg (u + C )

x = 1

= −tg (u −1) ; −

= dt

− ln sin (u −1) = t + C′

∫ − tg (u −1)

sin (u −1) =

C2 = 0

= 0

;

sin

−

;

−1

y = x .

299 (4199). y′′ = xy′ + y +1;

x = 0 =1 ,

y′

x = 0 = 0 .

Решение

y +1 = z , y′ = z′ , y′′ = z′′

z′′ = xz′ + z

z′′ − xz′ − z = 0

(z′ − xz)′ =

= 0

z′ − xz = C

; z

= 2 ; z′

= 0

C = 0 ;

= xz

x = 0

= x dx

z = C2ex2 / 2; C2 = 2

z = 2ex2 / 2

y = 2ex2 / 2 −1.

300 (4200). Какая линия обладает тем свойством, что радиус кривизны влюбойееточкепропорционалендлиненормали? Принятькоэффициент пропорциональностиk = –1, +1, –2, +2.

Решение

По условию ρ = kn .

ρ =

(1 + y

′2

)

3 / 2

, n = y

1 + y′2 (см. задачу

y′′

104 (4004)).

Дифференциальноеуравнениезадачи

′2

′′

1 + y

(1)

= kyy .

′′

Положим y′ = p ,

= p dy

; 1 + p

179

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

1 + p2

2 / k

= kyp

1 +

y C

p =

2 / k

−1 .

Общийинтегралдифференциальногоуравнения(1)

∫

= x

+ C2 .

(C / y)2 / k

−1

1) k = −1 :

∫

= x + C

− C 2

− y2 = x + C

(C / y)2

−1

(x + C2 )2 + y2 = C12

– семейство окружностей.

2) k = 1:

∫ (y / C1 )2 −1

= x + C2

C1 ln

−1

= x + C2

arch

x + C2

Если

= C

, то arch C

y = C

x + C

; C y = ch (C x +

+ C4 )

y =

ch (C3 x + C4 )

– цепная линия.

3) k =

2 : ∫

= x + C2

2 C1

y − C1 = x + C2

y / C −1

y =

(y + C2 )2

– семейство парабол.

4C1

180

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3218 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1096Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб26Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc