Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1095

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Уравнения первого порядка (продолжение)

X0 : Real = 1;

XN : Real = 2;

Y0 : Real = 0;

N = 20;

Var

h : Real;

m : Integer;

X, Y : Array [0..N] Of Real;

Begin

X[0] := X0;

Y[0] := Y0;

h := (XN - X0)/N;

For m := 1 To N Do Begin

Y[m] := Y[m - 1] + h*F(X[m - l],Y[m - 1]);

X[m] := X0 + m*h;

End;

WriteLn('x = ',X[N]:4:2,' y = ',Y[N]:4:2);

End.

x = 2.00 y = 1.71.

205 (4105). Дано: уравнение y	′	xy
		= 2	и начальное условие y	x = 0 = 1.

Решитьэтоуравнениеточноинайтизначениеy приx = 0,9. Далее, найти это значение при помощи приближенного метода, разбивая отрезок [0; 0,9] на 9 частей. Указать относительную погрешность последнего результата.

Решение

′

2 dy

= x dx

2 ln

+ ln C =

C = e

/ 2

C = 1, y = ex2 / 4

При x = 0

y = 1

– точное решение.

Составим программу решения дифференциального уравнения по методу Эйлера на языке PASCAL (здесь Z – точное решение, D – относительная погрешность).

Program Eler;

Function F(X, Y : Real) : Real;

121

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Begin

F :== X*Y/2;

End;

Const

X0 : Real= 0;

XN : Real = 0.9; Y0 : Real= 1;

N = 90;

Var

h, Z, D : Real; m : Integer;

X, Y : Array [0..N] Of Real; Begin

Z := Exp (Sqr(0.9)/4) ; X[0] := X0;

Y[0] := Y0;

h := (XN - X0)/N;

For m := 1 To N Do Begin

Y[m] := Y[m - 1] + h*F(X[m - l],Y[m - 1]); X[m] := X0 + m*h;

End;

D := Abs(Z - Y[N])*100/Z;

WriteLn('x = ',X[N]:7:5,' z = ',Z:7:5,

' y = ',Y[N] :7:5, ' D = ',D:5:3)

End.
0.90000 z = 1.22446 y =		1.22134		D = 0.254.
206 (4106). Дано: уравнение y′ =		3x2
			иначальноеусловие y		x = 1
	x3
		+ y +1

;

= 0 .

Решитьэтоуравнениеточнои, пользуяськаким-либоизприближенных методовинтегрированияуравнений, вычислитьзначениеx приy = 1 (сравнить со значением x, получаемым при точном решении).

Решение
y′ =	3x2	x′ =	x3 + y +1	3x2 x′ = x3	+ y +1; обозначим х3	= z.
			3x2
x3 + y +1

122

Уравнения первого порядка (продолжение)

Тогда 3x

′

− z = y +1; z = uv;

z′ = u′v + v′u; uv

′

+ u(v

′

− v) = y +1;

= z ; z

v′ − v = 0

= y +1 u =

∫

− y

v = e ;

( y +1) e dy (u

= y

+1, du =

= dy, e− y dy = dv1, v1 = −e− y ); u = −( y +1) e− y + ∫e− ydy = −e− y ( y +

+ 2) + C, x3 = −( y + 2) + Ce y.

При x = 0 y = 0

1 = –2 + C

х3 = 3еу – (у + 2). При y = 1

x = 3 3(e −1) ≈ 1,72720 – точное решение.

ПриближенноерешениенайдемпометодуЭйлера. Программанаязыке PASCAL аналогичнапрограммезадачи203 (4103). Имеемхприбл = 1,72743.

207 (4107). y′ = y 2 + xy + x2. Найти по методу последовательных приближенийвтороеприближениедлярешения, удовлетворяющегоначальномуусловию y x = 0 = 1.

Решение

Последовательность функций, называемых приближенными решениями, строитсяпоправилу:

yn (x) = y0 + ∫x

f (t, yn − 1) dt, y0 = 1, x0 = 0; y1 (x) = y0 +

+ ∫(y02 + ty0 + t2 )dt или y1(x) = 1 + ∫(1 + t + t 2 )dt = 1 + x +

;

y2 (x) = y0 + ∫x (y12 + ty1 + t2 )dt

или y2 (x) = 1 +

+ ∫

1+ t

+ 2t + t

+ t

123

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

		x								13							5						t5					t6
×	dt = ∫		1	+ 4t			2	+					t	3		+			t	4	+				+ 3t +				dt =
×	dt = ∫		1	+ 4t				+			6		t			+	4		t		+		3		+ 3t +			9	dt =
	0										6						4						3					9
	0
= 1 + x +			3	x	2	+		4	x		3	+			13		x	4		+		x5		+		x6	+	x7	.
= 1 + x +			2	x		+		3	x			+		24			x			+	4			+		18	+	63	.
			2					3						24							4					18		63

208 (4108). y′ = x y3 −1. Найтиприх= 1 значениетогорешенияданного уравнения, котороеудовлетворяетначальномуусловию y x = 0 = 0. Огра-

ничитьсятретьимприближениемпометодупоследовательныхприближений.

Решение

y′ = xy3 −1, y

x = 0 = 0; yn (x) = y0 + ∫x

f (t, yn−1) dt ; y1(x) = ∫x −1 dt = −x;

y2 (x) = ∫(−t

−

1) dt = −

− x ;

y3 (x) =

∫

−

− t

−1

125

x17

3x13

3x9

dt = −

+ x

;

(1) = −

125 17

25 13

5 9

125 17

25 13

	3		1
+		+		+1	= −(0,0004 + 0,0092 + 0,066 + 0,2 +1) = −1,28 .
+	15	+	5	+1	= −(0,0004 + 0,0092 + 0,066 + 0,2 +1) = −1,28 .

Взадачах209 (4109)–216 (4116) найтинесколькопервыхчленовразложениявстепеннойрядрешенийуравненийприуказанныхначальных условиях.

209 (4109). y′ = y3 − x ; y x = 0 = 1 .

Решение

ПриближенноерешениеищемввидерядаМаклорена y (x) = y (0) +

+ y′(0) x + y′′(0) x2 + y′′′(0) x3 + ...

2! 3!

124

Уравнения первого порядка (продолжение)

Приуказанныхначальныхусловиях: y (0) = 1;

y′(0) = 1;

y′′( x) =

= 3y

y′ −1

y′′(0) =

′′′

6 y y

′

′′

′′′

(IV )

( x)

y (x) =

(0) = 12 ;

= 6 y′2 + 6 yy′′ + 6 yy′′ + 3y 2 y′′′

y (IV) (0) = 78 ;

y = 1+ x + x

+ 2x

+ ... .

210 (4110).

y′ = x2 y2 −1; y

x = 0

= 1.

Решение

y (0) =1 ; y′(0) = −1;

y′′(x) = 2xy 2 + 2x2 yy′

y′′(0) = 0 ; y′′′ = 2 y 2 +

+ 8xyy′ + 2x2 y′2 + 2x2 yy′′

y′′′(0) = 2 ;

y(IV) = 4 yy′ + 8 yy′ + 2xy′2 +

+ 8xyy′′ + 4xy′2 + 4x2 y′y′′ + 4xyy′′ + 2x2 y′y′′ + 2x2 y′y′′′ ; y IV (0) = −12

y (x) = 1 − x +

−

+ ... .

211 (4111). y′ = x2 − y 2;

x = 0 = 0 .

Решение

y (0) = 1; y′(0) = 0; y′′( x) = 2 x + 2 yy′

y′′(0) = 0;

y′′′ = 2 − 2 y′2 − 2 yy′′

′′′

= 2 ; y

(IV)

= −6 y′y′′ −

2 yy′′′

(IV)

(0) =

0 ;

(V)

= −6 y′′

− 8 y′y′′′ −

(0)

− 2 yy (IV)

y(V) (0) = 0 ;

y(VI) = −20 y′′y′′′ −10 y′y(IV) − 2 yy (V)

(VI)

(0) = 0;

(VII)

= −20 y

′′′

′′ (IV)

′′

(IV)

−

′ (V)

−

′ (V)

−

− 20 y y

−10 y y

10 y y

2 y y

− 2 yy(V)

y(VII) (0) = −80 ;

y(x) =

x3 −

+ ... .

7 9

212 (4112).

y′ =

− x

+1;

x = 0 =1 .

125

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Решение
y (0) =1 ; y′(0) = 2 ; y′′ =	− 2xy − y′(1 − x2 )	y′′(0)	= −2 ;	y′′′ =
y (0) =1 ; y′(0) = 2 ; y′′ =	y2	y′′(0)	= −2 ;	y′′′ =
	y2

(−2y − 2xy′ − y′′(1

− x2 ) + 2xy′) y2 + 2 yy′(2xy + y′(1− x2 ))

y = 1 + 2x − x

− ... .

213 (4113). y′ =

x = 0 = 0 .

;

1+ x + y

Решение

y (0) = 0 ; y′(0) = 0 ; y′′ =

( y + xy′) (1+ x + y) − (1+ y′) xy

(1+ x + y)2

y + y2 + x2 y′xy′

y′′(0) = 0 . Вообще y(n) (0) = 0 , y = 0.

(1 + x + y)2

214 (4114). y′ = e y + xy ;

x =

= 0 .

Решение

y′(0) =1; y′′ = e y y′ + y + xy′

y′′(0) = 1; y′′′ = e y y′2 + e y y′′ +

y′′′(0) = 8;

2 y′ +

+ xy′′

y′′′(0) = 4; y = x +

x3 + ....

215 (4115). y′ = sin y − sin x ;

x = 0 = 0 .

Решение

y′(0) = 0; y′′ = y′cos y − cos x

y′′(0) = −1; y′′′ = y′′cos y + y′2 (−sin y) +

+ sin x

′′′

y (0) = −1; y = x +

3! + ... .

126

Уравнения первого порядка (продолжение)

216 (4116). y′ = 1 + x + x2 − 2 y2; y x = 1 =1.

Решение

y′(1)	= 1; y′′ = 1 + 2x − 4 yy′; y′′′ = 2 − 4 y′2 − 4 yy′′; y′′′(1) = 2;
y =1	+ (x −1)	+	(x −1)	2	+	2(x −	1)3	+ ... .
y =1	+ (x −1)	+	2!		+	3!		+ ... .
			2!			3!

Особые решения. Уравнения Клеро и Лагранжа

Взадачах217 (4117)–230 (4130) найтиобщиеиособыерешенияуравненийКлероиуравненийЛагранжа.

217 (4117). y = xy′ + y′2 .

Решение

Общее решение: y = Cx + C 2 .

Для нахождения особого решения положим y' = p. Тогда y = xp +

+ p2

y′ = p + xp′ + 2 pp′;

p′(x + 2 p) = 0

;

x = −2 p ;

x + 2 p = 0

p = −

; y = −

+ 4 y = 0 – особое решение.

Другой способ нахождения особого решения: составляем систему

u(x, y, C) = 0,

∂ u

= 0.

∂ C

В нашем случае

y = Cx + C

= −

и y

= −

или

x + 2C = 0

x2 + 4 y = 0 .

127

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

218(4118). y = xy′ − 3y′3 .

Решение

Общее решение: y = Cx − 3C3. Особый интеграл находим из системы

y = Cx − 3 C

C = ±

. Тогда

y = ±

x m

x − 9C 2 = 0

9y ± 2x x = 0 .

219 (4119). y = xy′ +

y′

Решение

Общее решение:

y = Cx +

Особый интеграл находим из системы

y = Cx +

C = ±

;

y = ±

± x

или y = ± 2 x ; y2 = 4x.

x −

1 =

220 (4120). y = xy′ +

1+ y′2 .

Решение

Общее решение:

y = Cx + 1 + C 2 .

Особый интеграл находим из системы

y = Cx +

1 + C2 ,

± x

= x2

C =

( x <1);

x +

= 0

1 + C2

1 − x2

1 + C2

y =

± x2

1 +

± x2

1 − x2

− x2

1 − x2

128

Уравнения первого порядка (продолжение)

а) y	1 − x2	= 1 − x2	x2 + y2 = 1 ;
б) y	1 − x2	= 1 + x2	y = 1 + x2	(не подходит).
			1 − x2

221(4121). y = xy′ + sin y′.

Решение

Общее решение: y = Cx + sin C.

Особый интеграл:	y = Cx − sin C,	C = arccos (−x) = π − arccos x;
	x + cosC = 0

y = x(π − arccos x) + 1 − x2 .

222(4122). xy′ − y = ln y′ .

Решение

Общее решение: y = Cx − ln C .

	y = Cx − ln C,				1
Особый интеграл:		1		C =	1	;	y =1 + ln x.
Особый интеграл:	x −	1	= 0	C =	x	;	y =1 + ln x.

		C
		C

223 (4123). y = y′2 (x +1) – уравнение Лагранжа.

Решение

Положив y′ = p, имеем y = p2 x + p2 ; дифференцируем его по х:

p = 2 pxp′ + p2 + 2 pp′

p − p2 = [2xp + 2 p] dp;	(*)
dx

129

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

p (1− p) dx = 2 p (x +1) dp

ln C − ln

1− p

− p

2(x +1)

x +1

= x +1.

1− p

Из последнего уравнения найдем параметр р:

				C	2	( x +1 − C )2		2
p2	= [1 − (1 − p)]2	=	1 −		=		; y = (	x + 1 − C ) – об-
p2	= [1 − (1 − p)]2	=	1 −		=		; y = (	x + 1 − C ) – об-
				x +1		x +1

щийинтеграл.

Из уравнения (*) можно найти некоторые решения: именно оно обращается в тождество при всяком постоянном p = p0, удовлетворя-

ющем условиям p0 − p02 = 0 и dpdx0 = 0. Обе части равенства (*) обраща-

ются при этом в нуль. Но p0 − p02 = 0 при p0(1) = 0 и p0(2) =1. Тогда ре-

шениями искомого дифференциального уравнения будут функции y = x 0 − 02 y = 0 и y = x + 1. При этом решение y = 0 будет особым,

поскольку оно не получается из общего ни при каком С, а y = x + 1 – частное решение, поскольку получается из общего при С = 0.

224 (4124). 2 yy′ = x( y′2 + 4) – уравнение Лагранжа.

Решение

y′ = p, 2 yp = xp2 + 4x

2 y = xp +

(1)

Дифференцируем(1) пох: 2 p = p + x

−

p −

= x

1 −

;

(2)

p2 − 4

= x dp

p2 − 4

p = C x .

Найдем р из (1):

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1095Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб26Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc