Kuznecov_reshebnik
.pdfУравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...
4) k = −2 : ∫ |
dy |
= x + C2 |
∫ |
y dy |
= x + C2 . |
C / y −1 |
C − y |
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
Подстановка: y = C1 sin2 2t = C21 (1 − cos t), dy = C1 sin 2t cos 2t 12 dt;
|
|
|
= C1 |
|
|
|
C |
sin |
t |
2sin |
t |
|
cos |
t |
dt |
C1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x + C2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
= |
(t − sin t) |
||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
C1 cos |
|
t |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = |
|
|
(t − sin t) − C2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
– циклоида. |
|
|
|
|
|
|||||||
y = |
|
(1 − cos t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
301 (4201). Найтилинию, длякоторойпроекциярадиусакривизнынаось Oy есть величина постоянная, равная а.
Решение
tg α = |
′ |
, ρ cos α |
= a ; |
(1 + y′2 )3 / 2 |
1 |
= a 1 |
+ y |
′2 |
|
′ |
y |
′ |
= p, |
||||||||||
y |
|
|
|
y′′ |
|
1 + y′2 |
|
= ay ; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
′′ |
|
dp |
|
2 |
|
|
dp |
|
|
ap dp |
|
1 + p2 |
|
2 y |
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
= p dy |
; 1 + p |
|
= ap dy |
|
|
1 + p2 |
= dy ln C1 |
= a |
1 + p |
|
= |
|||||||||||
|
|
|
|
′ |
2 y / a |
; |
|
p = |
′ |
2 y / a |
−1 |
; |
|
|
dy |
= dx ; |
|
= C1e |
|
|
C1e |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C′e2 y / a −1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e y / a = |
1 |
′ |
sec t ; y = a ln |
1 |
; |
|
|||||||
|
|
C |
|
|
|
|
C′ |
cos t |
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dy = |
a cost sin t |
dt = a tg t dt |
∫ |
|
a tg t dt |
= |
|||||||
|
cos2 t |
|
tgt |
y |
ρ |
|
|
|
α |
O |
α |
x |
181
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
= x + C′ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y / a |
|
|||
t = |
|
+ C |
|
|
или |
|
sec t = sec |
|
+ C |
2 |
. Но sec t = |
C′ e |
|
|||||||||||
a |
|
|
|
a |
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
y / a |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
= C sec |
|
|
+ C |
|
|
|
C |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
C′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
302 (4202). Найти линию, проходящую через начало координат, у которойотношениеплощадитреугольникаМТР(см. рисунок), образованно- гокасательнойвкакой-нибудьточкеМлинии, ординатойэтойточкиМР и осью абсцисс, к площади криволинейного треугольника ОМР равно постоянномучислу k (k > 1/ 2).
Решение
|
|
|
|
|
|
|
|
S∆ |
TMP |
= k; S∆ |
= |
|
1 |
TP MP = |
1 |
y2ctgα = |
1 |
|
y2 |
; |
|||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
S |
кр.тр |
2 |
2 |
2 |
y′ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
y2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Sкр.тр = ∫ y dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= k ∫ y dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
M (x, y) |
|
|
|
2 |
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
Продифференцируем обе части последнего |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 yy′2 − y2 y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
O |
|
T |
P |
x |
равенства по х: |
|
= 2 yk; 2 y′2 − yy′′ = |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y′2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 2 y′2k ; |
|
y′ = p , |
y′′ = p |
dp |
, |
2 p2 (1− k) |
= yp |
dp |
|
2 (1− k) |
dy |
|
= |
dp |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
p |
|
||||||
y2 − 2k = |
p |
; y2k − 2dy = C dx ; y2k − 2 = Cx + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
При x = 0 y = 0 |
|
C = 0 ; Cx = y2k−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
303 (4203). Найти линию, длина дуги которой, отсчитываемая от некоторой точки, пропорциональна угловому коэффициенту касательной в конечной точке дуги.
182
Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...
Решение
М0 (x0; y0); M (x, y) – точки дуги. Тогда ∫x 1 + y′2 dx = ky′.
x0
Продифференцируем обе части последнего равенства по х:
|
|
|
2 |
|
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
|
dp |
|
|
|
2 |
dp |
dp |
|
1 + p2 |
|
|
|
1 + y′ |
= ky′′ ; |
y |
= |
p , y |
= p dy |
|
1 + p |
= kp dy |
dy |
= |
kp |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
kp dp = dy |
k 1 + p2 = y + C ; k 2 (1+ p2 ) = ( y + C)2 |
p = |
|
|||||||||||||||||||
|
1 + p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(y + C)2 − k2; ∫ |
|
|
|
|
= ∫dx |
|
k ln y + C + ( y + C)2 − k2 = |
|||||||||||||||
k |
( y + C) |
2 |
− k |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= x + C2 y = |
k |
|
(ex + C1 / k + e− x + C1 / k )− |
C1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
304 (4204). Точка массы m вертикально брошена вверх с начальной скоростью v0. Сила сопротивления воздуха равна kv2. Поэтому, если при-
нять вертикаль за ось Оу, то при движении вверх имеем m d 22y = −mg − dt
− kv2, а при падении |
m |
d 2 y |
= −mg + kv2 , где |
v = |
dy |
. Найти скорость, |
|
dt2 |
dt |
||||||
|
|
|
|
|
которую будет иметь тело в тот момент, когда оно падает на землю.
Решение
y
M
v
mg R
Движениевверх:
mw = mg + R . (1)
Проектируем (1) на ось
у: mwx = Px + Rx ; my′′ =
= −mg − kv2;
Движениевниз:
my′′= −mg + kv2; mv dydv = −mg +kv2;
0 |
m |
v |
d (kv2 − mg) |
|
||
∫dy = |
|
∫ |
|
|
|
; |
2k |
kv |
2 |
− mg |
|||
S |
0 |
|
|
183
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
mv dydv = −mg − kv2 ;
|
|
|
v dv |
|
|
|
|
|||||||
− m |
|
|
|
|
|
= dy ; |
||||||||
mg + kv2 |
||||||||||||||
|
0 |
|
|
v dv |
|
|
|
|
||||||
dy = m∫ |
|
; |
|
|
||||||||||
mg + kv2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = − |
m |
ln (mg + kv2 ) |
|
0 |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
; |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
v0 |
||||
y = |
|
m |
ln |
mg |
|
– путь подъема. |
||||||||
|
|
mg + kv02 |
|
|||||||||||
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
kv2 − mg |
|
v |
|
|
y |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
− S = |
ln |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
v |
|
R |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
− |
m |
ln |
mg + kv02 |
= |
|
|
|
M |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
mg |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2k |
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
m |
ln |
|
kv2 − mg |
|
|
(здесь g = g < |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
2k |
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
< 0, – mg > 0, mg > kv2) |
mg |
= |
||||||||||||||||||||||
mg + kv2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
=kv2 − mg − m2 g 2 = mgkv2 +
−mg
+k 2v02v2; − m2 g 2 = mgkv02 ; mgv02 = v2 (kv02 + mg)
|
mgv02 |
|
v = |
mg + kv02 . |
|
|
|
|
305 (4205). Тонкая гибкая и нерастяжимая нить подвешена за оба конца. Какую форму в равновесии примет нить под действием нагрузки, равномернораспределяющейпопроекциинитинагоризонтальнуюплоскость? (Весом нити пренебрегаем.)
|
y |
|
|
|
T |
|
M |
α |
H |
A |
|
|
q |
|
|
O |
x |
Решение
Рассмотрим равновесие части AM. Отбрасывая связи и заменяя их действия реак-
циями связи H и T, направленными покасательной к нити, а также учитывая активно
действующуюсилу W = qx , получаемследующиеуравненияравновесия:
184
Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...
|
∑ |
Fix = 0, |
|
||
|
∑ |
|
|
Fiy = 0 |
T cos α |
− H = 0, |
tg α = |
W |
|
y′ = |
qx |
; dy = |
q |
x dx |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
T sin α |
−W = 0 |
H |
H |
H |
|||||||
|
|
|
|
|
|
= qx2 +
y C – семейство парабол.
H
306 (4206). Найтизаконпрямолинейногодвиженияматериальнойточки массы m, если известно, что работа силы, действующей в направлении движенияизависящейотпути, пропорциональнавремени, протекшему смоментаначаладвижения. Коэффициентпропорциональностиравенk.
Решение
A = kt , dA = kdt . С другой стороны, элементарная работа dA = Fds,
F = m |
d 2 s |
. Тогда |
md 2 s |
|
ds = k dt или m |
dv |
|
ds = k dt |
|
|
mv dv = k dt |
||||||
dt 2 |
dt2 |
dt |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v2 |
|
k t + C |
|
|
|
ds = |
2k t + C |
|
|
||||||||
= |
v = |
2k t + C |
, или |
|
S = |
||||||||||||
2 |
|
m |
1 |
|
|
m |
1 |
|
dt |
m |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∫ |
2k t + C dt + C |
2 |
= m |
2 |
|||||||
|
m |
|
1 |
|
|
|
|
|
2k |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
m |
|
2k |
t + C |
|
3 |
|
|
|
. |
|
|
3k |
|
m |
|
+ C |
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
При t = 0 |
S |
= 0 |
|
0 = |
m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3k |
|
2k |
t + C |
|
3 |
|
= |
|
m |
|
+ C |
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
C3 |
+ C |
2 |
|
C |
2 |
= − m |
C3 |
|
1 |
|
|
|
3k |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
2kt |
+ C |
3 |
− |
C |
3 |
|
S = |
3k |
|
m |
|
|
. |
|||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
307 (4207). Луч света из воздуха (показатель преломления m0) падает под углом α 0 с вертикалью в жидкость с переменным показателем пре-
185
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
ломления. Последнийлинейнозависитотглубиныипостояненвплоскости, параллельнойгоризонту; наповерхностижидкостионравенm1, ана глубине h он равен m2. Найти форму светового луча в жидкости. (Показатель преломления среды обратно пропорционален скорости распространения света.)
|
Решение |
α 0 |
α |
|
|
O |
y |
X |
|
x |
|
Показательпреломленияm линейнозависитотглубины ипостояненвплоскости, параллельной горизон-
ту: m = kx + b. При х = 0 m = m1; при x = h m = m2 |
||||||||||||
m |
= b, m = kh + m |
|
k = |
m2 − m1 |
; m = |
m2 |
− m1 |
x + m |
||||
|
|
|
||||||||||
1 |
2 |
1 |
|
|
h |
h |
1 |
|||||
или |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m = |
(m2 − m1)x + hm1 |
. |
|
(*) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|||
|
|
Уравнение луча y = f (x). На глубине х имеем: |
||||||||||
|
|
sin α |
= |
m + dm |
, гдеm – показательпреломления |
|||||||
|
sin (α + dα ) |
|
||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
на глубине х; α – угол между вертикалью и касательной к световому лучу,
tg α |
= у'. Следовательно, m sin α = (m + dm) (sin α |
cos dα |
|
+ cos α sin dα ); |
||||||||||||||||||||
m sin α = m sin α |
cos dα |
+ sin α |
cos dα dm + m cos α |
sin dα + cos α |
sin dα |
dm; |
||||||||||||||||||
cos dα 1, sin dα |
|
dα |
|
m sin α ≈ |
m sin α |
|
+ sin α dm + m cos α dα |
|
||||||||||||||||
dm |
= − ctg α dα , |
|
tg α |
= y′ |
α = arctg y′ ; dα |
= |
|
dy′ |
; |
∫ |
|
dm |
= |
|
||||||||||
m |
|
1 + y′2 |
|
m |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
dy′ |
|
|
|
dy′ |
y′ dy′ |
|
|
1 + y′2 C |
|
|
|
|
|
|
||||||||
= −∫ |
|
= −∫ |
|
= ∫ |
|
; |
ln m = ln |
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y′(1+ y′2 ) |
y′ |
1 + y′2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = |
C |
1+ y′2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(**) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x = 0 |
m |
|
= m , y' = tg α . Из (*) |
|
m = |
C 1+ tg2α |
0 , |
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
tg α |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
186
Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...
C = m0 sin α 0 и dx = |
h dm |
. Из (**) y′ = |
C |
|
|||
|
m2 − m1 |
m2 − C2 |
y = ∫ |
C dx |
|
= m |
Ch |
∫ |
|
dm |
|
|
||||
m |
2 |
− C |
2 |
2 |
− m |
m |
2 |
− C |
2 |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
y = m0h sin α 0 ln m + |
m2 − m 2 sin2 |
α |
|||||||||||
|
m2 − m1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Ch ln m + m2 − C 2 + C ; |
|
1 |
|
m2 − m1 |
0 + C .
Частные случаи уравнений более высоких порядков
В задачах 308 (4208)–317 (4217) найти общее решение уравнений.
308 (4208). y′′′ = 1x .
Решение
y′′ = ∫ dxx = ln x + C1′; y'= ∫ln x dx + C1′ ∫dx + C2 = x ln x − x + C1′x + C2 = = xln x + C1′′x + C2 ; y = ∫ xln x dx + C1′′ ∫ x dx + C2 ∫dx + C3 ,
ln x = u, |
x dx = dv, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dx |
|
x2 |
|
; |
y = x2 ln x + C x2 |
+ C |
|
x + C |
|
. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
du = |
x |
, v = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
309(4209). y′′′ = cos 2x .
Решение
y′′ = ∫cos 2x dx + C1 = |
|
1 |
|
sin 2x + C1 ; |
y′ = |
|
1 |
∫sin 2x dx + C1′ ∫dx + C2 = |
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||
= − |
1 cos 2x + C′x + C |
2 |
; |
|
y = − |
1 |
sin 2x + C x2 |
+ C |
2 |
x + C |
3 |
. |
||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
4 |
1 |
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
187
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
310(4210). y(X) = eax .
Решение
|
(IX) |
|
1 |
ax |
(VIII ) |
|
1 ax |
′ |
′ |
|
|
eax |
9 |
8 |
|
y |
|
= |
|
e + C1′ , y |
|
= |
|
|
; |
y = |
|
+ C1x + C2 x + |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
|
a2 |
e + C1x + C2 |
a10 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C3 x7 + C4 x6 + C5 x5 + C6 x4 + C7 x3 + C8 x2 + C9 x + C10 .
311(4211). x2 y′′′ = ( y′′)2 .
Решение
y′′ = u, y′′′ = |
du |
|
du |
= |
dx |
|
1 |
= |
1 |
+ C′ |
u = |
x |
; y′′ = |
1 |
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dx |
u2 x2 |
u x |
1 |
|
1 + xC1′ |
|
C1′ C1 + x |
|||||||||
|
|
|
|
|
y′ = |
1 |
|
|
|
∫ |
x dx |
|
1 |
|
|
∫ |
(C1 + x) − C1 |
dx |
1 |
|
|
x − |
C1 |
|
|
|
|
C1 |
+ x |
|
; y′ = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|||||||||||||||||||||
C′ |
C + x |
C′ |
|
|
|
C + x |
|
|
|
C′ |
C′ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = C1 ∫ x dx − C2 ∫ln(x + C1) dx + C3 = C1 |
x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
− C2 ln |
|
C1 + x |
|
; |
|
|
− |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
ln(x + C ) = u, |
|
|
du = |
|
dx |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
− C |
|
xln (x |
+ C ) |
− |
|
|
|
+ C |
; |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + C |
|
|||||||||||||||||||||||||
∫ x + C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
= dv, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
v = x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = C |
|
|
x2 |
+ C |
x + C |
|
− C |
|
(x + C ) ln (x + C ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
312 |
(4212). xy(V) = y(IV) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
y(IV ) = u , y(V ) = u' , |
|
x du |
= u , |
du |
= dx |
; ln |
|
u |
|
= ln |
|
C1′x |
|
; u = C1′x , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1x −
;
188
Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...
|
y |
′′′ |
|
′ |
|
|
′ |
|
|
′ |
|
x2 |
|
|
|
′ |
; |
y |
′′ |
|
′ |
x3 |
|
′ |
′ |
; |
|
y |
′ |
′ |
x4 |
+ |
||||
|
|
= C1 |
∫ x dx + C2 |
= C1 2 |
|
+ C |
|
= C1 6 |
|
+ C2 x + C3 |
|
|
= C1 |
24 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
x2 |
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
; y = C′ |
|
|
|
+ C′ |
|
|
|
+ C′ |
|
|
+ C′ x + C |
′ |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||
+ C2 |
2 |
+ C3 x + C |
96 |
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y = C x |
5 + C |
2 |
x3 + C |
x2 |
|
+ C |
4 |
x + C |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
313(4213). y′′′ = ( y′′)3 .
Решение.
y′′ |
= u , y′′′ = u′ , u′ = u |
3 |
; |
|
du |
= dx |
|
− |
1 |
|
|
= x + C1′ |
|
u |
2 |
= − |
1 |
(x + C1′) |
−1 |
; |
|||||||||
|
|
u3 |
|
2u |
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u2 |
= |
|
|
1 |
(C1 = −2C1′); |
u = C |
1 |
|
; |
y′ = ∫ |
|
dx |
|
+ C2 = |
|
|
|||||||||||||
|
C − 2x |
|
− 2x |
C − 2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
2 |
(C1 − 2x)1/ 2 + C2 ; y = −∫ C1 − 2x dx + C2 ∫dx + C3 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
y = |
1 |
(C − 2x)3 dx + C |
2 |
x + C |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
314(4214). y′y′′′ = 3 ( y′′)2 .
Решение
y′ = p , y′′ = p′ , y′′′ = p′′ ; |
|
pp′′ = 3( p′)2 |
, |
p′ = z , |
|
p′′ = z |
dz |
, pz |
dz |
|
= 3z2 , |
|||||||||||||||||||||
|
dp |
dp |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dz |
= 3 |
dp |
|
ln |
|
z |
|
= ln |
|
cp3 |
|
|
|
z = cp3 , |
|
dp = cp3 |
, |
|
dp |
= c dx ; |
− |
|
1 |
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
2 p2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= Cx − C0 |
p = |
1 |
|
|
; |
dy = |
dx |
|
|
y = − |
2 |
′ |
|
|
′ |
|
+ |
|||||||||||||||
− C′x |
′ |
− |
|
C′ |
C0 |
− C x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C′ |
|
C |
C′x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
189
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
+ C |
′ |
|
′ |
|
|
′ |
) |
2 |
= 4 (C |
′ |
′ |
|
2 |
y |
2 |
− 2C′C′ y + C′ |
= 4C′ |
− 4C′x ; |
||||
2 |
(C y − C |
|
0 |
− C x) ; C′ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
0 |
|
||||
′ |
|
′2 |
y |
2 |
+ |
|
|
′ ′ |
|
′ |
′ |
|
|
|
|
x = C1 y |
2 |
+ C2 y + C3 . |
|
|||
4C x = −C |
|
|
2C C2 y + (4C0 |
− 4C x) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
315(4215). yy′′′ − y′y′′ = 0 .
Решение
yy′′′ − y′y′′ |
|
y′′′ |
= |
|
y′ |
(ln y′′)′ = ln ( y)′ |
ln y′′ = ln |
|
yC |
|
|
y′′ = y C ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y′′ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y′ = p , y′′ = p |
dp |
|
; p |
dp |
|
= y C1 |
|
p dp = C1 y dy |
p2 = C1 y2 + C2 ; |
|
||||||||||||||||||||||
dy |
dy |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
p = C y2 |
+ C |
|
; |
|
|
|
|
|
dy |
|
= dx , |
|
1 |
|
dy |
|
|
|
= x + C |
|
, |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 ∫ (C / C |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
C y2 |
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)y2 |
+1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C1 y = z, dz = |
|
|
C1 dy, |
1 |
∫ |
|
dz |
|
= x + C3 |
|
|
|
1 |
|
|
ln z + z +1 = |
||||||||||||||||
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
C |
|
z |
2 |
+1 |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
= x + C |
или |
|
1 |
|
|
arsh z = x + C |
3 |
|
|
z = sh ( C x + |
C C |
3 |
); |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
C2 |
sh ( |
C x + C C |
); |
y = C |
4 |
sh (C |
x + C |
6 |
) |
||
|
C1 |
|
1 |
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= C2 , C1 C3 = C6 .
316(4216). y′′′ = [1 + ( y′)2 ] = 3y′( y′′)2 .
Решение
y′ = p , y′′ = p′ , y′′′ = p′′ p′′(1 + p2 ) = 3 pp′2 ; p′ =
|
C |
2 |
|
|
|
|
|
= C4 |
, C1 |
= |
|
|
C1 |
||||
|
|
|
|
z , p′′ = z dpdz ,
190