Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1095

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Уравнения первого порядка

155 (4055).

y + sin xcos2 (xy)

dx +

dy + sin y dy = 0 .

cos2 (xy)

Решение

∂ P

= [1 + 2 sin xcos (xy)(−sin (xy)x) cos2 (xy) + 2x cos (xy) sin (xy) ×

∂ y

× ( y + sin xcos2 (xy))]

cos4 (xy) = cos(xy) + 2 x ysin (xy)

;

cos3 (xy)

∂ Q

cos2 (xy) + 2 xy sin (xy)

cos (xy) + 2 xy sin (xy)

∂ x

cos4 (xy)

cos3

(xy)

Берем x0 = y0 = 0. Тогда u (x, y) = ∫ P (x, 0) dx + ∫Q (x, y) dy + C1 =

= ∫sin x dx + ∫

dy + C1 = C2;

− cos x + tg (xy) −

cos

(x y)

+ sin y

− cos y = C или tg (xy) − cos x − cos y = C .

156 (4056).

+ x

+ y

−1 + x

+ y

= 0 .

y dy

Решение

∂ P

2xy

;

∂ Q

2 xy

. Берем x0 = y0 = 0. Тогда u (x, y) =

∂ y

2 x2 + y2

∂ x

2 x2 + y2

= ∫ P (x, 0) dx + ∫Q (x, y) dy + C1 ; ∫ (1 + x

) dx + ∫ − y +

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

	2		2			x3 x				y2		1	(x	2		2	)	3		y
+ y x		+ y		dy = C ;	x +			+	−		+				+ y					= C
+ y x		+ y		dy = C ;	x +	3		+	−	2	+	3			+ y					= C
						3				2		3
							0												0

x −

(x2 + y2 )3 = C .

157 (4057).

sin

−

cos

+ 1 dx +

Решение

∂ P

= −

sin

−

cos

−

cos

∂ y

∂ Q

= −

cos

sin

−

sin

−

∂ x

При x0 = y0 = 0

u (x, y) = ∫x

P (x, 1) dx

cos

−

sin

dy = 0 .

sin

∂ P

∂ Q

cos

∂ y

∂ x

+ ∫Q (x, y) dy = C1 ;

1 1

∫

sin x −

+1 dx

+ ∫

= C1 ;

cos

−

sin

− cos x

x + sin

x + x

x + sin

y − cos

y −

y = C

;

− cos x + cos 1 +

+ sin

− sin1 + x −1 + sin

− sin

− cos

+ cos x −

+1 = C

;

sin

− cos

+ x −

= C .

Уравнения первого порядка

Интегрирующий множитель

В задачах 158 (4058)–162 (4062) найти интегрирующий множитель иобщиерешенияуравнений.

158 (4058). (x2 + y)dx − x dy = 0.

Решение

∂ P

=1,

∂ Q

= −1

∂ P

≠

∂ Q

;

∂ u

= (x2

+ y) M ,

∂ u

= −xM .

∂ y

∂ x

∂ y

∂ x

∂ y

Пусть M = M (x) ;

∂ (PM )

∂ (QM )

∂ P

+ P

∂ M

= M

∂ Q

∂ y

∂ x

+ Q

∂ M

∂ x

∂ M

= 0 , тогда

∂

∂ Q

∂ M

∂ P

По условию

= M

+ Q

−

∂ y

∂ x

∂ y

∂ P

−

∂ Q

∂ P

−

∂ Q

∂

∂ M

∂ y

∂ x

∂ (ln M )

∂ y

∂ x

1 +1

−

= Q

или

∂ x

M ∂ x

∂ x

− x

ln M = −2ln x;

dy = 0;

∂

= −

M =

dx −

=1 +

∂

∫

∂ u

′

u =

dx + ϕ ( y) = x −

+ ϕ ( y);

= −

+ ϕ

( y);

−

+ ϕ ′( y) =

∂ y

= − 1

ϕ ′( y) = 0; ϕ ( y) = C

;

x −

= C.

159(4059). y (1 + xy) dx − x dy = 0 .

Решение

P = y (1+ xy), Q = −x;	∂ P	=1 + 2 xy,	∂ Q	= −1	∂ P	≠	∂ Q	.
	∂ y		∂ x		∂ y		∂ x

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Пусть M = M ( y) ,	∂ (PM )	=	∂ (QM)	или	∂ P	M +	∂ M	P =	∂ Q	M +
	∂ y		∂ x		∂ y		∂ y		∂ x

	∂ M		∂ M		∂ M		∂ Q		∂ P
+		Q , но		= 0		P = M		−
+		Q , но		= 0		P = M		−
	∂ x		∂ x		∂ y		∂ x
	∂ x		∂ x		∂ y		∂ x		∂ y

				∂ Q	−	∂ P
;	∂ ln M	=	∂ x			∂ y	=

	∂ y				P

−1 −1 − 2 xy = −2

1 + xy

= −

;

∂ ln M = −2

∂ y

ln M = −2 ln y →

(1 + xy) y

∂ u

→

M =

;

= MP =

+ x

u =

+ x

dx + ϕ

( y) =

+ ϕ ( y);

∂ x

∫

∂ u

= −

+ ϕ ′ ( y) = QM = −

′ ( y)

= 0 и ϕ ( y) = C .

∂ y

Значит, общий интеграл 2 xy + x2 = C.

160(4060). (x2 + y2 + 2x)dx + 2 y dy = 0 .

Решение

P = x2 + y2 + 2x , Q = 2 y ;

∂ P

= 2 y ,

∂ Q

= 0 .

∂ x

∂ y

Пусть

M = M ( y). Тогда (см. задачу 158 (4058))

∂ ln M

∂ x

∂ P

∂ Q

∂ y − ∂ x

2 y − 0

=1 ln M = x и M

= ex ; ∫ P1 (x, 0) dx +

2 y

+ ∫Q1(x, y) dy = C1 , Q1 = QM и P1 = PM; ∫ (x2 + 2x) exdx + ∫ 2 ye xdy =

Уравнения первого порядка

x2 = u

dx = dv1

∫ x e

∫

= C1

; x

− 2

dx + 2

= 2 x dx, v1 = ex

+ ex y2

y = C

; (x2

+ y2 ) ex = C .

161(4061). xy dx + (y3 − ln x)dy = 0 .

Решение

P =

∂ P

∂ Q

, Q = y

− ln x

;

= − x .

∂ y

∂ x

Пусть M = M (x) . Тогда (см. задачу 159 (4059))

∂ P

∂ Q

−

∂ y

∂ x

= −

M =

Общий интеграл имеет вид

x ex dx +

∂ln M =

∂y

x				y	x
∫ P1 (x, y) dx + ∫ Q1 (1, y) dy = C					∫
1		1			1
ln x		y2
	+		= C .
y	+	2	= C .

dxxy + ∫

	ln 1
y −			dy = C ;
y −		2	dy = C ;
	y	2
	y

162(4062). (x cos y − y sin y) dy + (x sin y + y cos y) dx = 0 .

Решение

∂ P	= x cos y + cos y − y sin y,	∂ Q	= cos y.
∂ y		∂ x

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Пусть M = M (x). Тогда (см. задачу 158 (4058))

=	x cos y − y sin y		=1; ln M = x и M = e x .
=	x cos y − y sin y		=1; ln M = x и M = e x .
	x cos y − y sin y
	Общийинтеграл:
	x		y
	∫ P1 (x, 0) dx + ∫ Q1 (x, y) dy = C,
0			0
	x	y
	∫ 0 dx + ∫ (x cos y − y sin y) ex dy = C,
0		0

xex sin y + ( y cos y − sin y) ex = C, (x sin y + y cos y − sin y) ex = C.

		∂ P	−	∂ Q
∂ ln M	=	∂ y		∂ x	=

∂ x			Q

∫ y sin y dy = I;

y = u1, sin y dy = dv1; dy = du1, v1 = −cos y;

I = − y cos y + sin y.

163 (4063). Убедиться, чтоинтегрирующиммножителемлинейногоурав-

нения

+ P (x) y = Q (x) служитфункция e

∫ P ( x) dx

Решение

Умножим обе части исходного уравнения на e

∫

P ( x) dx

e∫ P ( x) dx [P (x) y − Q (x)]dx + e∫ P ( x) dxdy = 0.

Условиеполногодифференциала:

∂ M

∂ N

. Проверимего:

∂ y

∂ x

M (x, y) = e∫ P ( x) dx [P (x) y − Q (x)]; N (x, y) = e∫ P ( x) dx ;

∂ M

= P (x)e

∫

P ( x) dx

;

∂ N

= P (x)e

∫ P ( x) dx

∂ y

∂ x

Уравнения первого порядка

164 (4064). НайтиинтегрирующиймножительуравненияБернулли

y′ + P (x) y = ynQ (x) .

Решение

Замена переменной z = y−n + 1 приводит исходное уравнение к линейному[9]:

dxdz + (−n +1) P (x) z = (−n +1) Q (x)

или

(−n +1)

[P (x) z − Q (x)]dx + 1{

dz = 0.

(1)

14444244443

∂ ln M

∂ M

−

∂ N

Считая, что M = M (x) ,

∂ z

∂ x

= (−n +1) P (x)

∂ x

M (x) = e

−(n − 1)

∫ P ( x) dx

(2)

Умножая (2) на (1) и учитывая, что

= (−n +1)

−n

, получим:

e−(n − 1) ∫ P ( x) dx (−n +1) [P (x) y−n + 1 − Q (x)]dx + y−ne−(n − 1)∫ P ( x) dx (−n +

+1) dy = 0 ; y−n e−(n − 1) ∫ P ( x) dx [P (x) y − Q (x) yn ]dx +

+y−n e−(n − 1) ∫ P ( x) dx dy = 0 .

Видно, что интегрирующий множитель уравнения Бернулли есть

y−n e−(n − 1) ∫ P ( x) dx .

165 (4065). Найтиусловия, прикоторыхуравнение

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

X (x, y) dx + Y (x, y) dy = 0

(1)

допускаетинтегрирующиймножительвида M = F (x + y) .

Решение

Пусть уравнение (1) допускает интегрирующий множитель вида

M = F(x + y) . Тогда

∂ ( XM )

∂ (YM )

∂ y

∂ x

X Fy′ − Y Fx′ = F (x + y) (Yx′ − X ′y ).

(2)

Но F′ = F′

+ y

(x + y)′

= F′

+ y

F′ = F′

+ y

. Из (2)

Yx′ − X ′y

X − Y

Fx′ + y

= f (x + y) , т. е. условием того, что уравнение (1) имеет ин-

F (x + y)

тегрирующий множитель вида F (x + y) , есть то, что дробь

Yx′ − X ′y

–

X − Y

функцияот (x + y) .

166 (4066). Найтиусловия, прикоторыхуравнение

X (x, y) dx + Y (x, y) dy = 0

(1)

допускаетинтегрирующиймножительвида M = F(xy) .

Решение

Пусть уравнение (1) имеет интегрирующий множитель вида

M = F(xy) . Тогда	∂ ( XM )	=	∂	(YM )
	∂ y			∂ x

	X Fy′ − Y Fx′ = F (xy) (Yx′ − X ′y ) .				(2)

Уравнения первого порядка

							Y ′ − X ′			F′
Но F′ = F′	(xy)′		= F′	x; F′ = F′		y. Из (2)	x	y	=	xy	=
Но F′ = F′	(xy)′		= F′	x; F′ = F′		y. Из (2)			=		=
y x y		y	x y		x xy		x X − y Y			F (xy)
							x X − y Y			F (xy)
= f (x y) , т. е. дробь			Yx′ − X ′y		– функция от xy.
= f (x y) , т. е. дробь		x X − y Y			– функция от xy.
		x X − y Y

Разные задачи

В задачах 167 (4067)–188 (4088) найти общее решение уравнений.

167(4067). y′ = ax + by + c .

Решение

′

− bv) = ax + c ;

= b dx

y = u v , u v + v u = ax + buv + c ; u v + u (v

v = eb x ; du = e−b x (ax + c) dx ;

ax + c = u , du

= a dx, e−bx dx = dv ,

v = −

e−bx

; u =

∫

e−bx (ax + c) dx = −

ax + c

e−bx +

∫

e−bxdx =

= −

ax + c

−bx

−

−bx

+ C

ab x + b

+ a + bc = Ce

168 (4068). ay′ + by + cym = 0 .

Решение

Это – уравнение Бернулли; разделив его почленно на уm, получим:

y−may + by−m + 1 + c = 0 ; z = y−m + 1 , z′ = (−m +1) y−m y′ ;	a
		z′ +
	− m +1

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

′

+ auv

′

+ b(−m +1)uv = (−m +1) uv = −c (−m +1)

+ bz + c = 0; z = uv, au v

′

− b (−m +1)

au v + u (av

+ b (−m +1) v)

= −c (−m +1)

;

v = e−

b(−m + 1)

x; du = −

+1) e−

b(−m + 1)

x dx

b(−m + 1)

x + C;

(−m

u = −

(m + 1) bx

(m + 1)

1 − m

z = −

+ Ce

y = Ce

−

169 (4069). y′ =

x + y − 2

y − x − 4

Решение

Положим:

x + y − 2 = u + v,

y = 3 + v , x = u −1, y

′ = v′

′

u + v

− u + v

− x + y − 4 = −u + v

u + v

1 +

v = y − 3 , u = x +1 , v′ = v′ u′ = v′

v′ =

; v′ =

= z ,

− u + v

u x

−1 +

′

+ z

1 + 2z − z2

z −1

v = z u, vu = z

+ z u, z

+ z

′u =

z′u =

;

dz =

−1 + z

−1

1 + 2 z − z2

= du

− 1 ln

1 + 2z − z2

= ln

u2 ×

1 + 2 z − z

(x +1)2

y − 3

(y − 3)2

× (1+ 2 z − z2 )

= C

1+ 2

−

= C

x +1

(x +1)

x2 + 2x +1 + 2xy − 6x + 2 y − 6 − y2 + 6 y − 9 = C2

x2 + 2xy − y2 − 4x + 8y = C

(C = C2 +14) .

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3210 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1095Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб26Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc