Kuznecov_reshebnik

xp2 − 2 yp + 4x = 0 p =

±

y2 − 4x2

2 = C x2;

; y + y2 − 4x

x

1

y2 − 4x2

= C x2 − y

C

2 x2 − 2C y + 4 = 0;

C1

= C . Тогда

1

1

1

2

y = Cx2 +

1

.

C

Найдем из (2) такие р = р

, при которых

p

−

4

= 0

p(1)

= 2 ,

0

0

p0

0

p0(2) = −2 .

Подставляя эти значения в уравнение

2 yp = xp2 + 4x ,

получим

y(1 − p2 )= 2xp .

(1)

Дифференцируя(1), получим y′(1 − p2 )− 2 pp′y = 2 p + 2xp′

− p(1 + p

2

′

(2)

)= 2 p ( py + x) .

Из (1) y =

2xp

. Подставим (1) в (2):

dx

=

dp

;

1 − p2

2x

( p −1)( p +1) p

1

=

A

+

B

+

R

A = 1 , B =

1

, R = −1 . Тогда

( p −1)( p +1) p

p −1

p +1

2

p

2

1

ln

x

=

1

ln

p −1

+

1

ln

p +1

− ln

p

+ C

x = C

p2

−1

.

2

2

2

1

1 p

2

x = C1

p

2

−1

,

p

2

2C

Из системы

y = −

1

, 2C

= C, p = y′ . Тогда

y =

2xp

p

1

1 − p

2

y′ = −

C

.

(3)

y

Подставим (3) в исходное уравнение:

y = y

C 2

− 2x

C

y2

y

y = x(1 + p) + p2.

(1)

Дифференцируем (1) пох: y′ =1 + p + x dp + 2 p dp или

−1 =

dp

(x +

dx

dx

dx

+ 2 p)

dx

+ x = −2 p; x = uv, x′ = u′v + v′u , u′v + u(v′ + v) = −2 p ; v′ + v =

dp

dv

du

= 0

= −dp

v = e− p ;

e− p = −2 p ; u = −2∫ pe pdp = −2 pe p +

v

dp

+ 2e p + C ;

[p = u , dp = du , e pdp = dv , v = e p ];

x = uv = −2( p −1) +

1

1

1

1

y = x(1

+ C) + C2 ,

x = −2C, y = −2C − C

2

= const; ноэтонеудовлетво-

0 = x +

2C

xy′ − y = e y′ или

xp − y = e p.

(1)

Дифференцируем(1) пох:

p + x

dp

− p = e p

dp

dp

(x − e p ) = 0

dp

= 0

p = C.

dx

dx

dx

dx

y = p(x +1) + p2 .

(1)

Дифференцируем(1) пох:

y′ = (x +1) dp

+ p + 2 p dp

dp

(x +1+ 2 p) = 0

dp

= 0 p = C .

dx

dx

dx

dx

Далее имеем x +1 + 2 p = 0

p = −

1

(x +1). Подставляем p в (1)

2

иполучаемособоерешение: y = −

1

(x +1)

2 +

1

(x +1)2

и

y = −

1

(x +1)2.

2

4

4

нее выражение по х:

y′ =

dp

x + p

+

1

a

(1

− p3 )−2 / 3

(− 3 p2 )

dp

dx

3

dx

dp

p2a

dp

x −

0

= 0

p = C .

(1

=

dx

dx

3 2

3

− p

)

Общеерешениедифференциальногоуравнения: y = Cx + a3 1 − C 3 .

Далеевыполняемпреобразования:

p2a

p6a3

2

x3 (1 − p3 )=

x = 3 (1 − p3 )2

; x3 =

; x3 (1 − p3 )

= p6a3 ;

(1− p3 )2

= p3 a3

p3 =

x3

p3a

+ a 3

(1− p3 )=

; y =

a3 + x3

3 (1− p3 )2

=

a

[ p3 + (1− p3 )]=

a

=

a

=

3

(1− p3 )2

3

(1− p3 )2

x

3

2

3

1−

3

3

a

+

x

a

3

+

x

3

2

y

3

3

+

x

3

2

y

3

+

x

3

=

a

3

– особое

= 3

= a

;

230 (4130). x =

1

−

y

1 .

y′

y′

Решение

Положим yx′ =

1

;

x′y = p. Тогда x = y (

p − p);

xy′ = p − p +

xy′

+ y

1

dp

2 p −

p = y

1 −

2

p

dp

− p =

y

dp

−1

dy

2 p

dy

2 p dy

2 p

dy

= −

dp

ln

y

= −

1

ln

p

+ ln C;

y =

C

p =

C

p = C2 .

y

− 2 p

2

p

y

y2

C

C 2

C

Тогда

x =

y

−

x = C

1 −

(C

− x) y = C2

– общее

y

y

2

y

C

2

= yC + e

x

= 0,

C =

y

;

y

2

−

y

2

+ ex = 0 ; y2 − 4ex = 0

– особое

2C − y = 0

2

4

2

C(C − 2x) = 2( y + x2 ),

C = x ;

x

2

− 2x

2

= 2 y − 2x

2

x

2

− 2 y = 0

–

2C − 2x = 0

y = xy′ + Ψ ( y′) .

(1)

Положим y' = p. Тогда (1) примет вид

y = xp + Ψ ( p) .

(1')

Продифференцируем(1' ) пох:

y′ = x dp

+ p + Ψ ( p) dp

dp

(x + Ψ ( p)) = 0

dp

= 0 и

(x + Ψ ( p)) = 0 .

dx

dx

dx

dx

Решение

x

y

Уравнение прямой в отрезках имеет вид

+

=1 . Если a2

– пло-

m

n

щадь∆

AOB, то mn = ±2a

2

, т. е.

n = ±

2a2

ииме-

y

m

ем семейство прямых:

A

x

my

M (x, y)

n

±

= 1.

(1)

m

2a2

x

Продифференцируем(1) пох:

O m B

1

± my′

2a2

2a2

= 0 m2

= m

m = ±

y = xy′ ± m 2a2 y′.

m

2a2

y′

m y′

Общеерешениедифференциальногоуравнения: y = xC1 ±

± m2a2C

y = ± C2

x + aC (C2 =

2C ).

1

2

1

Но нас интересует особое решение, которое даст искомую линию –

огибающую семейство прямых. Составляем систему уравнений:

C 2

y = ±

2 x + aC, 2xy = ± a2 .

y = ± Cx + a

x

+

y

= 1.

(1)

m

n

x

+

y

=1.

(2)

2a − m

m

Дифференцируем (2) по х:

1

+

y′

=

0

m =

2a

. Тогда урав-

2a − m

1

− y′

m

xC − xC

2

− y + y C = 2a C,

x + y − 2a

− y) = 2aC ;

C =

;

2x

x − 2xC + y = 2a

x + y − 2a x + y − 2a

x + y − 2a

2

–

1