Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1256

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Линейныеуравнения

§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

327 (4227). Функции х3 и х4 удовлетворяют некоторому однородному линейномудифференциальномууравнениювторогопорядка. Убедиться, что они образуют фундаментальную систему, и составить уравнение.

Решение

= x3 ,

= x4 ,

= 3x2

= 4x3.

y′

, y′

Вронскиан W =

= x

≠ 0

, кроме х = 0. Функции

y′

образуют фундаментальную систему. Тогда y′′ = 6x ,

′′ =12x2

. Общий

виддифференциальногоуравнениявторогопорядка

а0 у" + а1 у' + а2 у = 0.

(1)

Подставим в (1) значения у, у' и у":

6xa0 + 3x

a1 + x

= 0,

+ x3a = 0

= − 6a0 ;

× x 6x2a

12x2a

+ 4x3a + x4a

= 0

6a0

6xa0 −18x a0 + x3a2 = 0

a2 =

a0 .

Итак,

a0 y′′ −

y′ +

a0 y =

= 0

x2 y′′ − 6xy′ +12 y = 0 .

328(4228). То же для функции ех и х2ех.

Решение

y = ex,

= x2ex ;

= x2 ≠ const . Значит, решения y

и у

– линейно

независимые и составляют фундаментальную систему решений:

′

′′

;

(2)

y1 = e ,

y1 = e

у'2 = 2хех + х2ех,

у"2 = 2ех + 4хех + х2ех.

(3)

201

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Подставляем (2) и (3) в дифференциальное уравнение (1) (см. зада-

чу327 (4227)):

a0e

+ a1e

+ a2e

= 0,

(2 + 4x + x2 )ex

+ a

(2x + x2 )ex + a

x2ex = 0

a0 + a1 + a2 = 0,

(2 + 4x + x

2 )a

+ (2x

+ x2 )a

+ a

= 0;

a0 x

+ a1x

+ a2 x

= 0,

2(1 + 2x)a

+ 2xa

= 0

(2 + 4x + x

2 )a

+ (2x + x2 )a + a

a = −

1 + 2x

; a

−

1 + 2x

+ a

= 0; − a

1+ x = −a

; a

1 + x

;

0 x

a0 y′′ −

1+ 2x

a0 y′ + a2 y = 0

xy′′ −

(2x +1) y′ + (x +1) y = 0 .

329 (4229). Функциих, х3, ех образуютфундаментальнуюсистемурешенийлинейногооднородногоуравнениятретьегопорядка. Составитьэто уравнение.

Решение

y	= x,	y	2	= x3 ,	y	3	= ex ;
1	=1,			= 3x2 ,			= ex ;
y′		y′			y′
1			2	= 6x,		3	= ex ;
y′′ = 0, y′′					y′′
1			2			3	= ex.
y′′′= 0,		y′′′ = 6,			y′′′
1		2				3

Общийвиддифференциальногоуравнениятретьегопорядка

a0 y"' + а1 у" + а2 у' + а3 у = 0.

Подставляем (1) в (2):

= −

a2 + a3 x = 0,

+ 6xa + 3x2a

+ x3a

= 0,

+ 6xa

+ 2x2a

= 0,

(a0 + a1 + a2 + a3 ) e

= 0

1− x

+ a1 −

a2 =

(1)

(2)

202

Линейныеуравнения

3(x −1)

;

+ a

3(x −1)2

= 0

a =

x2 − 3x + 3

x(x2 − 3x + 3)

= −

x3 − 3x + 3

; a3

= −

3(x −1)

;

a0 y′′′ −

x3 − 3x + 3

a0 y′′ +

x(x2

− 3x + 3)

x(x2

− 3x + 3)

x(x2 − 3x + 3)

3(x −1)

a0 y′ −

3(x −1)

a0 y = 0

x2 − 3x +

x(x2 − 3x + 3)

(x3 − 3x2 + 3x) y′′′ − (x3 − 3x + 3) y′′ − 3x(1− x) y′ + 3(1− x) y = 0 .

330 (4230). Функциих2 их3 образуютфундаментальнуюсистемурешений линейногооднородногоуравнениявторогопорядка. Найтирешениеэтого

уравнения, удовлетворяющееначальнымусловиям y

x = 1 =1, y′

x = 1 = 0 .

Решение

y = x2, y

= x3;

y = c x2 + c

1 = c

+ c

c = 3,

y′ = 2c1x + 3c1x2

0 = 2c1

+ 3c2

c2 = −2;

y = 3x2 − 2x3 .

331 (4231). Функции cos2 x и sin2 x удовлетворяют некоторому линейному однородному уравнению второго порядка: а) проверить, что они составляют фундаментальную систему решений; б) составить уравнение; в) показать, чтодругойфундаментальнойсистемойэтогоуравненияявляются функции 1 и cos 2х.

Решение

		y	= cos2 x,		y	2	= sin 2 x;
	1					2
		y′	= −sin 2x,		y′		= sin 2x.
	1					2
Вронскиан W =		cos2	x	sin 2 x	= sin 2x ≠ 0 , кромех= 0. Фундамен-
		cos2	x	sin 2 x
		− sin 2x		sin 2x
		− sin 2x		sin 2x

203

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

тальную систему решений составляют у	и у . Тогда	y′′ = −2 cos 2x,
1	2	1
y′2′ = 2 cos 2x , a0 y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 ;

− 2a			0	cos 2x − a sin 2x + a			2	cos2 x = 0,				cos 2x
			0	1			2		a2	= 0 ,	a1 = −2a0		;
						sin2 x = 0
2a		cos 2x + a sin 2x + a										sin 2x
2a	0	cos 2x + a sin 2x + a			2							sin 2x
	0			1	2

y′′a0 − y′2a0

cos 2x

= 0

sin 2x

y′′sin 2x − 2 y′cos 2x = 0 .

(*)

Функции y1 = 1, y2 = cos 2x удовлетворяют(*);

y′

= 0 , y′ = −2sin 2x ;

y′′ = 0 ,

y′′ = −4 cos 2x ; W =

cos 2x

− 2sin 2x

= −2sin 2x ≠ 0 , кроме х = 0.

332 (4232). Еслиу1 естьчастноерешениеуравненияу" + у'Р(х) + y Q(х) = 0,

то y2 = Cy1 ∫e−∫ P( x)dx		dx	(С – постоянная) тоже является решением.
то y2 = Cy1 ∫e−∫ P( x)dx		2	(С – постоянная) тоже является решением.
		y1
Показать это тремя способами: 1) непосредственной проверкой; 2) за-
меной у = y1z; 3) из формулы Остроградского.
Решение
y1 – частноерешениедифференциальногоуравнения
			у" + у'Р(х) + yQ(x) = 0;			(*)
y2 = Cy1 ∫e−∫ P( x)dx	dx	(С = const)			– также решение. Покажем это тре-
y2 = Cy1 ∫e−∫ P( x)dx	2	(С = const)			– также решение. Покажем это тре-
	y1
мя способами:
1) непосредственнойпроверкой:
			y′′ + y′P(x) + y Q(x) = 0 ;			(1)
		1		1	1

204

Линейныеуравнения

y′ = Cy′

∫

e−∫ P( x) dx

e−∫ P( x) dx;

y′′

Cy′′ e−∫ P( x) dx

∫

Cy′

−

P( x) dx

Cy′

−

P( x) dx

−

P( x) dx

∫

−

∫

−

∫

P(x).

Подставим y′′ ,

y′

и у

в (*):

Cy′′

∫

e−∫ P( x) dx

−

−∫ P( x) dx P(x) + Cy′

∫

e−∫ P( x) dx

P(x) +

e−∫ P( x) dx P(x) + Cy1 ∫e−∫ P( x) dx

Q(x) =

= C

∫

e−∫ P( x) dx

( y′′ + y′P(x) + y Q(x)) = 0 ;

2) заменой y = y z ,

y′ = y′z + y z′

, y′′ = y′′

+ 2 y′z′ + y z′′ .

Подставим у, у' и у" в (*):

y z′′ + [2 y′ + y P(x)]z′ + [y′′

+ y′P (x) + y Q(x)]z = 0 ; y z′′

+ [2 y′

+ y P (x)]z′ = 0 , z′ = u ,

z′′ = u′ ; y u′ + [2 y′

+ y P(x)]u = 0 , u = vw ,

u′ = v′w + vw′ ; yv′w + v [y w′ + 2 y′w + y P(x)w]= 0 ;

2 y′

+ y P(x)

ln w = −∫ P(x) dx − 2 ln

e−∫ P( x) dx

= −

dx ;

w =

;

−

P( x) dx

w = 0

v = C ; u = c

∫

= z′

z = C∫e−∫ P( x) dx

;

3) из формулы Остроградского.

Из дифференциального уравнения

y′′ + y′P(x) + y Q(x) = 0

най-

дем Р(х):

205

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

y′′ + P(x) y′

+ Q(x) y

= 0,

× y

y y′′ −

y′′y

′′

y′′ + P(x) y′

+ Q(x) y

= 0

× y1

P(x) = −

y y′ − y′y

y′

= − w′(x)

− w(x)P(x) = w′(x) ;

= −P (x) dx ;

w(x)

w = Ce−∫ P( x) dx .

(**)

Равенство (**) называется формулой Остроградского–Лиувилля. Перепишемэтуформулутак: y1 y2′ − y1′ y2 = Ce−∫ P( x) dx , иразделимееобе части на y12 :

y y′

−

y′y

e−∫ P( x) dx

1 2

= C

или

= C

y2 = Cy1 ∫e−∫ P( x) dx dxy2 , ч. т. д.

333 (4233). Пользуясь формулой задачи 332 (4232), найти общее решениеуравнения (1 − x2 ) y′′ − 2xy′ + 2 y = 0 , знаяегочастноерешениеyl = x.

Решение

−∫ −

2 x dx

1−x2

(1 − x

) y′′ − 2xy′ + 2 y

= 0, yl = x, p(x) = −

; y2

= c2 x∫e

− x

−∫

d (1 − x2 )

−ln

1 − x2

= c2 x∫e

= c2 x∫

(1 − x2 )x2

1+ x

= c x

dx = c

−

∫ 1

− x

1− x

1 + x

Общее решение:

y = c y

+ c

= c x + c

x ln

− c

1 − x

206

Линейныеуравнения

334 (4234). Решить уравнение

y′′ +

y′

− y = 0 , зная его частное реше-

ние y

= sin x .

Решение

−

p( x) dx dx

sin x

−2

∫

y2 = −c2 y1 ∫e

∫

= −c2

∫e

y12

sin 2 x / x2

= −c2

sin x

∫

= c2

cos x

sin2 x

Общеерешениедифференциальногоуравнения:

y = c

sin x

+ c

cos x .

335 (4235). Уравнение (2x − x2 )y′′ + (x2 − 2)y′ + 2(1 − x) y = 0 имеетрешение у = ех. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным ус-

ловиям y

x = 1 = 0 ,

y′

x = 1 =1.

Решение

y2 = c2ex ∫e−∫

x2 − 2

= c2ex ∫e−x (2x − x2 ) dx =

2x − x2

2 x

2x − x2 = u,

du = 2 − 2x,

− e

−x

(2x − x

) + ∫

−x

dx = dv,

v = −e

−x

= c2e

− 2x) dx

2 − 2x = u, − 2dx = du,

= c2e

− e

−x

(2x − x

)− e

−x

(2 − 2x) −

2∫e

−x

dx = dv, v = −e

−x

207

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

= c	2	ex [e−x x2	]= c	2	x2	,	y = c ex + c	2	x2	,	y′ = c ex + 2xc	2	;	c1e + c2 = 0,
	2			2			1	2			1	2			c e + 2c	2	= 1
															1	2

c1 = −e−1 , c2 =1.

Частное решение: y = x2 − ex − 1 .

336 (4236). Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение y′′ + y′p(x) − yQ(x) = 0 имело два линейно независимых решения: у1 и у2, – удовлетворяющих условию у1 у2 = 1.

Решение

Необходимость. Из задачи 332 (4232) вытекает, что

y2 = cy1 ∫ e

−∫ p ( x) dx

(1)

∫

Подставивв(1)

y =

, получим

= c

e−∫ p ( x) dx y2

dx . Продиф-

′

−∫ p ( x) dx

′

= ce

ференцируем это равенство по х: 2 y2 y2

−∫ p ( x) dx

y2 . Теперьпродифференцируем последнее равенствопо х:

y′′

e−∫ p ( x) dx

(− p(x)) y

+ y′ e−∫ p ( x) dx

e−∫ p ( x) dx

( y′

− y

p (x)) .

Подставим y′

и y′′

висходноедифференциальное уравнение:

e−∫

p ( x) dx ( y′ − y

p (x)) +

e−∫ p ( x) dx y

p (x) − y

Q (x)

= 0

−∫

p ( x) dx

y′

− y

Q(x) = 0, а затем y′

в полученное:

208

Линейныеуравнения

−∫ p ( x) dx c

−∫ p ( x) dx

− y2Q(x) = 0

−2∫ p ( x) dx

= Q(x)

4 − 2∫ p(x) dx = ln Q(x) , ипродифференцируемегопох:

− 2 p(x) =

Q′(x)

Q(x)

2 p (x)Q + Q′(x) = 0 .

(2)

Достаточность. Доказывается с использованием равенства (2) и проведением всех преобразований в обратном порядке.

337 (4237). Найтиобщеерешениеуравнения (1 − x2 ) y′′ − xy′ + 9 y = 0 , если его частное решение есть многочлен третьей степени.

Решение
Частное решение по условию у	1		= Ах3			+ Вх2 + Сх + D; y ′ = 3Ах2 +
								1
+ 2Вх + С; y′′ = 6Ах + 2В. Подставив y ,					y′	и	y′′ в исходное уравнение,
1			l		1		1
получим B = D = 0; А / С = –4 / 3 или А = 4k;							С = –3k.
Положивk = 1, получимyl = 4х3 – 3х. Второечастноерешениенахо-
дим по формуле y2 = cy1 ∫e−∫ p ( x) dx		dx		, где			p(x) = −	x	. Получаем
		2						2
			y1				1	− x

y2 = c 1 − x2 (4x2 −1) .

Общее решение: y = c1(4x3 − 3x) + c2 1 − x2 (4x2 −1) .

В задачах 338 (4238)–340 (4240) легко подобрать одно частное решение (не считая тривиального у = 0) для данного уравнения. Найти общеерешениеэтихуравнений.

338 (4238). y′′ − tg x y′ + 2 y = 0 .

209

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Решение
Одно частное решение: y	l	= sin х,	y′	= cos х,	y′′	= –sin х; тогда
	l		1		1

– sin x – sin x + 2sin x = 0.

Второе частное решение ищем по формуле (см. задачу 332 (4232))

y2 = cy1 ∫e

−

∫

p( x) dx dx

; p(x) = –tg x;

y2 = sin x∫e

−

∫

−tg x dx

sin

= sin x∫e

−ln

cos x

= sin x∫

(cos x)−1 dx

= sin x∫

1 dx

sin 2 x

sin 2 x cos x

∫

sin 2

x + cos2 x

∫

cos x dx

= sin x

sin

x cos x

dx = sin x

sin

∫ cos x

∫

d(sin x)

∫

= sin x

sin 2 x

= sin x

x −

sin

+ x

2sin

cos

−

= sin x ln

−

sin x

Общее решение:

y = c1 y1 + c2 y2 или y = c1 sin x + c2

sin x ln

− 1 .

339 (4239). y′′ − y′ +

= 0 .

Решение

Одно частое решение: yl = х, где p(x) = –1.

Второе: y2 = x ∫

−

∫

−dx dx

= x∫

y = c1x + c2 x∫

dx ;

dx .

210

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3221 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.20151 Мб21kursovaya_Voznyy_1.doc
#
15.02.201568 Кб50KURSOVAYa2.docx
#
14.02.2015162 Кб12kursovaya5.doc
#
15.02.20151 Мб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
15.02.2015979 Кб26Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20155 Мб1256Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158 Мб55Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
01.04.2025143 Кб2L_LLL.DOC
#
14.02.2015182 Кб8L_r_Rozdil_II_M.doc
#
14.02.2015266 Кб23Lab__09_EXCEL_Sortirovka_i_filtratsia_dannykh.doc
#
14.02.2015372 Кб43lab_1.doc