Kuznecov_reshebnik
.pdfЛинейныеуравнения
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
327 (4227). Функции х3 и х4 удовлетворяют некоторому однородному линейномудифференциальномууравнениювторогопорядка. Убедиться, что они образуют фундаментальную систему, и составить уравнение.
Решение
|
|
|
y |
= x3 , |
y |
2 |
= x4 , |
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
= 3x2 |
|
= 4x3. |
|
|
||||||||
|
|
|
y′ |
, y′ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
Вронскиан W = |
|
y1 |
y2 |
|
= |
|
x3 |
x4 |
|
= x |
6 |
≠ 0 |
, кроме х = 0. Функции |
|||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y′ |
y′ |
|
|
3x |
2 |
4x |
3 |
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
образуют фундаментальную систему. Тогда y′′ = 6x , |
y |
′′ =12x2 |
. Общий |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
виддифференциальногоуравнениявторогопорядка |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а0 у" + а1 у' + а2 у = 0. |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||
Подставим в (1) значения у, у' и у": |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6xa0 + 3x |
2 |
a1 + x |
3 |
a2 |
= 0, |
|
|
+ x3a = 0 |
a |
= − 6a0 ; |
|
||||||||||||
|
|
× x 6x2a |
0 |
|
|||||||||||||||||||
12x2a |
|
|
+ 4x3a + x4a |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
x |
|
|||||||||||
0 |
2 |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
6a0 |
|
|
|
|
|
|||||||
6xa0 −18x a0 + x3a2 = 0 |
|
a2 = |
12 |
a0 . |
|
Итак, |
a0 y′′ − |
|
y′ + |
12 |
a0 y = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
||
= 0 |
|
x2 y′′ − 6xy′ +12 y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
328(4228). То же для функции ех и х2ех.
Решение
y = ex, |
y |
2 |
= x2ex ; |
y2 |
= x2 ≠ const . Значит, решения y |
l |
и у |
2 |
– линейно |
||||
|
|||||||||||||
1 |
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимые и составляют фундаментальную систему решений: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
x |
′′ |
x |
; |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
y1 = e , |
y1 = e |
|
|
|
|
|||
|
|
|
у'2 = 2хех + х2ех, |
у"2 = 2ех + 4хех + х2ех. |
|
(3) |
201
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
Подставляем (2) и (3) в дифференциальное уравнение (1) (см. зада-
чу327 (4227)):
a0e |
x |
+ a1e |
x |
+ a2e |
x |
= 0, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
|
(2 + 4x + x2 )ex |
+ a |
(2x + x2 )ex + a |
|
|
||||||
0 |
2 |
x2ex = 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a0 + a1 + a2 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(2 + 4x + x |
2 )a |
+ (2x |
+ x2 )a |
+ a |
2 |
x2 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a0 x |
2 |
+ a1x |
2 |
+ a2 x |
2 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 + 2x)a |
0 |
+ 2xa |
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||
(2 + 4x + x |
2 )a |
|
+ (2x + x2 )a + a |
|
x2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a = − |
1 + 2x |
|
a |
; a |
0 |
− |
|
1 + 2x |
a |
0 |
+ a |
2 |
= 0; − a |
1+ x = −a |
2 |
; a |
2 |
= |
|
1 + x |
a |
0 |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 x |
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||
a0 y′′ − |
|
1+ 2x |
a0 y′ + a2 y = 0 |
|
xy′′ − |
(2x +1) y′ + (x +1) y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
329 (4229). Функциих, х3, ех образуютфундаментальнуюсистемурешенийлинейногооднородногоуравнениятретьегопорядка. Составитьэто уравнение.
Решение
y |
= x, |
y |
2 |
= x3 , |
y |
3 |
= ex ; |
1 |
=1, |
|
= 3x2 , |
|
= ex ; |
||
y′ |
y′ |
y′ |
|||||
1 |
|
|
2 |
= 6x, |
|
3 |
= ex ; |
y′′ = 0, y′′ |
y′′ |
||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
= ex. |
y′′′= 0, |
y′′′ = 6, |
y′′′ |
|||||
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
Общийвиддифференциальногоуравнениятретьегопорядка
a0 y"' + а1 у" + а2 у' + а3 у = 0.
Подставляем (1) в (2):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= − |
a2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||
a2 + a3 x = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
6a |
0 |
+ 6xa + 3x2a |
2 |
+ x3a |
= 0, |
|
6a |
0 |
+ 6xa |
+ 2x2a |
2 |
= 0, |
|
|||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
(a0 + a1 + a2 + a3 ) e |
x |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a0 |
+ a1 − |
a2 = |
0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
(1)
(2)
202
Линейныеуравнения
a |
2 |
= |
3(x −1) |
a |
0 |
; |
a |
|
+ a |
+ |
|
3(x −1)2 |
|
|
a |
|
= 0 |
a = |
|
|
||||||
|
|
|
x2 − 3x + 3 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
x(x2 − 3x + 3) |
|
0 |
|
1 |
|
|
|||||||||
= − |
|
|
x3 − 3x + 3 |
|
a0 |
; a3 |
= − |
|
3(x −1) |
a0 |
; |
a0 y′′′ − |
x3 − 3x + 3 |
a0 y′′ + |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x(x2 |
− 3x + 3) |
x(x2 |
− 3x + 3) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x(x2 − 3x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
3(x −1) |
|
a0 y′ − |
|
3(x −1) |
|
a0 y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x2 − 3x + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x(x2 − 3x + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x3 − 3x2 + 3x) y′′′ − (x3 − 3x + 3) y′′ − 3x(1− x) y′ + 3(1− x) y = 0 .
330 (4230). Функциих2 их3 образуютфундаментальнуюсистемурешений линейногооднородногоуравнениявторогопорядка. Найтирешениеэтого
уравнения, удовлетворяющееначальнымусловиям y |
|
x = 1 =1, y′ |
|
x = 1 = 0 . |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = x2, y |
|
= x3; |
y = c x2 + c |
2 |
x3 |
, |
|
|
1 = c |
+ c |
2 |
, |
|
|
c = 3, |
||
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||||
1 |
|
y′ = 2c1x + 3c1x2 |
|
|
0 = 2c1 |
+ 3c2 |
|
|
c2 = −2; |
y = 3x2 − 2x3 .
331 (4231). Функции cos2 x и sin2 x удовлетворяют некоторому линейному однородному уравнению второго порядка: а) проверить, что они составляют фундаментальную систему решений; б) составить уравнение; в) показать, чтодругойфундаментальнойсистемойэтогоуравненияявляются функции 1 и cos 2х.
Решение
|
|
y |
= cos2 x, |
|
y |
2 |
= sin 2 x; |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
y′ |
= −sin 2x, |
|
y′ |
= sin 2x. |
||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Вронскиан W = |
|
cos2 |
x |
sin 2 x |
|
= sin 2x ≠ 0 , кромех= 0. Фундамен- |
||
|
|
|||||||
|
− sin 2x |
sin 2x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
203
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
тальную систему решений составляют у |
и у . Тогда |
y′′ = −2 cos 2x, |
1 |
2 |
1 |
y′2′ = 2 cos 2x , a0 y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 ; |
|
|
|
− 2a |
0 |
cos 2x − a sin 2x + a |
2 |
cos2 x = 0, |
|
|
|
cos 2x |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a2 |
= 0 , |
a1 = −2a0 |
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x = 0 |
|
||||||
2a |
|
cos 2x + a sin 2x + a |
|
sin 2x |
||||||||||
|
0 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′a0 − y′2a0 |
cos 2x |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′sin 2x − 2 y′cos 2x = 0 . |
|
|
|
(*) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции y1 = 1, y2 = cos 2x удовлетворяют(*); |
|
|
|
||||||||
y′ |
= 0 , y′ = −2sin 2x ; |
y′′ = 0 , |
y′′ = −4 cos 2x ; W = |
|
1 |
cos 2x |
|
= |
||||
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
0 |
− 2sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2sin 2x ≠ 0 , кроме х = 0.
332 (4232). Еслиу1 естьчастноерешениеуравненияу" + у'Р(х) + y Q(х) = 0,
то y2 = Cy1 ∫e−∫ P( x)dx |
dx |
(С – постоянная) тоже является решением. |
|||||
2 |
|||||||
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
Показать это тремя способами: 1) непосредственной проверкой; 2) за- |
|||||||
меной у = y1z; 3) из формулы Остроградского. |
|
||||||
Решение |
|
|
|
|
|
||
y1 – частноерешениедифференциальногоуравнения |
|
||||||
|
|
|
|
у" + у'Р(х) + yQ(x) = 0; |
(*) |
||
y2 = Cy1 ∫e−∫ P( x)dx |
dx |
|
(С = const) |
– также решение. Покажем это тре- |
|||
2 |
|||||||
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
мя способами: |
|
|
|
|
|
||
1) непосредственнойпроверкой: |
|
||||||
|
|
|
|
y′′ + y′P(x) + y Q(x) = 0 ; |
(1) |
||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
204
Линейныеуравнения
|
y′ = Cy′ |
∫ |
e−∫ P( x) dx |
dx |
+ |
|
C |
e−∫ P( x) dx; |
y′′ |
= |
Cy′′ e−∫ P( x) dx |
dx |
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
∫ |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
||||||
|
|
Cy′ |
|
− |
P( x) dx |
|
Cy′ |
|
|
|
|
− |
|
P( x) dx |
|
|
C |
|
|
− |
P( x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
1 |
e |
|
∫ |
|
|
|
− |
|
1 |
|
e |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
e |
|
∫ |
|
|
|
|
P(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Подставим y′′ , |
|
y′ |
|
|
и у |
2 |
в (*): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Cy′′ |
∫ |
e−∫ P( x) dx |
|
dx |
|
− |
|
C |
e |
−∫ P( x) dx P(x) + Cy′ |
∫ |
|
e−∫ P( x) dx |
dx |
P(x) + |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
+ |
|
C |
|
e−∫ P( x) dx P(x) + Cy1 ∫e−∫ P( x) dx |
|
dx |
Q(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= C |
∫ |
e−∫ P( x) dx |
dx |
|
( y′′ + y′P(x) + y Q(x)) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) заменой y = y z , |
|
y′ = y′z + y z′ |
, y′′ = y′′ |
+ 2 y′z′ + y z′′ . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Подставим у, у' и у" в (*): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
y z′′ + [2 y′ + y P(x)]z′ + [y′′ |
+ y′P (x) + y Q(x)]z = 0 ; y z′′ |
+ [2 y′ |
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
+ y P (x)]z′ = 0 , z′ = u , |
z′′ = u′ ; y u′ + [2 y′ |
|
+ y P(x)]u = 0 , u = vw , |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u′ = v′w + vw′ ; yv′w + v [y w′ + 2 y′w + y P(x)w]= 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dw |
|
|
|
|
|
2 y′ |
+ y P(x) |
|
|
|
|
|
|
|
ln w = −∫ P(x) dx − 2 ln |
|
|
|
|
|
|
|
e−∫ P( x) dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= − |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
y1 |
|
w = |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
w |
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
− |
P( x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||
|
y |
w = 0 |
v = C ; u = c |
|
∫ |
|
|
|
|
|
= z′ |
z = C∫e−∫ P( x) dx |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3) из формулы Остроградского. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Из дифференциального уравнения |
|
y′′ + y′P(x) + y Q(x) = 0 |
най- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
дем Р(х):
205
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y′′ + P(x) y′ |
+ Q(x) y |
= 0, |
× y |
|
|
|
|
y y′′ − |
y′′y |
|
|
|
|
′′ |
|
′′ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
y2 |
|
|
|
||||||||||
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ + P(x) y′ |
+ Q(x) y |
2 |
= 0 |
× y1 |
P(x) = − |
|
y y′ − y′y |
2 |
= |
|
|
y |
y |
2 |
|
|
= |
|||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
= − w′(x) |
|
− w(x)P(x) = w′(x) ; |
dw |
= −P (x) dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
w(x) |
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
w = Ce−∫ P( x) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(**) |
Равенство (**) называется формулой Остроградского–Лиувилля. Перепишемэтуформулутак: y1 y2′ − y1′ y2 = Ce−∫ P( x) dx , иразделимееобе части на y12 :
y y′ |
− |
y′y |
2 |
|
e−∫ P( x) dx |
|
d |
|
y |
2 |
|
|
e−∫ P( x) dx |
|
1 2 |
|
1 |
= C |
|
или |
|
|
|
|
= C |
|
|
||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
y1 |
|
|
|
y1 |
|
dx |
y1 |
|
y1 |
|
y2 = Cy1 ∫e−∫ P( x) dx dxy2 , ч. т. д.
1
333 (4233). Пользуясь формулой задачи 332 (4232), найти общее решениеуравнения (1 − x2 ) y′′ − 2xy′ + 2 y = 0 , знаяегочастноерешениеyl = x.
Решение
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∫ − |
2 x dx |
dx |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−x2 |
|
|||||||
(1 − x |
|
|
) y′′ − 2xy′ + 2 y |
= 0, yl = x, p(x) = − |
|
|
|
|
; y2 |
|
= c2 x∫e |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
− x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
−∫ |
d (1 − x2 ) |
|
dx |
|
|
|
|
|
−ln |
|
1 − x2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= c2 x∫e |
|
|
|
|
|
|
|
|
= c2 x∫e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= c2 x∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
(1 − x2 )x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= c x |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
dx = c |
2 |
x |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
∫ 1 |
− x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Общее решение: |
|
y = c y |
+ c |
2 |
y |
2 |
= c x + c |
2 |
x ln |
|
|
− c |
2 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
206
Линейныеуравнения
334 (4234). Решить уравнение |
y′′ + |
2 |
y′ |
− y = 0 , зная его частное реше- |
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
ние y |
|
= sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
p( x) dx dx |
|
|
sin x |
|
|
−2 |
∫ |
dx |
|
dx |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y2 = −c2 y1 ∫e |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
= −c2 |
|
∫e |
|
x |
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
y12 |
x |
sin 2 x / x2 |
||||||||||||||||||
|
= −c2 |
sin x |
|
∫ |
|
|
|
dx |
= c2 |
cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
sin2 x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Общеерешениедифференциальногоуравнения: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
y = c |
sin x |
|
+ c |
|
|
cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
x |
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
335 (4235). Уравнение (2x − x2 )y′′ + (x2 − 2)y′ + 2(1 − x) y = 0 имеетрешение у = ех. Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным ус-
ловиям y |
|
x = 1 = 0 , |
y′ |
|
x = 1 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y2 = c2ex ∫e−∫ |
|
x2 − 2 |
dx |
dx |
= c2ex ∫e−x (2x − x2 ) dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − x2 = u, |
du = 2 − 2x, |
|
|
x |
|
− e |
−x |
(2x − x |
2 |
) + ∫ |
e |
−x |
(2 |
|
|
|
= |
||||||||||||||||
= |
−x |
dx = dv, |
v = −e |
−x |
|
= c2e |
|
|
|
|
|
|
− 2x) dx |
||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − 2x = u, − 2dx = du, |
= c2e |
x |
− e |
−x |
(2x − x |
2 |
)− e |
−x |
(2 − 2x) − |
2∫e |
−x |
|
= |
||||||||||||||||||||
= |
−x |
dx = dv, v = −e |
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
207
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
= c |
2 |
ex [e−x x2 |
]= c |
2 |
x2 |
, |
y = c ex + c |
2 |
x2 |
, |
y′ = c ex + 2xc |
2 |
; |
c1e + c2 = 0, |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
c e + 2c |
2 |
= 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
c1 = −e−1 , c2 =1.
Частное решение: y = x2 − ex − 1 .
336 (4236). Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы уравнение y′′ + y′p(x) − yQ(x) = 0 имело два линейно независимых решения: у1 и у2, – удовлетворяющих условию у1 у2 = 1.
Решение
Необходимость. Из задачи 332 (4232) вытекает, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 = cy1 ∫ e |
−∫ p ( x) dx |
dx |
. |
|
|
|
(1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Подставивв(1) |
y = |
1 |
, получим |
|
y2 |
= c |
|
|
e−∫ p ( x) dx y2 |
dx . Продиф- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
−∫ p ( x) dx |
2 |
|
′ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ce |
|
|
|
|
y2 |
|
= |
|||||
ференцируем это равенство по х: 2 y2 y2 |
|
|
|
|
y2 |
|||||||||||||||||||||||||||
= |
|
c |
e |
−∫ p ( x) dx |
y2 . Теперьпродифференцируем последнее равенствопо х: |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y′′ |
= |
c |
e−∫ p ( x) dx |
(− p(x)) y |
2 |
+ y′ e−∫ p ( x) dx |
= |
c |
e−∫ p ( x) dx |
( y′ |
− y |
2 |
p (x)) . |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Подставим y′ |
|
и y′′ |
висходноедифференциальное уравнение: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
e−∫ |
p ( x) dx ( y′ − y |
2 |
p (x)) + |
c |
e−∫ p ( x) dx y |
2 |
p (x) − y |
2 |
Q (x) |
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
c |
e |
−∫ |
p ( x) dx |
y′ |
− y |
2 |
Q(x) = 0, а затем y′ |
|
|
в полученное: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
208
Линейныеуравнения
c |
|
e |
−∫ p ( x) dx c |
|
e |
−∫ p ( x) dx |
y2 |
− y2Q(x) = 0 |
c2 |
e |
−2∫ p ( x) dx |
= Q(x) |
||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln |
|
4 − 2∫ p(x) dx = ln Q(x) , ипродифференцируемегопох: |
||||||||||||
|
− 2 p(x) = |
Q′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Q(x) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p (x)Q + Q′(x) = 0 . |
(2) |
Достаточность. Доказывается с использованием равенства (2) и проведением всех преобразований в обратном порядке.
337 (4237). Найтиобщеерешениеуравнения (1 − x2 ) y′′ − xy′ + 9 y = 0 , если его частное решение есть многочлен третьей степени.
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение по условию у |
1 |
= Ах3 |
+ Вх2 + Сх + D; y ′ = 3Ах2 + |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
+ 2Вх + С; y′′ = 6Ах + 2В. Подставив y , |
y′ |
и |
y′′ в исходное уравнение, |
|||||||
1 |
|
|
l |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
получим B = D = 0; А / С = –4 / 3 или А = 4k; |
С = –3k. |
|
|
|||||||
Положивk = 1, получимyl = 4х3 – 3х. Второечастноерешениенахо- |
||||||||||
дим по формуле y2 = cy1 ∫e−∫ p ( x) dx |
|
dx |
, где |
p(x) = − |
|
x |
. Получаем |
|||
|
2 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
y1 |
|
|
1 |
− x |
y2 = c 1 − x2 (4x2 −1) .
Общее решение: y = c1(4x3 − 3x) + c2 1 − x2 (4x2 −1) .
В задачах 338 (4238)–340 (4240) легко подобрать одно частное решение (не считая тривиального у = 0) для данного уравнения. Найти общеерешениеэтихуравнений.
338 (4238). y′′ − tg x y′ + 2 y = 0 .
209
Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"
Решение |
|
|
|
|
|
|
Одно частное решение: y |
l |
= sin х, |
y′ |
= cos х, |
y′′ |
= –sin х; тогда |
|
|
1 |
|
1 |
|
– sin x – sin x + 2sin x = 0.
Второе частное решение ищем по формуле (см. задачу 332 (4232))
y2 = cy1 ∫e |
− |
∫ |
p( x) dx dx |
|
; p(x) = –tg x; |
y2 = sin x∫e |
− |
∫ |
−tg x dx |
dx |
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= sin x∫e |
−ln |
|
cos x |
|
|
dx |
|
= sin x∫ |
(cos x)−1 dx |
|
= sin x∫ |
|
|
|
1 dx |
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
sin 2 x cos x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
sin 2 |
x + cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
∫ |
cos x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= sin x |
|
sin |
2 |
|
x cos x |
|
dx = sin x |
|
|
|
|
+ |
sin |
2 |
x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
∫ |
|
d(sin x) |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
+ |
|
|
|
sin 2 x |
|
|
= sin x |
|
|
π |
|
|
x |
π |
|
|
|
x − |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
+ |
|
|
cos |
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
4 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
− |
|
|
|
= sin x ln |
tg |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y = c1 y1 + c2 y2 или y = c1 sin x + c2 |
sin x ln |
|
tg |
|
+ |
|
|
|
− 1 . |
||||||||||||||||
4 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
339 (4239). y′′ − y′ + |
y |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Одно частое решение: yl = х, где p(x) = –1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Второе: y2 = x ∫ |
|
|
− |
∫ |
−dx dx |
= x∫ |
ex |
|
|
y = c1x + c2 x∫ |
ex |
||||||||||||||
e |
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||
|
|
x2 |
x2 |
|
x2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
210