Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1108

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3227 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Линейныеуравнения

400 (4300). Решить предыдущую задачу в предположении, что шарик прикрепленкточкеОпружиной. Силадействияпружинынашарикпропорциональнадеформациипружины, силаK 10–5 Нвызываетизменениедлины пружины на 1 см. Длина пружины в свободном состоянии равна а0.

Решение

	Нерастянутая
а0	пружина

а0	Растянутое
а0	состояние
	x

Пружина растягивается на (х – а0) см, K 10–5 Н = k. По условию сила упругости F = cx, k = c 1 c = k, F = kx.

Дифференциальноеуравнение(2) задачи399 (4299) принимаетвид

m&x&− mω

x = −k(x − a0 ) или mx −

(mω

− k)x = ka0 .

Характеристическоеуравнение: mr 2 − (mω 2 − k) = 0 ,

= ±

− ω 2 .

1,2

Случай 1.

m&x&− (mω 2 − k)x = ka0 .

(*)

Пусть

> ω 2 . Тогда общее решение однородного дифференциаль-

ногоуравнениябудет

= c

cos k

− ω 2

t + c

sin

− ω 2

Частное решение:

x = A,

x& = 0,

&x&= 0. Подставляя x, x&, &x& в (*),

a0k

имеем

A =

− c1 sin

− ω

t +

2 . Тогда производная

k − mω

x =

+ c

cos

− ω 2 t

− ω 2 . При t

= 0 x = a

, x&

= 0 ;

261

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

a0 = c1

a0k

− mω

a0mω 2

k −

= 0

; c = −

; x =

a0k

k − mω

0 = c2

− ω

− mw2 cos

− ω 2

t .

Случай 2.

k = mω

= 0 .

1,2

Общее решение:

x1 = c1 + c2t .

Частноерешениенеоднородногоуравнения:

x = At2 , x& = 2At , &x&= 2 A

2 Am − (mω 2 − k )At 2 = ka0 ;

A(mω

− k)=

t2 ;

O = 0,

A =

; x =

t2 ;

x = c + c

t +

2 Am

= ka0

ka0

a0 = c1,

ka0

x = c2 +

;

x = a0 +

= a0 1

0 = c2

Случай 3. mk − ω 2 < 0 .

Корнихарактеристического уравнениядействительныеиравны:

t + c

r = ± ω 2

k ; x = c e

−

e− ω

−

t ; x = A ; A =

a0k

−

;

1,2

k − mω

−

− ω

−

a0k

x = c e

+ c e

; x = ω

−

c e

− c e

;

k − mω 2

m 1

262

Линейныеуравнения

a0 = c1

+ c2 +

a0k

k − mω

a0mω

= c2

ω 2 − k

(mω 2 − k)2 ;

0 = (c

− c

)

x =

−

mω

t − k

mω

− k

Уравнения высших порядков

Взадачах401 (4301)–411 (4311) найтиобщиерешенияуравнений.

401(4301). y′′′ + 9 y′ = 0.

Решение

Характеристическое уравнение: r3 + 9r = 0; r1 = 0, r2,3 = ± 3i. Общее решение: y = c1 cos3x + c2 sin 3x + c3.

402(4302). y(IV ) −13y′′ + 36y = 0.

Решение

r4 −13r2 + 36 = 0; r2 = ±							13 ± 169 −144 = ±						13 ± 5 ; r		= 3	, r = −3,
									2				2	1		2
									2				2
r = 2 ,		r = −2			; y = c e2 x + c			e−2 x	+ c e3x + c		4	e−3x .
3		4			1		2		3		4

403 (4303). y(IV ) = 8 y′′ −16 y.
	Решение
r 4 − 8r 2 + 16 = 0 ; r 2 = ± 4 ± 16 −16										r = 2			, r = −2		;
										1,2			3,4
	y = (c + c		2	x)e	2 x + (c + c	4	x)e−2 x .
1			2		3	4

263

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

404 (4304). y(IV ) = 16 y .
	Решение
r4 =16 ;		(r2 − 4)(r2 +		4)= 0	; r = 2			, r = −2 ,	r = ± 2i ;
					1			2	3,4
	y = c e2x + c		e−2 x + c	cos 2x + c		4	sin 2x .
1		2	3			4

405 (4305). y′′′ −13 y′ −12 y = 0 .

	Решение
r3 −13r −12 = 0 ; r3 = 13r −12 = (r +1)(r 2 − r −12)= 0 ; r2 − r −12 = 0 ;
r +1 = 0 , r = −1 , r						= 1 ± 1 + 48 ,		r = 4 ,	r = −3 ;
1				2,3			2	2	3
							2
	y = c e−x + c	2	e4 x	+ c e−3x.
1		2		3

406 (4306). y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 .
	Решение				(r3 −1)− 3r(r −1)= (r −1)(r 2 + r +1 − 3r)= 0 ;
r3 − 3r2 + 3r −1 = 0 ;					(r3 −1)− 3r(r −1)= (r −1)(r 2 + r +1 − 3r)= 0 ;
(r −1)(r2 − 2r +1)= 0					; r =1,		r =1	; y = c ex + c		2	xex + c x2ex .
						1	2,3	1		2	3

407(4307). y(IV ) + 2 y′′′ + y′′ = 0 .

Решение

r4 + r3 +	2r2 = 0		; r = 0			, r2		+ r + 2 = 0 , r					= − 1	± 7 i ;
			1,2									3,4	2	2
													2	2
y = c + c				c	cos		7	x + c		sin	7
y = c + c	2	x + e−x / 2		c	cos			x + c	4	sin		.
1	2			3			2		4		2
							2				2

264

Линейныеуравнения

408 (4308). y(n) = y(n−2) .

Решение

rn − rn − 2 = 0 ; r n − 2 (r 2 −1) = 0 ,						r	= r	= ... = r			2	= 0 ,
						1	2			n −	2
y = c ex + c	2	e−x + c xn−3	+ c	4	xn−4	+ ... + c			n − 1	x + c	n	.
1	2	3		4					n − 1		n

409(4309). y(IV ) + y = 0 .

Решение

r4 +1 = 0 ; r = 4 −1 ;	4		ϕ + 2kπ	+ isin
		−1 = 4 −1 cos	4

rn −1 =1,

ϕ+ 2kπ

rn = −1;

ϕ = π ;

k = 0,1,2,3 ;

= cos π

+ i sin π =

1 ±

i ;

= cos

3π

+ i sin

3π

0,2

1,3

−

= −

;

c1 cos

+ c2 sin

y = e 2

+ e

c3 cos

+ c

sin

410 (4310).

64 y(VIII) + 48 y(VI) +12 y(IV) + y′′ = 0 .

Решение

64r8 + 48r6 +12r4 + r2 = 0 ; r2 (64r6 + 48r4 +12r2 +

1) = 0 ; r

= 0 ,

1,2

r2 = z . Тогда 64z3 + 48z2 +12z +1 = 0

z3 +

z +

= 0 .

Нетрудно

убедиться, что

z = − 1

–

корень

третьей

кратности.

265

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Тогда r = z = −	1	. По формуле Муавра	r1,2,3 = −	1		π	+
	4			4	cos	2

− i

; y = (c1 + c2 x + c3 x

)cos

+ (c4

+ i sin

;

r4,5,6

+ c5 x +

+ c6 x2 )sin 2x + c7 + c8 x .

411 (4311). y

(n)

(n − 1)

n(n −1)

(n − 2)

+ ... +

y′ + y = 0 .

1 2

Решение

−

n(n −1)

− 2

... +

+1 = 0 ; r = –1 – корень кратности n;

1 2

y = ex (c

+ c

x + c x2

+ ... + c

xn −1) .

412 (4312). y′′′ = − y′ ;

x = 0 = 2 ;

y′

x = 0 = 0 ; y′′

x = 0 = −1 .

Решение

r3 + r = 0 ,

= 0 ,

= ± i ;

y = c

+ c

cos x + c sin x , y′ = −c

sin x +

2,3

+ c

= 2,

+ c3 cos x ,

y′′ = −c2 cos x − c3 sin x;

c2 =1 , c1 = 1 , c3 = 1 ;

c3 = 0,

− c2 = −1

y =1 + cos x .

y(V) = y′ ;

y′

413 (4313).

x = 0 = 0 ;

x = 0 =1 ;

y′′

x = 0 = 0 ;

y′′′

x = 0 =1 ;

y(IV)

x = 0

= 2 .

266

Линейныеуравнения

Решение

r5 − r = 0

; r = 0

, r = ± 1

, r

= ± i ;

2,3

4,5

y = c

+ c

ex + c e−x + c

cos x + c sin x,

+ c

= 0,

= −2,

− c

y′ = c

− c e−x

sin x + c

cos x,

=1,

−x

− c

+ c

=1,

y′′ = c2e

+ c3e

− c4 cos x − c5 sin x,

= 0,

c2 + c3 − c4 = 0,

y′′′ = c

− c e

−x

+ c

sin x − c

cos x,

− c

=1,

−x

+ c

= 2

c = 0;

y′′′′ = c2e

+ c3e

+ c4 sin x

+ c5 sin x

y = ex + cos x − 2 .

В задачах 414(4314)–420 (4320). Составить общие решения неоднородных уравнений, находя их частные решения либо подбором, либо методомвариациипроизвольныхпостоянных.

414 (4314). y′′′ − 4 y′′ + 5 y′ − 2 y = 2x + 3

Решение

− 4r

+ 5r − 2 = 0

;

(r −1)(r 2 − 3r + 2) = 0

; r

=1,

= 3 ± 9 − 8

= 3 ±1 ,

r = 2 ,

r = 1

;

y* = (c

+ c

x)e

+ c e

x ,

2,3

y = Ax + B ,

′ = A ,

″

= 0 , y′′′ = 0 ;

5A − 2( Ax + B) = 2x + 3

−2A = 2

A = −1 ; 5A − 2B = 3

B = −4 ;

y = (c + c

x)ex

+ c e2x − x − 4

415(4315). y′′′ − 3y′ + 2 y = e− x (4x2 + 4x −10) .

Решение

r3 − 3r + 2 = 0 ; (r −1)(r 2 + r − 2) = 0 ; r1 =1, r2,3 = −1 ± 2 1 + 8 , r2 = −2 ,

267

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

r = 1	; y* = (c	+ c x)ex + c e−2x ,			y = ( Ax2 + Bx + C)e− x ,				= (2 Ax	+
r = 1	; y* = (c	+ c x)ex + c e−2x ,			y = ( Ax2 + Bx + C)e− x ,		y	′	= (2 Ax	+
3	1	2		3				′
+ B)e−x − ( Ax2 + Bx + C)e−x , y′′ = −2(2 Ax + B)e− x + 2 Ae− x + ( Ax2 +
+ Bx + C)e−x , y′′′ = 3(2Ax + B)e−x − 6Ae−x − ( Ax2 + Bx + C)e−x ;
− 6A− Ax2 − Bx − C − 3Ax2 + 3Bx + 3C + 2Ax2 + 2Bx + 2C =
		x2		2 2 A = 4,
		x2		2 2 A = 4,
= 4x2 + 4x2 + 4x −10 ; x1				4B = 4,		A =1, B =1, C = −1 ;
		x0		− 6A + 4C = −10
y = x	2 + x −1 ; y = (c + c		2	x)ex + c e−2x + (x2		+ x −1)e−x .
		1	2		3

416(4316). y(IV) + 8 y′′ +16 y = cos x .

Решение

r4 + 8r2 +16 = 0 ; r = ± − 4 ± 16 −16

; r

= ± 2i ; r

= ± 2i ;

1,2

3,4

y* = (c1 + c2 x) cos 2x + (c3 + c4 x) sin 2x ,

y = Acos x + B sin x ,

′ = −Asin x + Bcos x , y′′ = − Acos x − B sin x ,

y′′′ = Asin x − B cos x ,

y(IV) = Acos x + B sin x ;

A cos x + B sin x − 8A cos x − 8B sin x +

+16A cos x +16B sin x = cos x

;

cos x

9A =1,

A =

;

sin x

9B = 0

y = (c

+ c

x) cos 2x + (c

+ c

x)sin 2x + 1 cos x .

417(4317). y(IV) + 2a2 y′′ + a4 y = cos ax .

Решение

r4 + 2a2r2 + a4 = 0	; r = ± − a2 ± a4 − a4 = ± ai ; r = ± ai ,
	1,2

r3,4 = ± ai ; y* = c1 cos a x + c3 sin a x + x (c2 cos a x + c4 sin a x) =

268

Линейныеуравнения

= (c1 + c2 x) cos a x + (c3 + c4 x) sin a x , y = x2 ( Acos a x + B sin a x),

y′ = 2x ( Acos a x + Bsin a x) + xa2 (− Asin a x + B cos a x), y′′ = (2 Acos a x +

+2B sin a x) + 4x a (− Asin a x + B cos a x) + x2 a (− Aa cos a x − Ba sin a x) , y′′′ = 3 2a (− Asin a x + B cos x) + 4 x a2 (− Acos a x − Bsin a x) +

+2x a2 (− Acos a x − B sin a x) + 2 x a2 (− Acos a x − B sin a x) +

+x2a2 ( Aa sin a x − Ba cos a x) , y(IV) = 6a2 (− Acos a x − Bsin a x) +

+6 x a2 ( Aa sin a x − Ba cos a x) + 2 x a2 ( Aa sin a x − Ba cos a x) +

+x2a2 ( Aa2 cos a x − Ba2 sin a x) = 12a2(−Acos a x − B sin a x) +

+8a3 x ( Asin a x − B cos a x) + 2a4 x2( Acos a x + B sin a x) ;

−12 a2 Acos a x −12 a2 Bsin a x + 4 a2 Acos a x + 4 Ba2 sin a x = cos a x ;

cos a x

−12a2 A + 4a2 A = 1,

A = −

B = 0 ;

sin a x

−12a2 B + 4a2 B =

8a2

y = (c

+ c

x) cos a x + (c

+ c

x) sin a x −

cos a x .

8a2

418 (4318). y(V) + y′′′ = x2 −1.

Решение

r5 + r3 = 0 ; r3 (r 2 +1) = 0 ; r

= 0 ,

= ± i ; y* = c + c

x + c

1−3

4,5

+ c

cos x + c sin x ;

y = x3 ( Ax2

+ Bx + C) = Ax5 + Bx4 + Cx3 ,

′ = 5Ax4 + 4Bx3 + 3Cx2 ,

y′′ = 20x3 +12Bx2 + 6Cx , y′′′ = 60 Ax2 +

+ 24Bx + 6C , y(IV) = Ax + 24B ,

y(V) = 120 A ; 120A + 60Ax2 + 24Bx +

269

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

x2		60A =1,		1			1		1
x2		60A =1,
+ 6C = x2 −1; x1		24B = 0,	A =		, B = 0,	C =		(−1 − 2) = −		;

				60			6		2
x	0			60			6		2
x		120A + 6C = −1

	y =	1	x5 −		1	x3 + c		+ c	2	x + c x2 + c		4	cos x + c	sin x .
	y =		x5 −			x3 + c		+ c		x + c x2 + c			cos x + c	sin x .
60				2			1			3			5
60				2

419 (4319). y(IV) − y = xex + cos x .
		Решение
r4 −1 = 0 ;				r =1			, r	= −1		, r	= ± i ;		y* = c ex + c		2	e−x + c	cos x + c	4	sin x ,
				1			2			3,4			1		2	3		4

y = x( Ax + B)ex + x(D cos x + E sin x) = ( Ax2 + Bx)ex + x(D cos x + E sin x), y′ = (2 Ax + B)ex + ( Ax2 + Bx)ex + D cos x + E sin x + x(−Dsin x + E cos x) , y′′ = (4 Ax + B)ex+ 2 Aex+ (Ax2+ Bx)ex+ (−D sinx + E cosx)2 + x(−D cosx −

− E sinx) .

Находя, далее, y′′′ ,

y(IV)

иподставляяихзначениявисходноеурав-

нение, получим

A = 1

B = −

, D = 0 ,

E = − 1 . Окончательно имеем

y = c ex + c

e−x + c cos x + c

sin x +

x2 − 3x

ex −

xsin x .

420(4320). y(IV) − 2 y′′ + y = 8(ex + e− x ) + 4 (sin x + cos x) .

Решение

r4 − 2r2 +1 =			0 ; r = ± 1 ± 1 −1 = ± 1 , r = ± 1					, r	= ± 1	; y* = (c +
						1,2		3,4		1
+ c	2	x) ex + (c	+ c	4	x) e− x , y	= ( Aex + Be−x ) x2	+ C sin x + D cos x ,
	2	3		4

270

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 3227 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015249.86 Кб7Kursova_robota_pochti_gotovaya.doc
#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб1Kurs_lektsiy.doc
#
15.02.2015979.17 Кб19Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1108Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб43Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
14.02.2015755.2 Кб41Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб34Lab2_KL_metod.doc
#
14.02.2015547.06 Кб27Laba_1.docx
#
14.02.2015177.15 Кб7Laba_2.doc