Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kuznecov_reshebnik

.pdf

Скачиваний:

1184

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3217 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...

′

d(ln u −1)

u x = u (ln u −1); тогда

ln u −1

u (ln u −1)

ln u −1

= ln

ln u −1 = Cx

u = eCx +1 ; y′ = x eCx +1 , y = ∫ x eCx +1dx =

x = u,

du = dx,

y = C1x e

= eCx +1dx

= dv,

v =

eCx +1 ;

− C1 e

+ C2 ;

y = (C x − C

+ C

C =

263 (4163). (y′′)2 = y′ .

Решение

y′ = u , y′′ = u′ ; (u′)2 = u , u′ = ±

u ,

= dx

±2 u = x + C

± u

u = 14 (x + C)2 ; y = 121 (x + C)3 + C1 .

264(4164). 2xy′y′′ = (y′)2 +1 .

Решение

y′ = u , y′′ = u′ , 2xuu′ = u2 +1

2 u du

; ln (1 + u2 )= ln

C x

1 + u2

u2 +1 = C x ;

u = C x −1 y = 2

(C x −1)3

+ C

3 C1

265 (4165). y′′ − 2 ctg x y′ = sin 3 x .

161

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Решение

y′ = u , y′′ = u′ ; u′ − 2 ctg x u = sin3 x , u = zw , u′ = z′w + zw′ ;

zw′ + w (z′ − 2 ctg x z)= sin3 x ; z′ − 2 ctg x z = 0

= 2

cos x

sin x

= 2ln

sin x

z = sin2 x ;

dw sin2 x = sin3 x ;

w = − cos x + C ;

∫

u = − cos x sin 2 x + C sin 2

x; y = −

sin

x d (sin x)+

− cos 2 x)dx +

sin3 x +

sin 2x

+ C2 = −

x −

+ C2 .

266(4166). 1 + (y′)2 = 2 y′y′′.

Решение

Решаем подстановкой

y′ = p,

где

p = ϕ (y). Тогда

y′′ =

= p

; 1 + p2

= 2 yp

;

2 p dp

= ln (1 + p2 )

1 + p2

yC =1 + p2 ; p = ± Cy −1 ; dy = ± Cy −1;

= dx; x + C =

Cy −1

= ± 2 Cy −1

y −

;

(x + C1 )

= 4 C2 (y − C2 )

; (x + C1 )

267 (4167). (y′)2 + 2 yy′′ = 0 .

162

Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...

Решение

y′ = p ,

y′′ = p

;

2 + 2 yp

= 0

p = −2 y

;

= −

2 y

= − 1 ln

p =

C1′

, где C1′ =

;

C1′

;

y dy = C′ dx ;

y3 = C′ x + C′ ;

y3 / 2 =

C′ x +

C′

= C x + C

;

C′, C

C′

y3 / 2

= C (x

)

(x + C

)2 / 3 .

;

+ C

y = C

268(4168). a2 y′′ − y = 0.

Решение

y′ = p, y′′ = p

; a2 p

= y a2 p dp = y dy; a2 p2 = y2 + C0;

p =

y2 + C0

;

dx =

a dy

; x = a∫

+ C0

= a ln y + y2 + C0

y + y2 + C0 = C2 ex / a ; y − C2 ex / a =

= − y2 + C0

y2 − 2C2 y ex / a + C22e2x / a = y2 + C0

y = −

C0 e−x / a +

2 C2

x / a

−x / a

− C0

или

= C1 e

+ C2

= C1,

= C2 .

2C2

269 (4169). y′′ =

Решение

′′

′

; p dy = 4 y

p dp = 4 y

= p,

= p dy

2 = 2 + 2 ;

163

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

p = y + C ;

= dx;

y = z, = z2 , ; 2∫

z dz

= x + C1;

y + C

dy = 2 z dz

z + C

x + C1 = 2∫

z + C − C

dz = 2∫

z + C dz − 2C∫

= 4

(z + C)3

−

z + C

(

y − 2C)

= −C ).

− C z + C

; x =

y + C + C

270(4170). y′′ + 1 −2 y (y′)2 = 0.

Решение

y′ = p , y′′ =

;

p2 =

2dy

; ln

= ln C(y −1)2

1 − y

y −1

C′

p = C (y −1)2 ;

= dx ; −

= x + C

C (y −1)2

C(y −1)

y −1

= x + C

C′

+ C + x

x + C

+ C ).

C′

= −

;

y =

или

y =

= C′

x + C1

271(4171). yy′′ + (y′)2 = 1.

Решение

y′ = p , y′′ = p

;

+ p2 =1

p dp

;

−

1 ln

1 − p2

C 2 y2 −1

= ln Cy

= Cy

= C2 y2 ; p = 1 −

;

1 − p2

C 2 y2

164

Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...

C2 y2

−1

;

dy = dx

d (C2 y2 −1)

= x

+ C

;

2 C ∫

−

−1

= x + C

− C

− y

= C

;

(x + C )

272(4172). yy′′ = (y′)2 .

Решение

′

dp dy

= p , y′′ = p dy

yp dy = p

y dy = p

p = y ln

= ln

;

p = y C ;

= y C ,

= dx ,

= x , y = C eCx .

y C

273(4173). 2 yy′′ − 3 (y′)2 = 4 y2 .

Решение

′

= p,

y′′ =

p dy ,

2 yp dy −

3 p

= 4 y

. Разделим обе части последнего

равенства на у2:

= u, p = uy,

−

= 4,

= u

+ y

;

2u u + y

−

− 3u2 = 4

2uy

= 4 + u2

2u du

= dy ;

ln (4 + u2 )= ln

4 + u2

4 + u2 = Cy

u = Cy − 4 ; p = Cy − 4 y ,

= dx ,

Cy −

∫

+ C1 .

− 4

Положим

Cy − 4 = z ,

Cy − 4 = z2 , y =

(z2 + 4); dy =

z dz

165

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

x =	2		C				z dz			=	2		1		arctg			z	+ C		;	x		− C		= arctg Cy − 4
x =			C							=	2				arctg				+ C		;	x		− C		= arctg Cy − 4
	C ∫ (z 2 + 4)z												2					2		1					1		2
	C ∫ (z 2 + 4)z												2					2									2
tg (x − C ) = Cy − 4 ; Cy − 4 = 4 tg 2 (x − C																									);	y =	4	(1 + tg2 (x − C ))
tg (x − C ) = Cy − 4 ; Cy − 4 = 4 tg 2 (x − C																									);	y =		(1 + tg2 (x − C ))
					1			2																1			C		1
								2																			C
y cos		2		(x		+ C		)= C			4
							2		3					= C			,	− C		= C				.
														= C			,	− C		= C				.
												C				3		1					2

274(4174). y (1 − ln y) y′′ + (1 + ln y)(y′)2 = 0 .

Решение

y′ = p ,

y′′ = p

;

(1 − ln y)p

+ (1 + ln y)p2 = 0; y (1 − ln y)

+ (1 + ln y) p = 0

1 + ln y

; ∫

(ln y −1)+ 2

dy = ln

dy =

y (ln y −1)

y (ln y −1)2

= ln

; y (ln y −1)2 = p C

p = C1 y (ln y −1)2

= dx

;

1 d(ln y −1)

= dx

−

= x + C2 ;

C1 y (ln y −1)2

C1 ∫ (ln y −1)2

C1(ln y −1)

−

= C ; C = (x + C

)ln y − x − C

или (x + C

)ln y = x + C .

275(4175). y′′ = 2 yy′.

Решение

y′ = p , y′′ = p	dp	;	p	dp	= 2 yp	dp = 2 y dy ; p = y2 + C		dy	= y2 + C;
y′ = p , y′′ = p	dy	;	p	dy	= 2 yp	dp = 2 y dy ; p = y2 + C		dx	= y2 + C;
	dy			dy				dx
					∫	dy	= ∫ dx .		(1)
					∫	y2 + C	= ∫ dx .		(1)

166

Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...

C 2 = C > 0

. Из (1)

x + C 2

arctg

; arctg

= C x + C

;

y = C1tg (C1x + C2 ).

y − C1

0 : ∫

= ∫ dx

x − C1′

;

C = −C1

y2 − C 2

2C1

y + C1

y − C

+ e2(C1x + C2 )

= 2(C x + C

);

y − C

= e2(C1x + C2 )

y = C

y + C1

− e2(C1x + C2 )

y + C2

1 1

= − C1 cth(C1x + C2 ).

3) С = 0:

∫

−

= x + C2

y = −

x + C2

d 2 y

276 (4176).

cos y

+ sin y

dx2

Решение

y′ = p , y′′ = p

;

cos y + p2 sin y =

+ p tg y =

;

cos y

′

+ v tg y)

p = uv , p′ = u′v + v′u ; u v + u

cos y

; v′

+ v tg y = 0

= −tg y dy ln

= ln

cos y

v = cos y ;

; u = tg y + C′

cos2

p = uv = sin y + C1′ cos y ; x + C2 = ∫

sin y + C′

cos y

167

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

Последний интеграл берется с помощью универсальной тригонометрическойподстановки[12]:

y + arccos

∫

a2 + b2

a cos y + bsin y

+ b

Тогда

y + arc cos

x + C2 =

1 + C12

1 + C1

					y + C1		1		1

x + C		= cosC	ln	tg		arccos		= C
x + C	2	= cosC	ln	tg		arccos		= C
	2	1		2			2	1	2
				2			2		2
							1 + C1		1 + C1

= cos C1 .

277(4177). yy′′ − (y′)2 = y 2 y′.

Решение

y′ = p, y′′ = p

;

− p2 = y2 p y

− p = y2;

p = uv, p′ = u′v +

′

2 du

+ v u ,

yu v + u (yv

− v)= y

− v

= 0

v = y ;

= y2 du = dy, u = y + C

p = y2 + y C

= dx;

x + C

y(y + C1 )

−

;

x + C

′

∫ y (y + C )

∫

y + C

∫

C x + C

= ln

y + C1

168

Уравнения второго и высшего порядка. Частные случаи уравнений...

278(4178). yy′′ − yy′ln y = (y′)2 .

Решение

y′ = p , y′′ = p

;

− yp ln y

= p

−

= ln y; p = uv ,

= 0

p′ = u′v + v′u , u′v + u

v′ −

= ln y, v′ −

v = y;

du =

ln y

dy u =

ln2 y

+ C′ ; p = uv =

ln2 y + C′

y; x + C

= 2∫

x + C2 = 2∫

d (ln y)

(

y +

′

′)

y ln

y + 2C1

Пусть 2 C′ > 0 , тогда

x + C2

arctg

ln y

;

= C ;

2C1′

2C′

x + C2 = 2 C1 arctg (C1 ln y).

279 (4179).

y′′ = y′

y′

− 2

y′

− 4 .

Решение

y′ = p , y′′ = p

; p dp = p

p − 2

− 4

= p − 2

p − 4 ;

= z,

= z − 2 z − 4

∫

p = yz ,

= z + y

; z + y dy

= −

;

z − 4

ln y + C′ = − z − 4

z = 4 + (ln y + C′2 )

p = y [4 +(ln

+ C′)2 ]

;

′ 2

d (ln

+ C1′)

′

+ C1′

= y [1

+ (ln

+ C1 )

]

∫

4 + (ln

+ C1′)2

= x + C2 ;

2 arctg

= x + C′

+ C′ = 2 tg (2x + C

);

C y

= 2 tg (2x + C

)

(C′

= ln C ).

169

Решебник задач по теме "Дифференциальные уравнения"

280 (4180). (x + a) y′′ + x (y′)2 = y′ .

Решение

y′ = p ,

y′′ = p′ ;

(x + a)p′ + xp2 = p – уравнение Бернулли. Разделим

обе его части на р2: (x + a)

p′

= p−1 ,

p−1

+ x

= z ,

= −

;

− (x + a)z′ + x = z ; z = uv , z′ = u′v + v′u ; − (x + a)u′v − u [(a + x)v′ +

+ v]= −x ; (x + a)v′ + v = 0

dv = −

;

= x

x + a

+ a

x2 + C

2 (x + a)

∫

2 (a + x)

u =

+ C′ ;

z = uv =

; p =

y =

dx + C

2 (a + x)

x2 + C1

2a arctg

+ ln

(x2 + C )+ C

, если С

> 0;

x −

− C1

+ ln

x2 + C1 + C, если С1 0.

− C1

x +

− C1

281(4181). yy′y′′ = (y′)3 + (y′′)2 .

Решение

y′ = p , y′′ = p′	dp	. Тогда исходное уравнение принимает вид
y′ = p , y′′ = p′		. Тогда исходное уравнение принимает вид
	dy
				dp			dp	2
		yp2			= p3	+ p2		.	(1)
		yp2			= p3	+ p2		.	(1)
				dy
				dy			dy
Делим (1) на p2 ≠ 0 : yp′ = p + (p′)2						– это уравнение Клеро. Общий
интеграл получим, заменяя p′			на C1 :
				p = C y − C 2,					(2)
					1	1

170

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3217 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.02.20151.24 Mб16Kursovoy_Sistemy.docx
#
09.12.2018274.43 Кб9kurs_9.doc
#
19.08.2019138.24 Кб3Kurs_lektsiy.doc
#
01.04.20251.8 Mб1Kurs_lektsiy_z_literaturi_II_semestr.doc
#
15.02.2015979.17 Кб22Kuznecov_Praktikum.pdf
#
15.02.20154.95 Mб1184Kuznecov_reshebnik.pdf
#
15.02.20158.28 Mб51Kvasnickij_Pajka_mat.pdf
#
01.05.2025127.01 Кб0Lab1.docx
#
01.05.20252.72 Mб0Lab12.doc
#
14.02.2015755.2 Кб44Lab1_kl_metod.doc
#
14.02.20152.66 Mб48Lab2_KL_metod.doc