1.5. Ортогональное проецирование на три плоскости проекций

В некоторых случаях требуется проецирование на три плоскости проекций, если, например, геометрический объект имеет сложную конструкцию. Введем в систему двух плоскостей проекций третью плоскость проекций – профильную плоскость П₃ (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Проецирование на три плоскости проекций

Геометрический объект в системе трех плоскостей проекций проецируют на плоскости П₁, П₂ и П₃ и получают три проекции одной точки – горизонтальную, фронтальную и профильную. Если все три плоскости проекций продолжить в геометрическом пространстве во все стороны, то оно разделится тремя плоскостями на восемь частей, называемых октантами (рис. 1.5).

Октанты характеризуются различными знаками координат по осям ОX, ОY и ОZ. Знаки координат точки в различных октантах представлены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Знаки координат точки в октантах

Знаки по осям координат	Номер октанта
	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
OX	+	+	+	+	-	-	-	-
OY	+	-	-	+	+	-	-	+
OZ	+	+	-	-	+	+	-	-

Рис. 1.5. Образование октантов

На рис. 1.6 представлена трансформация пространственной модели первого октанта вместе с проекциями точки в эпюр:

а) убирают геометрический объект, но сохраняют его проекции вместе с линиями связи (рис. 1.6, б);

б) мысленно "разрезают" октант вдоль оси ОY и разворачивают плоскости П₂ и П₃ так, как показано на рис. 1.6, б;

в) получают плоскостную систему трех плоскостей проекций с осями, линиями связи и проекциями точки (рис. 1.6, в);

г) удаляют плоскости проекций и сохраняют лишь оси. В результате преобразований получают комплексный чертеж точки или эпюр Монжа на три плоскости проекций (рис. 1.6, г). Следует заметить, что на эпюре образовалось две оси ОY: одна ось относится к плоскости П₁, другая, помеченная звездочкой*, относится к плоскости П₃.

а)

б)

в) г)

Рис. 1.6. Образование эпюра Монжа на три плоскости проекций

Эпюр точки в трех проекциях положен в основу начертательной геометрии и технического черчения.

Рассмотрим свойства эпюра Монжа, которые вытекают из пространственного чертежа ортогонального проецирования на три плоскости проекций и эпюра:

1. горизонтальная проекция точки A определяется координатами X и Y, причем для её построения координата Y откладывается вдоль вертикальной оси ОY;

2. фронтальная проекция точки A определяется координатами X и Z;

3. профильная проекция точки A определяется координатами Z и Y, причем координата Y откладывается вдоль горизонтальной оси ОY*;

1. горизонтальная и фронтальная проекции точки находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси ОX;

2. фронтальная и профильная проекции точки находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси ОZ;

3. отрезки на линиях связи А_х A₁ = A_z A₃ равны как одна и та же координата Y. Такой же вывод следует из рассмотрения пространственного макета;

4. из предыдущего свойства следует фундаментальное свойство эпюра Монжа ‑ по двум проекциям точки можно построить третью.

Вышерассмотренное относилось к точке, расположенной в октанте в общем положении. Однако точка может принадлежать плоскостям проекций или осям. Такое положение точки называется частным положением.