6.2.2. Кривые поверхности

Кривые поверхности широко применяются в различных областях техники, архитектуры, строительства и т.д. Под поверхностью подразумевают непрерывное множество точек. Порядок поверхности равняется степени её уравнения. Иногда поверхность трактуют как непрерывное двухпараметрическое множество точек.

В начертательной геометрии поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений перемещающейся в пространстве линии. Линия, которая перемещается, называется образующей. Линия, по которой перемещается образующая, называется направляющей. При своем перемещении образующая может оставаться параллельной какому-либо направлению, какой-либо плоскости или перемещаться по двум, трем направляющим. На рис. 6.7 дан пример образования конической (рис. 6.7, а) и цилиндрической (рис. 6.7, б) поверхности.

а) б)

Рис. 6.7. Образование линейчатых поверхностей

Чертёж поверхности представляет собой проекцию очерка поверхности. Очерком поверхности называется проекция видимого контура поверхности относительно данной плоскости проекции. Контуром видимости поверхности является линия касания проецирующих лучей, огибающих (обёртывающих) данную поверхность при изображении её на плоскости проекций. На рис. 6.8 дано образование очерковой образующей шара.

Рис. 6.8. Построение очерка шара

На рис. 6.9 дано построение очерковых образующих цилиндра на фронтальную и горизонтальную плоскость проекций.

Линия пересечения поверхности с плоскостью проекции называется следом поверхности на этой плоскости.

очерковые образующие

фронтальной проекции цилиндра

очерковые образующие

горизонтальной

проекции цилиндра

горизонтальная проекция

следа цилиндрической

поверхности

Рис. 6.9. Построение очерка цилиндра

В зависимости от вида образующих все кривые поверхности можно разделить на два класса:

1. Поверхности с прямолинейными образующими – это линейчатые поверхности (рис. 6.7, а, б).

2. Поверхности с криволинейными образующими.

Линейчатые поверхности, в свою очередь, делятся на развёртываемые и неразвёртываемые.

Развёртываемой называется поверхность, если её без складок и разрывов можно совместить с плоскостью. У развёртываемых поверхностей смежные образующие параллельны друг другу или пересекаются друг с другом.

У поверхностей неразвёртываемых смежные прямолинейные образующие не параллельны друг другу и не пересекаются.

Все поверхности с криволинейными образующими неразвертываемые.

Из общей массы поверхностей выделяется особый класс поверхностей, которые называются поверхностями вращения.

Поверхности вращения образуются вращением какой-нибудь образующей прямой или кривой вокруг неподвижной прямой, которая является осью вращения.

При вращении кривой 6, 2, 1, 3 вокруг оси О-О (рис. 6.10, а) образуется поверхность вращения. На рис. 6.10, б она представлена ортогональным чертежом, а на рис. 6.10, в дано её наглядное изображение.

Сечение поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси вращения, представляет собой окружность. Все такие окружности называются параллелями поверхности.

Параллель наибольшего диаметра называется экватором, наименьшего диаметра – горлом поверхности. На рис. 6.10, в окружность 1-1' – экватор, окружность 2-2' – горло поверхности. Следы секущих плоскостей α₂, β₂ перпендикулярны оси вращения поверхности.

а) б) в)

Рис. 6.10. Образование поверхности вращения

Плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, называется меридиональной плоскостью, а контур сечения поверхности такой плоскостью – меридианом. Все меридианы представляют собой кривые, равные друг другу.

Рассмотрим образование некоторых наиболее часто встречающихся в инженерной практике поверхностей.

Цилиндрическая поверхность представляет собой поверхность, образованную движением прямой линии по некоторой кривой линии. Причём прямая во всех своих положениях остаётся параллельной некоторому постоянному направлению (рис. 6.7, б). Если точка лежит на цилиндрической поверхности, то она должна лежать на образующей этой поверхности. Замкнутая цилиндрическая поверхность, заключённая между двумя параллельными плоскостями образуют геометрическое тело – цилиндр. На рис. 6.11, а изображён прямой цилиндр, на рис. 6.11, б – наклонный, а также показано положение точек на поверхности цилиндра.

а)

б)

Рис. 6.11. Цилиндрические поверхности

Коническая поверхность представляет собой поверхность, образованную движением прямой линии по некоторой направляющей. В данном случае направляющей является окружность. Причём прямая во всех положениях проходит через одну и ту же точку, называемую вершиной (рис. 6.12). Часть замкнутой конической поверхности, заключённой между её вершиной и плоскостью любого направления, образует геометрическое тело – конус. На рис 6.12, а, б дано изображение прямого и наклонного конуса и определение положения точки на их поверхностях.

а) б)

Рис. 6.12. Конические поверхности

Цилиндроид – поверхность, образованная движением прямой линии по двум не лежащим в одной плоскости направляющим – кривым линиям. При этом прямая во всех положениях остаётся параллельной некоторой плоскости – плоскости параллелизма. На рис. 6.13 дано наглядное изображение цилиндроида.

Коноид – линейчатая поверхность, у которой одна направляющая является кривой линией, а вторая – прямой. Образующая во всех положениях параллельна некоторой плоскости параллелизма (рис. 6.14).

Косая плоскость (гиперболический параболоид) – частный случай цилиндроида и представляет собой поверхность, образованную движением прямолинейной образующей параллельно плоскости параллелизма по двум скрещивающимся направляющим прямым. Это АВ и СD. За плоскость параллелизма принята горизонтальная плоскость П₁, образующая АС║П₁ (рис. 6.15, а, б).

Косая плоскость относится к линейчатым поверхностям. Она образуется движением прямой линии. Однако для этой поверхности образующей может быть и кривая линия, например, парабола. Если эту поверхность пересечь плоскостью, параллельной плоскости П₁, то в сечении получится гипербола. Поэтому косую плоскость также называют гиперболическим параболоидом.

Различные

положения

образующей

Направляющие

кривые

Плоскость

параллелизма

Рис. 6.13. Цилиндроид

Рис. 6.14. Коноид

Различные

положения

образующей

Плоскость

параллелизма

Направляющие

кривые

а) б)

Рис. 6.15. Косая плоскость (гиперболический параболоид)

Гиперболоид вращения. Существуют два вида гиперболоида: однополостный и двуполостный (рис. 6.16, а, б). Однополостный гиперболоид получается при вращении гиперболы вокруг её мнимой оси.

а) б)

Рис. 6.16. Гиперболоид вращения

Поверхность однополостного гиперболоида может быть образована и вращением прямой линии (рис. 6.17). Это поверхность дважды линейчатая, т.е. через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две и только две его прямолинейные образующие. Проекции однополостного гиперболоида строятся следующим образом.

Пусть ось i расположена перпендикулярно плоскости П₁ (рис. 6.17). Когда образующая АВ вращается вокруг оси i, каждая точка прямой перемещается в пространстве по окружности (параллели), плоскость которой перпендикулярна оси i. Таким образом, на плоскости П₁ эта окружность проецируется без искажения, а на плоскость П₂ – в виде горизонтальной прямой. Ближайшая к оси вращения точка С образующей опишет окружность минимального радиуса. Это будет окружность горла. Горизонтальные проекции всех образующих должны касаться проекции окружности горла. Таким образом, каждое последующее положение прямолинейной образующей можно получать проведением касательных к проекции окружности горла.

На рис. 6.17 эта окружность разделена на двенадцать частей. К проекции этой окружности в точке Е₁ проведена касательная А₁'В₁', а горизонтальная проекция образующей повёрнута на 30°. Фронтальная проекция этой касательной определяется точками А₂'В₂', каждая из которых расположена в плоскости своей параллели. Остальные образующие строятся аналогично. Форма поверхности гиперболоида зависит от следующих параметров D₁, D и Н, а также и от диаметра горла поверхности.

Рис. 6.17. Гиперболоид, образованный прямой линией

Тор – поверхность вращения, образованная вращением окружности (дуги окружности) вокруг компланарной с ней прямой (оси тора). Ось вращения тора не совпадает с центром окружности. Торы характеризуются большим многообразием форм. На рис. 6.18, а показан тор открытый, на рис. 6.18, б – тор самоприкасающийся, на рис. 6.18, в – тор закрытый. Если центр окружности принадлежит оси вращения, то образуется сферическая поверхность (рис. 6.18, г).

Глобоид является частным случаем тора (рис. 6.18, д).

При вращении эллипса и параболы вокруг осей образуются соответственно эллипсоид (рис. 6.18, е), параболоид (рис. 6.18, ж).

а) б) в)

г) д)

е) ж)

Рис. 6.18. Поверхности вращения

Винтовые поверхности – это поверхности, которые образуются винтовым перемещением образующей в соответствии с рис. 6.19. Винтовые поверхности могут быть образованы как криволинейной, так и прямолинейной образующей. Непременным условием образования винтовой поверхности является условие перемещения образующей по винтовой линии.

На рис. 6.19, а показан винтовой коноид (прямой геликоид), на рис. 6.19, б – косой геликоид. На рис. 6.19, в – эвольвентный геликоид, на рис. 6.18, г – конволютный геликоид.

а) б) в) г)

Рис. 6.19. Винтовые поверхности

Прямой геликоид получается в результате движения прямой образующей, которая, пересекая ось под прямым углом, вращается вокруг оси по винтовой линии. Косой геликоид (Архимедов геликоид) получается в результате движения образующей, которая пересекает ось под углом, не равным 90 градусов.

Эвольвентный геликоид образуется, когда образующая во всех своих положениях остается касательной к цилиндрической винтовой линии. Угол наклона образующей к плоскости П₁ равен углу подъема винтовой линии.

Конволютный геликоид образуется, когда образующая скользит по винтовой линии, оставаясь касательной к цилиндру. Угол наклона образующей к плоскости П₁ не равен углу подъема винтовой линии.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие плоские и пространственные кривые вы знаете?

2. Какие две группы геометрических тел вы знаете?

3. Какие геометрические признаки характеризуют многогранники?

4. Какие поверхности относятся к криволинейным?

5. На какие классы делятся криволинейные поверхности?

6. Что такое очерк поверхности?

7. Какие поверхности являются развёртываемыми, а какие неразвёртываемыми?

8. Какие геометрические тела относятся к телам вращения?

9. Дайте определения особым линиям на поверхности вращения.

10. Что нужно помнить при построении проекций точек расположенных на поверхности геометрических тел?