8.2. Пересечение поверхностей многогранников

При пересечении двух многогранников ли­ния пересечения поверхностей представляет со­бой ломаную линию.

Если ребра двух многогранников, в рассматриваемом примере пересекаются две призмы, взаимно перпендику­лярны (рис. 8.5), то линия пересечения строится следующим образом.

Горизонтальная и профильная проекции линии пересечения совпадают соответственно с горизонтальной проекцией пятиугольника (основание одной призмы) и с профильной проекцией четырехугольника (основание другой призмы). Фронтальная проекция ломаной линии пересечения строят по точкам пересечения ребер одной призмы с гранями другой.

Например, взяв горизонтальную 1₁ и профильную 1₃ проекции точки 1 пересечения ребер пятиугольной призмы с гранью четырехугольной и пользуясь известным приемом построения, с помощью линии связи можно легко найти фронтальную проекцию 1₂ точки 1, принадлежащей линии пересечения призм (рис. 8.5, а).

Изометрическая проекция двух пересекающихся призм (рис. 8.5, б) может быть построена по координатам соответствующих точек.

а)

б)

Рис. 8.5. Пересечение двух призматических поверхностей

Например, изометрическую проекцию двух то­чек 5 и 5₁, симметрично расположенных на левой грани пятиугольной призмы, строят так. Прини­мая для удобства построений за начало координат точку О, лежащую на верхнем основании пяти­угольной призмы, откладываем влево от О по оси X отрезок ОЕ, величину которого берут с комплек­сного чертежа на фронтальной или горизонталь­ной проекции. Далее из точки Е вниз параллельно оси Z откладываем отрезок ЕЕ, равный а, и, нако­нец, от точки F влево и вправо параллельно оси Y откладываем отрезки F5 и F5₁, равные с/2.

Далее от точки F параллельно оси X откладываем отрезок п, взятый с комплексного чертежа. Через его конец проводим прямую, параллельную оси Y, и откладываем на ней отрезок, равный c. Вниз параллельно оси Z откладываем отрезок, равный b, и параллельно Y - отрезок, равный k. В результате получаем изометрию основания четырехугольной призмы.

Точки 1 и 4 на ребрах пятиугольной призмы можно построить, используя только одну координату Z.

Линию пересечения поверхностей четырех­угольной призмы с четырехугольной пирамидой (рис. 8.6, а) строят по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого мно­гогранника.

Например, проекции точек 1 и 3 искомой ли­нии пересечения находят следующим образом. Фронтальные проекции 1₂ и 3₂ очевидны. Про­фильные проекции 1₃ и 3₃ и горизонтальные 1 и 3 находят с помощью линий связи. Аналогично находят точки 2 и 4.

На рис. 8.6, б и в показана последователь­ность построения диметрической проекции. Сначала строят пирамиду. Для построения при­змы от точки О откладывают отрезок ОО' взя­тый с фронтальной проекции комплексного чер­тежа (О₂О₂'), и получают точку О' (рис. 8.6, б). Через точку О' проводят параллельно оси X ось симметрии призмы и по ней от точки О' откла­дывают вправо и влево половины высоты при­змы. Через точки О₁ и О₂ проводят прямые, па­раллельные осям Y и Z, на которых откладывают соответственно половину и целую длину диаго­налей четырехугольника основания призмы. Со­единив концы диагоналей прямыми, получают диметрическую проекцию основания призмы.

Диметрические проекции точек пересечения 2, 4, 6, 8 ребер призмы и пирамиды получаются без дополнительных построений (рис. 8.6, в).

Диметрические проекции точек пересечения 1, 3, 5, 7 ребер пирамиды с гранями призмы на­ходят по координатам.

В этом примере диметрические проекции то­чек 1, 3, 5 и 7 можно построить иначе. От сере­дины левого основания призмы - точки О₁ - откладываем вверх и вниз по оси Z соответствен­но отрезки m и n, взятые с комплексного черте­жа. Через концы отрезков m и n проводят пря­мые, параллельные оси Y, до пересечения с кон­туром основания призмы в точках А, В, С и D. Через эти точки проводят прямые, параллельные оси X, до пересечения с ребрами пирамиды. В ре­зультате получают искомые точки 1, 3, 5 и 7.

а)

б) в)

Рис. 8.6. Пересечение призмы с пирамидой