7.6. Сечение сферы проецирующей плоскостью

Всякое сечение сферы есть окружность, если проецирование происходит в направлении, перпендикулярном плоскости сечения, и эллипс, если это не соблюдается. Диаметр окружности определяется отрезком d, совпадающим с вырожденной проекцией секущей плоскости внутри очерка сферы (рис. 7.8). Две другие проекции окружности сечения имеют форму эллипсов, для построения которых следует определить размеры их осей.

Рис. 7.8. Сечение сферы проецирующей плоскостью

Большая ось эллипсов равна диаметру d окружности сечения, а величина малой оси зависит от угла наклона секущей плоскости к плоскости проекций. Плоскость Σ (Σ₂) – фронтально проецирующая. Она пересекает сферу по окружности с центром в точке О (О₂) диаметром d=А₂В₂, где А – наивысшая, а В – наинизшая точка линии сечения. Эти точки лежат на главном меридиане f сферы.

Горизонтальные А₁ и В₁ и профильные А₃ и В₃ проекции точек сечения строим по линиям связи на горизонтальной f₁ и профильной f₃ проекциях главного меридиана сферы. Окружность сечения на П₁ и П₃ изображаем эллипсом, размер малых осей которого определяем проекциями А₁В₁ и А₃В₃ диаметра АВ.

Диаметр СD, перпендикулярный диаметру АВ, проецируется в точку на П₂ (C₂≡D₂) и без искажения на П₁ и П₃ (C₁D₁=d и C₃D₃=d), т.к. является фронтально проецирующим отрезком (CD⊥П₂) и определяет большую ось эллипсов. Окружность сечения частично не видима на П₁ и на П₃. Точки видимости на П₁ определяем в пересечении экватора h с плоскостью Σ (точки Е и F); Е₁ и F₁h₁; Е₃ и F₃h₃.

Точки Е₃ и F₃ строим по их глубинам, измеренным на П₁. Точки видимости на П₃ определяем в пересечении профильного меридиана с секущей плоскостью (точки К и L). Сначала строим профильные проекции К₃ и L₃ этих точек, а затем по их глубинам, измененным на П₃, строим горизонтальные К₁ и L₁ проекции.

Опорные точки строим все. На рис. 7.8 построена пара промежуточных точек M и N, уточняющих форму горизонтальной и профильной проекций окружности сечения. Недостающие проекции точек строим с помощью вспомогательной параллели – окружности радиуса R из условия принадлежности этих точек секущей плоскости (М₂≡N₂) и поверхности сферы. Проекции М₁ и N₁ строим по вертикальной линии связи на дуге окружности радиуса R, а М₃ и N₃ – по горизонтальной линии связи с помощью глубин точек, измеренных на П₁.

Истинный размер сечения получаем на поле П₄, расположенном параллельно секущей плоскости Σ, как окружность диаметра d с центром в точке О₄. Затем в проекционной связи на этой окружности отмечаем проекции всех точек, с помощью которых строили горизонтальную и профильную проекции сечения.

7.7. Сечение геометрических тел плоскостью общего положения

Если секущая плоскость задана не следами, то для построения сечения любого геометрического тела плоскостью общего положения необходимо секущую плоскость преобразовать в плоскость частного положения. Задачу можно решить методом замены плоскостей проекций.

Рассмотрим решение задачи на примере сечения правильной пятигранной пирамиды плоскостью общего положения заданной треугольником (рис. 7.9).

Чтобы преобразовать плоскость общего положения в плоскость частного положения, проведём в этой плоскости горизонталь, но в нашем случае построения делать не надо, т.к. сторона треугольника АС уже является горизонтальной прямой (горизонталью h). Затем расположим новую плоскость П₄ перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали (А₁С₁ – h₁).

На эпюре в этом случае горизонтальная проекция горизонтали А₁С₁ будет перпендикулярна оси Х₁. Далее строим в новой плоскости проекций П₄ проекции пирамиды и секущей плоскости. На плоскости П₄ секущая плоскость спроецируется в виде прямой линии. Соответственно и контур сечения изобразится в одну линию 1₄2₄3₄4₄5₄. Спроецировав точки 1, 2, 3, 4, 5 на горизонтальную и фронтальную проекцию пирамиды, получим соответствующие проекции контура сечения (рис. 7.9).

Чтобы определить натуральную величину сечения также используем метод замены плоскостей проекций, а для компактности построений - способ плоскопараллельного перемещения.

Новую плоскость П₅ и ось Х₂ введем параллельно полученному в П₄ контуру сечения, ось Х₂ проведем непосредственно по проекции сечения. Введенная плоскость параллельна сечению, поэтому в плоскости П₅ оно отобразится в натуральную величину (рис. 7.9).

Рис. 7.9. Сечение пирамиды плоскостью общего положения