7.9. Касательные плоскости к поверхности

При изображении кривых поверхностей иногда требуется проведение касательных плоскостей. Касательные плоскости широко используются в теории и практике зубчатого зацепления.

Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой её точке, называют плоскость, образованную касательными, проведенными к всевозможным кривым, принадлежащим поверхности и проходящим через ту же точку.

Касательная плоскость может иметь с поверхностью одну или множество общих точек. Элементами касания в соответствии с рис. 7.13 могут быть точка, прямая линия, кривая линия общего вида, окружность.

Если касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, то все линии поверхности, проходящие через эту точку, будут расположены по одну сторону от касательной плоскости. Такие точки касания называются эллиптическими (рис. 7.13, а).

Если плоскость касается поверхности по прямой образующей, то точки касания называются параболическими (рис. 7.13, б).

В случае если имеются точки поверхности, касательная к которым пересекает поверхность, то такие точки называются гиперболическими (рис. 7.13, в).

Частный случай касания по окружности показан на рис. 7.13, г.

а) б)

в) г)

Рис. 7.13. Касательные плоскости

На рис. 7.14 приведен пример проведения касательной плоскости к сфере в точке A. Касательная плоскость проведена с помощью вспомогательных плоскостей α и β, проведенных через точку A.

В сечениях сферы вспомогательными плоскостями (горизонтальная α и фронтальная β плоскости) образуются окружности, проходящие через точку A.

Проводим в точках A₁ и A₂ две касательные прямые к окружностям и получаем касательную плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми.

Рис. 7.14. Касательная плоскость к сфере

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется сечением?

2. Особенности построения сечений многогранников проецирующей плоскостью.

3. Особенности построения сечений кривых поверхностей проецирующей плоскостью.

4. Каким методом можно найти натуральную величину сечения?

5. Какие варианты сечений прямого кругового конуса проецирующими плоскостями вы знаете?

6. Алгоритм построения сечения поверхности плоскостью общего положения.

7. Как найти точки пересечения прямой с поверхностью?

8. В чем особенность нахождения точек пересечения прямой линии с конусом?

9. Как найти точки пересечения прямой линии со сферой?

10. Как можно построить касательную плоскость к поверхности?

Лекция №8 взаимное пересечение поверхностей

Построение линий пересечения поверхностей тел при помощи вспомогательных секущих плоскостей.

Взаимное пересечение поверхностей вращения, имеющих общую ось.

Построение линий пересечения поверхностей тел при помощи концентрических сфер.

Пересечение двух проецирующих поверхностей, одной проецирующей другой не проецирующей, двух не проецирующих поверхностей.