3.3.3. Задачи на взаимное положение

Задача на параллельность двух прямых была рассмотрена ранее в разделе "Взаимное положение прямых".

Задачи на параллельность плоскостей основываются на положениях элементарной геометрии. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости взаимно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рис. 3.20, а).

Если две параллельные плоскости заданы следами, то одноименные следы таких плоскостей параллельны друг другу (рис. 3.20, б). Прямая будет параллельна плоскости в том случае, если она параллельна любой прямой, находящейся в этой плоскости (рис. 3.20, в).

а) б) в)

Рис. 3.20. Параллельность геометрических объектов

Вопросы для самоконтроля

1. Какие способы задания плоскости вам известны?

2. Что такое след плоскости?

3. Как называется плоскость, если она:

– параллельна какой-либо плоскости проекций;

– перпендикулярна какой-либо плоскости проекций.

4. Какое условие определяет принадлежность линии плоскости?

5. Назовите главные линии плоскости.

6. Каково условие принадлежности точки плоскости.

7. Определите сходство и различия в проекциях горизонтали, фронтали и профильной прямой.

8. Как определяется видимость при пересечении двух плоскостей, прямой и плоскости?

9. Какова последовательность построения точки пересечения прямой и плоскости?

10. Какова последовательность построения точек пересечения двух плоскостей общего положения?

Лекция №4 Способы преобразования проекций

Метод перемены плоскостей проекций.

Нахождение натуральной величины отрезка прямой и плоскости методом перемены плоскостей проекций.

Метод вращения прямой и плоской фигуры вокруг оси, перпендикулярной одной из плоскостей проекций.

Нахождение натуральной величины отрезка прямой и плоскости методом вращения.

Метод плоскопараллельного перемещения.

Нахождение натуральной величины отрезка прямой и плоскости методом плоскопараллельного перемещения.

Как видно из предыдущего материала, все геометрические задачи решаются проще, если объекты (или хотя бы один объект) заданы в частном положении. Для перевода объектов из общего положения в частное с целью упрощения решения задач разработаны методы преобразования эпюра Монжа. Они делятся на два вида:

1. Геометрический объект при преобразовании остается неподвижным, а плоскости проекций меняют свое положение так, чтобы объект находился относительно них в частном положении (метод перемены или замены плоскостей проекций).

2. Плоскости проекций при преобразовании остаются неподвижными, а объект меняет свое положение так, чтобы относительно плоскостей проекций он занял частное положение (метод вращения вокруг проецирующей оси, метод совмещения, метод вращения вокруг линий уровня, метод плоско-параллельного перемещения).

4.1. Метод замены плоскостей проекций

Смысл метода заключается в том, что в систему плоскостей проекций вводятся дополнительные плоскости проекций, по отношению к которым объект занимает частное положение (другими словами, плоскости проекций заменяются другими плоскостями). Ортогональность новых систем плоскостей проекций при этом сохраняется. Замена плоскостей проекций осуществляется в последовательности:

Х (П₁/П₂) → Х₁ (П₁/П₄) → Х₂ (П₄/П₅) и т.д. или

Х (П₁/П₂) → Х₁ (П₂/П₄) → Х₂ (П₄/П₅) и т.д.

Обычно производят одну или две замены плоскостей проекций. На рис. 4.1 в наглядной форме показана методика проведения замены плоскостей проекций. На рис. 4.1, а представлена замена одной фронтальной плоскости проекций (П₂→П₄), а на рис. 4.1, б – замена двух плоскостей проекций (П₂→П₄; П₁→П₅).

а)

б)

Рис. 4.1. Метод замены плоскостей проекций

Из представленных наглядных изображений и эпюров вытекают следующие правила построения новых фронтальных и горизонтальных проекций точки на дополнительные плоскости проекций:

1. ПРИ ЗАМЕНЕ ПЛОСКОСТИ П₂ на П₄. Для того чтобы построить новую фронтальную проекцию точки на новой плоскости проекций П₄, необходимо от новой оси по новой линии связи отложить аппликату точки из предыдущей системы плоскостей проекций.

2. ПРИ ЗАМЕНЕ ПЛОСКОСТИ П₁ на П₅. Для того чтобы построить новую горизонтальную проекцию точки на новой плоскости проекций П₅, необходимо от новой оси по новой линии связи отложить ординату точки из предыдущей системы плоскостей проекций.

В методе замены плоскостей проекций выделяют две основные задачи:

1. Перевод прямой общего положения в проецирующую.

2. Перевод плоскости общего положения в проецирующую.

На рис. 4.2, а показано преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую, которое выполнено двумя заменами плоскостей проекций (П₂→П₄; П₁→П₅). Первая замена осуществляется параллельно прямой AB, а вторая – перпендикулярно прямой AB. Причём расстояние от новой оси Х₁ до горизонтальной проекции отрезка А₁В₁, а также расстояние от новой оси Х₂ до проекции прямой А₄В₄ берётся произвольно.

Следует заметить, что при решении задачи определяется натуральная величина прямой (новая фронтальная проекция А₄В₄) и угол наклона прямой к плоскости проекций П₁ (угол α).

На рис. 4.2, б показано преобразование плоскости общего положения, заданной треугольником ABC, в проецирующую плоскость, которое выполнено одной заменой плоскостей проекций (П₂→П₄). Замена осуществляется перпендикулярно горизонтали (h₁ – горизонтальной проекции горизонтали), проведенной в плоскости треугольника ABC для обеспечения перпендикулярности двух плоскостей (плоскости треугольника и новой плоскости проекций П₄).

а) б)

Рис. 4.2. Основные задачи метода замены плоскостей проекций

На рис. 4.3 показано определение натуральной величина плоскости общего положения, заданной треугольником АВС, задача решается двойной заменой плоскостей проекций (П₂→П₄ и П₁→П₅). Первая замена плоскости П₂ на П₄ преобразует плоскость треугольника в проецирующую плоскость. При второй замене плоскости переходим к системе П₄/П₅. Новая плоскость устанавливается параллельно треугольнику. В этом случае новая ось Х₂ на эпюре проводится параллельно проекции треугольника А₄В₄С₄. Линии связи от проекций точек А₄, В₄, С₄ проводим перпендикулярно к новой оси и откладываем на них от Х₂ отрезки l_А, l_B, l_C. Построенная проекция А₅В₅С₅ представляет истинную величину треугольника.

Рис. 4.3. Нахождение натуральной величины плоскости общего положения

Если плоскость занимает частное положение, то для определения ее натуральной величины потребуется замена только одной плоскости. Определим натуральную величину фронтально проецирующей плоскости (рис. 4.4).

Задача решается заменой плоскости П₁ на П₄. В этом случае плоскость П₄, параллельная проекции треугольника В₂С₂D₂ образует с П₂ новую систему П₂/П₄. Новая проекция В₄С₄D₄ на плоскость П₄ определит натуральную величину треугольника.

На рис. 4.5 дано решение задачи по определению расстояния между двумя параллельными прямыми. Для определения этого расстояния используем замену двух плоскостей проекции. Сначала расположим новую плоскость так, чтобы прямые стали параллельны новой плоскости проекции П₄. Затем плоскость П₅ поставим так, чтобы прямые стали перпендикулярны этой плоскости. Для этого ось Х₂ расположим перпендикулярно проекциям параллельных прямых. Проекции прямых на этой плоскости спроецируются в точки. Соединив эти точки прямой FK, получим истинное расстояние между параллельными прямыми. Так как прямая FK параллельна П₅, то проекция прямой F₄K₄ будет параллельна оси Х₂.

Рис. 4.4. Нахождение натуральной величины проецирующей плоскости

Рис. 4.5. Определению расстояния между двумя параллельными прямыми