8.1. Основные методики построения линий пересечения

Задачи на построение линии пересечения поверхностей являются наиболее значимыми в курсе начертательной геометрии, как с теоретической, так и с практической точки зрения. Основные методики решения упомянутых задач широко используются в различных отраслях промышленности.

Линия, общая для обеих пересекающихся поверхностей, называется линией пересечения. Построение линий пересечения и их разметка на различных металлоконструкциях является одной из главных и сложных инженерных задач.

Существуют различные частные случаи пересечения поверхностей, обусловленные геометрическими и математическими закономерностями (рис. 8.1).

Две цилиндрические поверхности с параллельными осями пересекаются по прямым линиям, соединяющим точки пересечения оснований цилиндров (рис. 8.1, а). Две конические поверхности с общей вершиной пересекаются по прямым линиям, соединяющим вершину и точки пересечения оснований (рис. 8.1, б). Соосные поверхности вращения второго порядка пересекаются по окружностям, фронтальная проекция которых является прямыми линиями (рис. 8.1, в).

Соосные со сферой тела вращения пересекаются по окружностям, фронтальная или горизонтальная проекции которых являются прямыми линиями (рис. 8.1, г).

Если две поверхности второго порядка описаны вокруг одной и той же сферы, то линия их пересечения распадается на две кривые линии второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (теорема Монжа). Сказанное означает, что на одной из проекций линии пересечения являются прямыми линиями, соединяющими противоположные характерные точки. Характерными точками являются точки пересечения образующих линий поверхностей.

В начертательной геометрии разработано множество методов построения линии пересечения поверхностей. Самыми распространенными методами являются метод секущих вспомогательных плоскостей и метод концентрических сфер.

а) б)

в)

Параболоид

Конус

Эллипсоид

Цилиндр

Тор

Сфера

Гиперболоид

г)

Рис. 8.1. Частные случаи пересечения поверхностей

Сущность метода вспомогательных секущих плоскостей заключается в том, что при помощи секущих плоскостей находятся общие точки, принадлежащие пересекающимся поверхностям. Наглядно суть метода представлена на рис. 8.2. Он содержит общий порядок решения:

1. Поиск характерных точек и построение их проекций (точки K и L). Характерные (опорные) точки – это точки, расположенные на контурах поверхностей – так называемые точки смены видимости, крайние левые или крайние правые;

2. Ввод секущей вспомогательной плоскости. В качестве вспомогательных плоскостей берут плоскости частного положения, которые образуют в сечениях поверхностей простые фигуры (принцип простых сечений);

3. Строят сечения поверхностей вспомогательной плоскостью (сечение 1 и сечение 2);

4. Находят общие точки обоих сечений (точки 1 и 2). Эти точки называют промежуточными, или случайными;

5. Пункты 2, 3, 4 повторяют несколько раз (в учебных чертежах 5-7 раз) c новыми вспомогательными плоскостями;

6. Полученные точки соединяют плавной линией с учетом видимости проекций.

Сечение 1

Сечение 2

Рис. 8.2. Построение линии пересечения

методом вспомогательных секущих плоскостей

Следует помнить, что проекция линии пересечения всегда лежит в площади наложения. Площадь наложения – это площадь, общая для двух пересекающихся поверхностей.

При построении линии пересечения двух поверхностей могут встретиться два случая. В первом случае все рёбра или образующие одной поверхности участвуют в пересечении. В этом случае линии пересечения образуют две замкнутые кривые или ломаные линии. Такое пересечение называется полным (рис. 8.3, а).

Во втором случае в пересечении участвуют не все рёбра или образующие одной из поверхностей. Такое пересечение называется частичным. Линия пересечения в этом случае представляет собой одну замкнутую ломаную или кривую линию (рис. 8.3, б).

а) б)

Рис. 8.3. Два случая пересечения поверхностей

Метод концентрических сфер основан на частном случае пересечения поверхностей (пересечение тел вращения со сферой, когда ось тел проходит через центр сферы) (рис. 8.1, в). Сущность метода сфер заключается в том, что поверхности пересекают не плоскостями, а сферами. Это объясняется тем, что всякая сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает любую поверхность вращения по окружности, т.е. по линии, построение которой не вызывает затруднений. Далее находят линии пересечения поверхностей с проведенной сферой, после чего находят общие точки линий пересечения. Полученные точки являются точками линии пересечения поверхностей (рис. 8.4).

Центр сфер, как правило, выбирают в точке пересечения осей поверхностей. Максимальный радиус сфер равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной характерной точки. Минимальный радиус сфер равен максимальной нормали, проведенной из центра сфер на боковую поверхность пересекающихся объектов.

Рис. 8.4. Метод концентрических сфер