Критерий устойчивости Джури

Составим таблицу Джури, которая содержит п + 1 строк и столько же столбцов. При этом заполненные клетки имеют треугольную форму: нулевая строка содержит п+1 заполненных клеток, а все последующие строки имеют на единицу меньше заполненных клеток, чем предыдущая строка (табл. 13.1.1).

Таблица 13.1.1. Таблица Джури

Клетки нулевой строки заполняются коэффициентами характеристического уравнения в порядке возрастания нижних индексов: d_ok = = a_k (к=0,1,..., п). Элементы первой строки d_1k (к = 0,1,..., п — 1) вычисляются следующим образом.

Выписываются элементы нулевой строки и под ними те же элементы в обратном порядке. Из элементов верхней строки вычитаются соответствующие элементы нижней строки, умноженные на отношение последних элементов двух выписанных :

Последняя разность обращается в нуль, и она отбрасывается. Поэтому первая строка содержит п элементов: на один элемент меньше, чем нулевая строка.

Элементы всех последующих строк определяются аналогично элементам первой строки. Так, например, для вычисления к-й строки выписываются элементы (к—1)-й строки и под ними те же элементы в обратном порядке. Из элементов верхней строки вычитаются соответствующие элементы нижней строки, умноженные на отношение последних элементов выписанных двух строк Последняя разность, обращающаяся в нуль, отбрасывается. Формула для вычисления i-го элемента к-й строки (к = 1, 2,... ,п) имеет вид

(13.1.11)

Критерий Джури. Для того чтобы все нули (корни) характеристического полинома

находились внутри единичного круга, необходимо и достаточно, чтобы при а_о>0 все элементы нулевого столбца таблицы Джури были положительны: d_oi >0,i = 1, 2,..., п.

Если все элементы нулевого столбца, кроме последнего, положительны: d_oi >0, i = 1,2,...,п — 1, то положительность последнего элемента, т.е. условие d_on > 0, эквивалентно необходимому условию устойчивости (13.1.5). Поэтому если необходимое условие выполняется, то последний элемент d_on можно не вычислять.

Пример 13.1.3. Характеристический полином дискретной системы управления имеет вид

.

Исследовать устойчивость данной системы.

Решение. Сначала проверим необходимое условие устойчивости:

.

Необходимое условие устойчивости выполняется. Вычислим элементы таблицы Джури.

Для нулевой строки имеем

c₀₀ = 1, c₀₁ = -0,7, c₀₂ = -0,4, с₀₃ = 0,05, с₀₄ = 0,1.

Ниже приводится вычисление элементов таблицы Джури для остальных строк, кроме последней:

Элементы нулевого столбца (кроме последнего) равны соответственно

с₀₀ = a₀ = 1, с₁₀ = 0,99, с₂₀ = 0,975, с₃₀ = 0,897,

и они положительны. Так как выполняется необходимое условие устойчивости, последний элемент нулевого столбца также будет положительным. Следовательно, система устойчива.

13.2 Аналоги критериев михайлова, найквиста Частотный критерий устойчивости

Рассмотрим полином, который получается из характеристическо­го полинома Q*(z) при подстановке в него z = e^sT:

(13.2.1)

Этот полином является характеристическим полиномом в D-изображениях. Установим, какими должны быть нули (т.е. корни характеристического уравнения в D-изображаниях), чтобы система была устойчива.

Представим переменную z в виде . Подставив это выражение в z=e^sT и прологарифмировав, получим

. (13.2.2)

Так как при |z|<1, то условие устойчивости дискретных систем |z_i|<1 (i = 1, 2,..., п) принимает вид

. (13.2.3)

Таким образом, для того чтобы дискретная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения в D-изображениях расположились в левой s-полуплоскости.

В силу равенства , если z_i является корнем характеристического уравнения Q*(z) = 0, то число

будет корнем характеристического уравнения в D-изображениях при любых к = 0, ±1, ±2,... Иначе говоря, характеристическое уравнение в .D-изображениях имеет бесконечное множество решений.

Корни s_i, у которых мнимая часть будем называть основными корнями характеристического уравнения в D-изображениях. Число основных корней равно степени характеристического уравнения. Так как неосновные корни отличаются от соответствующих основных только мнимой частью, для исследования устойчивости достаточно рассмотреть только основные корни.

Принцип аргумента.

Если к основных нулей характеристического полинома

расположены в левой полуплоскости, а остальные п—к основных нулей — в правой полуплоскости, то приращение при изменении от до равно :

, 13.2.4)

а при изменении от 0 до равно :

.(13.2.5)

Доказательство. Пусть z₁, z₂,..., z_n — нули характеристического полинома Q*(z), a s₁, s₂,..,s_n — нули характеристического полинома . Тогда эти полиномы можно представить в виде произведения

, (13.2.6)

. (13.2.7)

При |z|=1, положив в (13.2.2) , получим , и соответственно z можем представить в виде

.

Этот вектор при изменении от до делает на z-плоскости полный оборот в положительном направлении (против движения часовой стрелки), и его конец описывает окружность единичного радиуса. При этом вектор делает полный оборот относительно конца вектора z_i в положительном направлении, и из­менение его аргумента равно (рис. 13.2.1, а), если |z_i| < 1, и изменение аргумента этого вектора равно нулю, если |z_i|> 1 (рис. 13.2.1, б). Поэтому (см. (13.2.6))

,

если к нулей полинома Q*(z) находятся внутри единичного круга, а остальные п—к — вне единичного круга.

Рис13.2.1. К доказательству принципа аргумента: |z_i| < 1 (а) и |z_i| > 0 (б)

И так как Res_i <0 при |z_i| < 1и Res_i > 0 при |z_i|> 1, изменение аргумента (см. (13.2.7)) определяется следующим образом:

если к основных нулей характеристического полинома расположены в левой, а остальные п — к основных нулей — в правой s-полуплоскости.

Теперь покажем справедливость формулы (13.2.5). Так как

, функция является комплексно-сопряженной функции . Аргументы комплексно-сопряженных функций отличаются только знаком:

.

Отсюда следует, что

и из (13.2.4) получаем (13.2.5).