Составление математической модели

В теории автоматического управления рассматриваются не физические системы управления, а их математические модели, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы эта модель достаточно адекватно отражала свойства реального устройства. Процедуру получения математической модели объекта можно разбить на следующие этапы:

Составление гносеологической (мысленной) модели объекта. Исходя из технического задания и изучения режимов работы объекта инженер создает приближенную мысленную модель, которая в дальнейшем уточняется и приобретает вид математической модели.

Определение независимых переменных, которые характеризуют объект, и уточнение их размерностей. При этом число управляющих воздействий не может быть меньше числа выходных переменных . Размерность вектора переменных состояния не может быть меньше размерности вектора выходных переменных . Размерность возмущающих воздействий M может быть произвольной и никак не связана с размерностью y, x, u.

Запись физических законов, в силу которых развиваются процессы в объекте.

Приведение уравнений объекта к удобному с точки зрения теории автоматического управления виду.

Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, так как при ее составлении всегда делают какие-либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы в зависимости от целей управления модели могут быть различными.

При составлении математической модели приходится искать компромиссный вариант между двумя противоречивыми требованиями: с одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства реальной системы, с другой – быть простой, чтобы не затруднять исследований.

Пример 2.1.3

Определить математическую модель электрической цепи (рис. 2.1.1), записать для нее уравнения состояния.

Физическими законами, в силу которых развиваются процессы в объекте, являются законы Кирхгофа

Рис. 2.1.1. Эквивалентная схема объекта

Перейдем к удобному с точки зрения теории управления описанию объекта. При этом выходной величиной будем считать напряжение на выходе цепи, т. е. , управляющим воздействием – напряжение на ее входе , а переменной состояния – ток, протекающий по цепи . С учетом введенных обозначений запишем исходные уравнения объекта в следующем виде:

а затем перейдем к принятому описанию в переменных состояния

_где

Линеаризация

На основе изучения многих моделей систем, можно придти к выводу, что системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, несмотря на все их многообразие, обладают весьма ограниченным числом основных свойств. Эти свойства следующие:

способность системы к усилению (ослаблению) сигнала;

способность системы к накоплению (энергии, материи);

инерционность;

прогнозируемость;

колебательность;

устойчивость;

запаздывание.

Строгого доказательства, что этот список является исчерпывающим, на сегодня не существует, но, основываясь на опыте, можно утверждать, что это так. Добавление в список некоторых свойств, например способности системы неоднократно терять и приобретать устойчивость при изменении некоторого ее параметра, не приводит к принципиальным отличиям. Исключение каких-то свойств не позволяет получить исчерпывающий список, поскольку исключаемое свойство нельзя заменить некоторой комбинацией, выразить оставленными.

Перечисленные свойства линейных систем, за исключением прогнозируемости, безусловно, хорошо известны. Они расположены в списке по мере увеличения сложности, указанные ниже основываются на предыдущих свойствах.

О прогнозируемости следует сказать отдельно. Анализ линейных систем показал, что они в той или иной мере обладают свойством, позволяющим предсказывать их поведение на некоторый, пусть небольшой, промежуток времени. Это свойство обусловлено, в том числе и инерционностью системы, опирается на него, но, тем не менее, отличается настолько, что заслуживает отдельного названия и включения в список основных свойств линейной системы. Исходя из особенностей рассматриваемого свойства, его можно назвать прогнозируемостью.

Прогнозируемость системы определяется ее инерционностью и способом приложения к ней внешних воздействий. Прогнозируемость системы или звена может быть определена количественно. Не вдаваясь в подробности, уводящие от темы настоящей работы, можно сказать, что для систем с дробно-рациональной передаточной функцией прогнозируемость звена численно может быть определена как разность числа полюсов и числа нулей его передаточной функции.

В формальной, традиционной классификации, основанной на степени дифференциального уравнения звена, звено запаздывания выпадает из классификации, поскольку описывается не дифференциальным уравнением, или, если угодно, дифференциальным уравнением бесконечной степени. Поэтому включение его в традиционный набор типовых звеньев выглядит вынужденным, натужным. Но и отказаться от такого звена, естественно, невозможно. Положив в основу классификации звеньев не формальный признак, а объективно существующую, ограниченную совокупность основных свойств линейных систем, можно избежать и этого затруднения.

Математическим аппаратом исследования САУ являются дифференциальные уравнения, которые описывают движение системы и являются уравнениями динамики. Из уравнений динамики, положив все производные равными нулю, можно получить уравнения статики, которые описывают поведение системы в установившемся режиме.

Дифференциальные уравнения САУ и ее элементов, составленные в соответствии с физическими законами их функционирования и факторами, от которых зависят переменные уравнений, практически всегда являются нелинейными. Дифференциальные уравнения САУ, записанные в виде системы уравнений или одного дифференциального уравнения высокого порядка представляют собой математическую модель системы. Математическая модель является основой для анализа свойств системы и степени их соответствия поставленным требованиям. Итак, исходная математическая модель САУ является нелинейной. Отсутствие однозначных аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений не позволяет создать какие-либо общие эффективные методы анализа и синтеза САУ. Именно это и послужило причиной развития идеи линеаризации, т.е. замены исходной нелинейной модели линейной, близкой по решению к исходной модели в определенном диапазоне изменения начальных условий и параметров. Линеаризация проводится по методу малого отклонения, который основан на разложении нелинейных функций в ряд Тейлора.

Пусть САУ описывается дифференциальным уравнением порядка.

(2.1.6)

В этом выражении F и F₁ - некоторые нелинейные функции. Представим переменные, входящие в уравнение в следующем виде:

В этих выражениях нижний индекс “0” означает установившееся значение переменной, а знак - отклонение переменной от установившегося значения. Разложим нелинейные функции в ряд Тейлора в окрестности установившегося режима.

Индекс “*” около частных производных означает, что они вычислены в точке установившегося режима.

Допустим, что отклонения переменных от установившегося режима настолько малы, что остаточными членами, а так же членами, содержащими произведения отклонений и отклонения в степенях выше первой, можно пренебречь как бесконечно малыми высших порядков малости по сравнению с членами, содержащими отклонения в первой степени. В соответствии с этим предположениям будем полагать, что R_k=R_k1=0 и i=1.

Сделаем обозначения

C учетом сделанных предположений и обозначений дифференциальные уравнения системы примут вид

В состав полученного выражения входит уравнение установившегося режима -первый и третий член в левой части и первый член в правой части. Установившееся движение нам задано и не представляет предмета исследования. Вычтем из полученного уравнения уравнение установившегося движения и получим уравнение в отклонениях, поведение которых нас и интересует. В дальнейшем, в целях сокращения записей, знак  будем опускать. Получим

(2.1.7)

Полученное дифференциальное уравнение является линейным уравнением и определяет линейную модель системы. Отметим, что использовать линейную модель для исследования системы можно только при малых отклонениях переменных и поэтому часто говорят, что результаты исследований, полученных при использовании линейной модели справедливы только в малом.

Уравнение в отклонениях (2.1.7) описывает возмущенное движение системы, являющееся результатом действия каких-либо возмущений, приводящих к появлению отклонений от установившегося режима. Уравнение установившегося режима описывает невозмущенное движение.

Сложность решения дифференциальных уравнений высокого порядка без применения вычислительной техники и невозможность на основании численных решений создать общие методы анализа и синтеза систем привели к широкому использованию методов, связанных с применением математического аппарата преобразований Лапласа и Фурье. Эти методы и составили сущность так называемой классической теории автоматического управления.

Необходимо отметить, что существуют нелинейные функции, которые невозможно линеаризовать по методу малого отклонения и, в этих случаях, используют специальные методы, разработанные для исследования нелинейных систем.